微積分 第3版 課件全套 范周田 第1-9章 函數(shù)- 常微分方程

1.1函數(shù)設(shè)D為實數(shù)集R的非空子集,如果對任意的

都存在唯一的與之對應(yīng),可用表示,并稱x為自變量,y為因變量.則稱y是x的一元函數(shù),而定義域就是自變量的取值范圍,分別記為因變量的取值范圍,值域就是或者簡記為

第一章函數(shù)例如,令D到R的對應(yīng)關(guān)系是:

3對應(yīng)15.

1對應(yīng)5;2對應(yīng)10;這個對應(yīng)方式滿足唯一性的要求,因此是一個函數(shù),記之為

f.

函數(shù)f

可以描述為:D中的每個數(shù)值都對應(yīng)其自身的5倍.把集合

D中的每個數(shù)值用x表示,

1,2,3這三個數(shù)值中的任意一個.即x取值可以是則函數(shù)f

可以描述為:x對應(yīng)5x,記為定義域值域需要注意的是,f與是有所不同的:

f是對應(yīng)關(guān)系,即函數(shù),而則表示函數(shù)f在x處的值.另外,函數(shù)的表示與自變量和因變量所使用的字母是無關(guān)的,也不一定有表達式.是單調(diào)遞增函數(shù);如果對任意的都有1.單調(diào)函數(shù)1.2幾種具有特殊性質(zhì)的函數(shù)一個函數(shù)往往在其定義域中的某些區(qū)間上是遞增的,如果對任意的都有是單調(diào)遞減函數(shù).單調(diào)遞增函數(shù)與單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.而在另外的區(qū)間上是遞減的,2.奇函數(shù)與偶函數(shù)如果對任意都有我們就說D關(guān)于原點對稱.關(guān)于原點對稱,而且的圖形關(guān)于坐標系原點對稱,即如果對任意就稱函數(shù)為奇函數(shù).都有則稱為奇函數(shù).關(guān)于原點對稱,而且的圖形關(guān)于y軸對稱,即如果對任意就稱函數(shù)為偶函數(shù).都有則稱為偶函數(shù).3.周期函數(shù)如果存在正數(shù)T,使得對定義域中的任意x成立,

通常情況下,我們關(guān)心周期函數(shù)的最小正周期,就稱函數(shù)為周期函數(shù),T是一個周期.

也有例外的情況,例如常函數(shù)是周期函數(shù),任意正數(shù)都是它的周期,因此它沒有最小正周期.簡稱周期.有界無界4.有界函數(shù)yxoDyxoD有六個常見的有界函數(shù):設(shè)是一元函數(shù),如果

都存在唯一的使得

1.3反函數(shù)

則稱函數(shù)f有反函數(shù).

函數(shù)f的反函數(shù)記為函數(shù)的反函數(shù)可以記為也可以記為函數(shù)與的圖像是相同的,與的圖像關(guān)于直線對稱.

1.4函數(shù)的表示

通?？梢杂眉?圖表,數(shù)據(jù)對應(yīng),圖形和解析稱為顯函數(shù).

1.解析表達式(顯函數(shù))2.分段函數(shù)

一個函數(shù)在其定義域的不同部分可以有不同

表達式等表示函數(shù).

的表達式,即所謂的分段函數(shù).例1.1

符號函數(shù)xyo例1.2

分段函數(shù)例1.3取整函數(shù)表示不超過x的最大整數(shù).如當階梯曲線

定義域值域例1.4狄里克萊(Dirichlet)函數(shù)狄里克萊十分特殊:它是有界函數(shù),偶函數(shù),也是周期函數(shù),以任意的正有理數(shù)為周期,由于沒有最小的正有理數(shù),也就沒有最小正周期.另外,我們無法畫出D(x)的圖像.3.隱函數(shù)通常情況下,隱函數(shù)不一定能化成顯函數(shù).如果

都存在唯一的y,滿足方程

則稱y是由方程確定的x的隱函數(shù).例如,1.冪函數(shù)1.5基本初等函數(shù)微積分中除了常數(shù)函數(shù)外最常見的函數(shù)分為五類,冪函數(shù)的定義域與的取值有關(guān).稱為基本初等函數(shù),包括冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù).特別地，2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

稱為自然對數(shù).特別地，記為定義域為值域為正弦函數(shù)3.三角函數(shù)與反三角函數(shù)該函數(shù)是奇函數(shù).定義域值域反正弦函數(shù)該函數(shù)是奇函數(shù).定義域為值域為余弦函數(shù)該函數(shù)是偶函數(shù).定義域值域反余弦函數(shù)該函數(shù)非奇非偶.定義域值域正切函數(shù)定義域值域反正切函數(shù)定義域值域余切函數(shù)反余切函數(shù)定義域值域正割函數(shù)常用三角函數(shù)公式:余割函數(shù)和、差化積公式:積化和、差公式:1.6復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)

