高等數(shù)學教程　上冊　第4版 習題及答案 P073 第3章 導數(shù)與微分

第三章導數(shù)與微分習題3.1用導數(shù)定義求下列函數(shù)的導數(shù)。(1)(2)解:（1）（2）2.設(shè)下列各題中的均存在,求下列各式的極限值。(1)(2)(3)（4）解：(1)(2)(3)（4）3.討論下列函數(shù)在的連續(xù)性與可導性：（1）（2）解：（1）因為所以在是連續(xù)的。又所以在是可導的，且。（2）因為故，即在即右連續(xù)也左連續(xù)，所以在是連續(xù)的。又因為，所以，在不可導。4.討論函數(shù)在點，及處的連續(xù)性和可導性。解：當時，故在不是右連續(xù)，所以在不連續(xù)的，因而不可導。當時，故，即在右連續(xù)且左連續(xù)，所以，在是連續(xù)的。又所以有，即在是可導的。當時，故，即在右連續(xù)且也左連續(xù)，所以，在是連續(xù)的。又因為，故在不可導。5.一物體的運動方程為，求該物體在時的瞬時速度。解：物體在時的瞬時速度為。6．求曲線在點處的切線方程和法線方程。解：曲線在點處的切線的斜率為曲線在點處的切線方程為曲線在點處的法線方程為7．試確定常數(shù)的值，使得函數(shù)在處可導。解：因為該函數(shù)在處可導，所以該函數(shù)在處連續(xù)。因此有即由得8．證明：在曲線上任意一點處的切線與兩個坐標軸所構(gòu)成的面積都等于2。證明：設(shè)點是曲線的點，則，且在該點的切線方程為而，所以切線方程為，該切線方程在軸和為軸的截距長分別為，切線與兩個坐標軸所構(gòu)成的面積為9．證明函數(shù)在處連續(xù)，但不可導。證明：因為所以，故該函數(shù)在處連續(xù)。又不存在故該函數(shù)在處不可導。10.設(shè)某商品的需求函數(shù)，求邊際需求函數(shù)。解這一結(jié)果表示該商品的價格每增加一個單位，需求量就會減小5個單位。習題3.21.利用導數(shù)的四則運算法則，求下列函數(shù)的導數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：（13）解：（14）解：（15）解：（16）解：求下列函數(shù)的導數(shù):（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：(7)解：（8)解：(9)解：(10)解：==(=（11）解：（12）解：3.設(shè)是可導的函數(shù),求下列函數(shù)的導數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：4.求下列分段函數(shù)的導數(shù):(1)解：當時，當時，(2)解：當時，當時，因為，，，，，，所以當時，函數(shù)不連續(xù)，故不可導。5.求下列函數(shù)的二階導數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：6.驗證函數(shù)滿足關(guān)系式。解：，將帶入方程左端有即滿足關(guān)系式。8．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù):(1)解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得(2)解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得(3)解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得(4)解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得（5）解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得（6）解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得8.若是由方程所確定的隱函數(shù)，求解：方程兩邊對求導，有（1）由原方程當時，，將，代入（1）得（1）式兩邊再求導有將，及代入上式得9.求曲線在點處的切線方程和法線方程。解：對方程兩邊求導得解得，曲線在點處的切線斜率是所以，所求切線方程是即所求法線方程是即10．利用對數(shù)求導法，求下列函數(shù)的導數(shù):(1)解,(2)解,（3）解：上式兩邊求導得所以（4）解：上式兩邊求導得所以11.求下列函數(shù)的階導數(shù)。(1)(2)解（1），則，反復求導有。（2），則一般地，，。即，。習題3.3已知計算當時的及。解：求下列函數(shù)的微分(1)解：因為所以(2)解：因為所以(3)解：因為所以(4)解：因為所以(5)解：因為所以(6)解：因為所以(7)解：因為所以(8)解：因為所以(9)解：因為所以(10)解：因為所以3.求由方程所確定的函數(shù)的微分。解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得所以4.一個直徑為20厘米的球，球殼厚度為0.2厘米，求該球殼體積的近似值。解：半徑為的求體積為，當，球殼體積為5.計算下列各題的近似值(1)(2)解：（1）令，則解：（2）令，則習題3.4彈性分析1．給定需求函數(shù)，求(1)當下降到時的平均彈性;（2）當時的點彈性。解：(1)當，時，有，，的平均值為的平均值為平均彈性為（2），，當時的點彈性為2.給定需求函數(shù)，求價格時的需求彈性？并說明在此價格上需求是缺乏彈性、單位彈性還是富有彈性？解：由，得，所以。當時，需求為，此時需求彈性為該產(chǎn)品的需求彈性的絕對值，說明該產(chǎn)品的需求函數(shù)是缺乏彈性的。3．設(shè)某產(chǎn)品總成本C萬元是產(chǎn)量kg的函數(shù)為產(chǎn)品銷售價格為萬元，需求函數(shù)為試求：（1）產(chǎn)量為100kg（2）銷售價格為4萬元水平上的需求彈性值，并說明其經(jīng)濟意義；（3）當時，如果價格上漲1%，總收益增加還是減少？變化多少？解：（1）邊際成本函數(shù)為，所以在產(chǎn)量為水平上邊際成本值（萬元）（2）計算邊際需求函數(shù)需求彈性函數(shù)為所以在銷售價格為4萬元水平上的需求彈性值為該產(chǎn)品的需求彈性的絕對值，說明該產(chǎn)品的需求函數(shù)是富于彈性的，需求量隨價格變化會呈現(xiàn)較大波動，同時，彈性說明需求量隨價格變化會呈現(xiàn)反向波動，即漲價則需求量減小，降價則需求量增加。（3）總收益函數(shù)，所以即總收益量將減少0.177%。綜合習題3一、填空選擇題：1.設(shè)函數(shù)在處可導，則下列極限值等于的是（C）ABCD2.已知，若極限，則等于（A）ABCD3.函數(shù)在點處連續(xù)是其在該點可導的（D）A充分而必要條件B必要而非充分條件C充分條件D必要條件二、計算或證明題1.設(shè)函數(shù)滿足，且其中均為常數(shù)，證明在處可導，且。證明：由，得，即2.討論下列函數(shù)在的連續(xù)性與可導性：（1）（2）解：（1）因為所以該函數(shù)在處右連續(xù)且左連續(xù)，故連續(xù)。該函數(shù)在左導數(shù)不等于右導數(shù)，故在函數(shù)不可導。（2）因為所以該函數(shù)在處左連續(xù)且右連續(xù)，故連續(xù)。該函數(shù)在左導數(shù)等于右導數(shù)，故在函數(shù)可導，且。3.函數(shù)在是否連續(xù)，是否可導？解：因為所以該函數(shù)在函數(shù)可導，故在函數(shù)連續(xù)。4.設(shè)為可導的偶函數(shù)，證明。證明：因為為偶函數(shù)，所以。又所以有。5．當為何值時，拋物線與相切（在某點處有相同的切線）？并求切點和切線方程。解：設(shè)拋物線與在點處相切，則兩條曲線在該點的導數(shù)相等，有，又，，解得，，切點，切線方程為6．設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，，證明函數(shù)在處可導。若，函數(shù)在處可導嗎？解：由函數(shù)在處連續(xù)有。所以，函數(shù)在處可導。當時，有，則函數(shù)在處可導。當時，有，則函數(shù)在處不可導。7．設(shè)在處連續(xù)，且，證明：。證明：由函數(shù)在處連續(xù)有，又，所以8