的定義域為則稱函數(shù)

為x的復(fù)合函數(shù).x是自變量,u稱為中間變量,y是因變量.注意:

復(fù)合函數(shù)可由兩個以上的函數(shù)復(fù)合而成.函數(shù)的值域,設(shè)定義種形式多層復(fù)合得到.基本初等函數(shù)只有11種形式,復(fù)合函數(shù)的11種形式如下：簡單的復(fù)合函數(shù)也只有11種形式,更復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)則可以由這11其中

形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù),

也是復(fù)合函數(shù),冪指函數(shù)因

由常數(shù)函數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復(fù)合運算所得到的函數(shù),叫作初等函數(shù).初等函數(shù)一定可以用一個解析式表示.1.7經(jīng)濟學中常用的函數(shù)

1.8極坐標系與極坐標方程

1.極坐標系在平面上取定一點O,

取定一個長度單位,稱為極軸,稱為極點,這樣就組成了極坐標系.以O(shè)為起點作射線并平面上的任一點P都可用稱為點P的極徑,稱為點P的極角,通常限定極角取值范圍為

一對有序數(shù)`組確定:

直角坐標與極坐標有如下關(guān)系2.極坐標方程某些平面曲線用極坐標方程表示更為簡單.例如,表示以原點為圓心,以a為半徑的圓.表示以原點為起點,與x軸正向夾角為的一條射線.解例1.5將下列直角坐標方程化為極坐標方程:(1)由有解得極坐標方程為:(2)由有極坐標方程為:例1.6將下列極坐標方程化為直角坐標方程:解(1)由(2)同理等式兩邊同時乘以r,得

直角坐標方程為:的直角坐標方程為:記作點

稱為鄰域的中心,稱為鄰域的半徑.記作也稱空心鄰域,稱為設(shè)是兩個實數(shù),且1.8區(qū)間與鄰域2.1數(shù)列無窮小與極限

數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列簡記為例如,簡記為簡記為簡記為第二章極限與連續(xù)數(shù)列的定義域正整數(shù)集是無限集,沒有最大正整數(shù).

即對任意給定的正數(shù)C,總存在正整數(shù)N,使得

依次取

在幾何上,數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個動點,

數(shù)列的變化過程包含兩個相關(guān)的無限過程:n的主動變化過程是自變量n的主動變化過程和因變量的被動變化過程.即n從1開始,不斷增大(每次加1,無限重復(fù)).我們將n的這種變化過程稱為n趨于無窮大,記為考察數(shù)列變化趨勢.對于數(shù)列我們主要研究當時的是一個確定的正數(shù),對任意給定的正數(shù),而在所有正整數(shù)中,大于的正整數(shù)有無限多個,

我們從中任意選定一個,記之為N,即等價于都存在正整數(shù)N,于是當時,有即數(shù)列從某一項(第N+1項)開始,我們把具有這種特征的數(shù)列稱為無窮小,對任意給定的,使得

每一項與常數(shù)0的距離都小于

也說它的極限是

定義2.1(數(shù)列極限的定義)

如果使得當時,不等式成立,記作設(shè)為數(shù)列,或稱數(shù)列是無窮小.

則稱當時數(shù)列的極限是0,

如果存在某個常數(shù)A,使得

則稱當時數(shù)列的極限是A,

或稱數(shù)列收斂于A.

記作如果不存在這樣的常數(shù)A,使得

則稱數(shù)列沒有極限,

或稱數(shù)列發(fā)散.

定理2.1(無窮小比較定理)

證正整數(shù)

n,

由定義,如果存在正數(shù)C,設(shè)則故對任意的使得對于所有證及無窮小比較定理,有證及無窮小比較定理,有證及無窮小比較定理,有練習證明證注意到及無窮小比較定理,有由

練習證明幾何解釋:只有有限個

(至多有N個)落在其外.2.2函數(shù)無窮小與極限

2.2.1函數(shù)在一點極限

在數(shù)軸上,常量對應(yīng)于定點,變量對應(yīng)于動點.我們用表示自變量x無限接近但不等于

即且動點x到定點的距離無限接近0.考察函數(shù)和

當時,

無限接近0,無限接近1,我們說當時函數(shù)的極限是

0,是無窮小,也稱當時而函數(shù)的極限是

1.定義2.2(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設(shè)當時,

則稱當時的極限是0,

或稱當時,如果A是常數(shù),且

則稱當時的極限是A,

記作由可得其中

C為正數(shù).無窮小比較定理顯然,

即當時,是無窮小.例2.3證明證因由有例2.4設(shè)證因由

有

證明練習證明證因而所以例2.5證因不妨設(shè),

顯然有,

證明即,

故.

對,

有

而所以我們用表示點x從的

右側(cè)無限接近但不等于的過程.我們用表示點x從的

左側(cè)無限接近但不等于的過程;單側(cè)極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數(shù)學定義,

分別稱為f(x)在點的左極限與右極限.等價于

定理2.2(極限與左、右極限的關(guān)系)

注:也記成

也記成

例2.6證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以,不存在.2.2.2函數(shù)在無窮遠的極限考察函數(shù)

我們用表示x無限地遠離坐標原點,即無限增大的過程.

當時,無限增大,因此無限接近0,

我們說當時函數(shù)的極限是0,也稱當時是無窮小.定義2.3(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設(shè)當時,

則稱當時的極限是0,

或稱當時,如果A是常數(shù),且

則稱當時的極限是A,

記作的幾何意義:之內(nèi).函數(shù)的圖形完全落在帶型區(qū)域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無窮時由可得其中

C為常數(shù).例2.7證明證由有函數(shù)的極限.其中n為正整數(shù).

不妨設(shè)

當時,因例2.8證明證由有當時,不妨設(shè)

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數(shù)學定義.

等價于

例如,

因此

不存在.

2.2.3極限的性質(zhì)證設(shè)取有即在

的空心鄰域內(nèi)有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個空心鄰域內(nèi)有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號性)

證只需證第一部分.

不妨設(shè)(1)若因即于是設(shè)則在

的某個空心鄰域內(nèi)與A同號.(2)如果在

的某個空心鄰域內(nèi)2.2.4

無窮大考察函數(shù)

當時的變化趨勢.

任意給定的正數(shù)M,無論M多么大,

就有

我們稱當時是無窮大量,簡稱無窮大.是無窮大,

是正無窮大,

定義2.4記作如果則稱當時

不會和任意一個固定的常數(shù)無限接近,因而極限不存在.注意:當時是無窮大,

如果且,

則稱當時

記作是負無窮大,

如果且,

記作則稱當時

證不妨設(shè)

因于是只要證所以故例2.9證明2.3極限的運算法則證設(shè)且于是

定理2.6兩個無窮小之和為無窮小.即有

定理2.7

無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小.定理2.7其實是比較法的直接推論.都是無窮小.例如,當解練習求由有界,有由有界,有例2.10求解幾個極限不存在的例子:因因定理2.8(極限四則運算法則)

則有

證(2)設(shè)

故由

再由定理2.6

是無窮小.

所以是無窮小.

特別地

即:常數(shù)因子可以提到極限記號外面.有,都是無窮小,且在附近有界.有利用極限的運算法則及我們可以求解一些簡單的極限問題:

例如,對任意的多項式函數(shù)注意:(1)和(2)可以推廣到有限多個函數(shù).

例2.11

求

解由函數(shù)商的極限法則,有解消去零因子法時,分子、分母的極限都是零.例2.12

求

一般地,設(shè)

則商的法則不能使用.則當時,有解時,分子、分母的極限都是無窮大,例2.13

求

分子、分母同時除以

x的最高次冪.解由無窮小與無窮大的關(guān)系,得練習求

一般地,當為非負整數(shù)時,有解根式有理化

原式例2.14

求

解原式練習求

定理2.9(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則)則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限法則,為了求

如果

設(shè)復(fù)合函數(shù)在的某個空心鄰域內(nèi)有定義.

再求令(稱為變量代換),先求得

例2.15

求解由有如果定理2.10(函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系)則

且

例2.16證明不存在.

證令則

令由定理2.10,有則

如果

存在,設(shè)

矛盾。

答案原式練習(1)

求

解原式(2)

求

(3)試確定常數(shù)

a,

使解令則即準則I(夾擠定理)

則2.4

極限存在準則與兩個重要極限

這一節(jié)介紹極限存在的兩個充分條件,稱之為極限存在準則,并用它們證明兩個重要的極限.的某個空心鄰域內(nèi)有定義,且滿足以下條件:在x0證所以是無窮小，所以由有由有如果數(shù)列及滿足以下條件:則準則I’(數(shù)列夾擠定理)

證有而例2.17證明,為自然數(shù).

所以第一個重要極限:證于是作單位圓O,作單位圓的切線AC,即由夾擠定理因即再由夾擠定理第一個重要極限對于復(fù)合函數(shù)有其中的非零無窮小.解例2.18求下列極限:

練習解單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:準則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果數(shù)列滿足:第二個重要極限:

(1)數(shù)列形式(2)函數(shù)形式解解例2.19求

例2.20

求

2.5

函數(shù)的連續(xù)性2.5.1函數(shù)的連續(xù)性定義2.5(函數(shù)在一點的連續(xù)性)則稱函數(shù)在點連續(xù),稱為的連續(xù)點.如果注意:函數(shù)在一點處連續(xù)性包含以下三個條件:設(shè)所以,在點連續(xù)等價于:則顯然,

定義2.6(函數(shù)在一點左、右連續(xù))點左、右連續(xù).例2.21討論函數(shù)在點的連續(xù)性.證因函數(shù)在點左連續(xù)且右連續(xù),所以在該點連續(xù).處右連續(xù),在在處左連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.定義2.7(函數(shù)在區(qū)間連續(xù))則稱它在開區(qū)間內(nèi)連續(xù);如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),則稱它在閉區(qū)間上連續(xù).通常把所有區(qū)間I

上的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記作

如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體記為

如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù),證由夾擠定理,

因例2.22證明函數(shù)

內(nèi)連續(xù).同理,定理2.11(函數(shù)四則運算的連續(xù)性)例如,故在其定義域內(nèi)連續(xù).定理2.12(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)定理2.13

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)而且連續(xù),則其反函數(shù)也單調(diào)且連續(xù).由此,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).即注:初等函數(shù)的連續(xù)性提供了極限的簡單求法.例2.23求解因函數(shù)的定義域為

是定義區(qū)間內(nèi)點.

定理2.14(初等函數(shù)的連續(xù)性)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例2.24已知

解因求由極限的保號性,在的某個空心鄰域內(nèi),有

在這個空心鄰域內(nèi)有由初等函數(shù)的連續(xù)性,有例2.25求解所以因2.5.2函數(shù)的間斷點的一個間斷點.下列三種情形至少有一種會發(fā)生:

例如,函數(shù)在

點左右極限都存在但不相等,所以,為的間斷點.函數(shù)在

點左右極限都存在且相等,但函數(shù)在點無定義,所以,為的間斷點.如果和中至少一個不存在,例如,函數(shù)因所以,為函數(shù)的間斷點.點是間斷點.函數(shù)在

點左右極限都不存在,另外,也是函數(shù)的間斷點.根據(jù)間斷點的具體情形,可以將其做如下分類:第一類間斷點:第一類間斷點又可以分成兩種情形:

如果左、右極限相等,則稱其為可去間斷點;如果左、右極限不相等,則稱為跳躍間斷點.間斷點.的間斷點,如果和都存在,則稱的第一類例如,為的跳躍間斷點;如果補充定義

為的可去間斷點.在間斷是因為函數(shù)在這個點沒有定義,

這也是把稱為可去間斷點的原因.那么它就在連續(xù)了.第二類間斷點:除去第一類間斷點之外的間斷點,若其中有一個為則稱為無窮間斷點.事實上,和中至少有一個不存在,則點就是第二類間斷點.

統(tǒng)稱第二類間斷點.初等函數(shù)無定義的孤立點是間斷點;分段函數(shù)的分段點是可能的間斷點,需要討論.求函數(shù)的間斷點的方法:并判斷其間斷點的類型.解函數(shù)的定義域為

由初等函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).例2.26

討論函數(shù)的連續(xù)性,所以函數(shù)的間斷點是所以,x

=0為可去間斷點.所以,x

=1為第二類無窮間斷點.2.5.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)在區(qū)間I有定義,則稱是函數(shù)在區(qū)間I的最大值(最小值).定理2.15(最大最小值定理)設(shè)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有最大值最小值.有即若注意:

若區(qū)間是開區(qū)間或區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.推論2.1

(有界性定理)設(shè)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有界.

顯然,函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個上界和一個下界.定理2.16(零點定理)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),使得則至少有一點證由零點定理,所以,方程使得例2.27設(shè)證明方程至少有一個小于的正實根.證由零點定理,得證.使得例2.28證明方程至少有一個小于的正根.令練習

證明方程證由零點定理,一根.所以,方程使得練習設(shè)函數(shù)證由零點定理,使得即定理2.17

(介值定理)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),若則至少有一點使得證設(shè)由零點定理,故推論2.2

閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.證則如果例2.29設(shè)在上連續(xù)，且證明：至少存在一點，使得不妨設(shè)則結(jié)論成立.如果則由介值定理,至少存在一點,使得得證.例如,當不可比.下面我們對無窮小趨于零的速度進行比較.觀察各極限極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不存在,2.6

無窮小的比較定義2.8

(無窮小的階的比較)

記作記作等價無窮小;是同階無窮小;的高階無窮小;例2.30證明當

證(1)因

(2)因(3)因例2.31常用等價無窮小:證明當

證(1)因

(2)令故(3)

由(2)有

再由(1)有

證因定理2.18

(無窮小的等價代換)意義:利用等價無窮小代換,可以簡化極限的計算.

所以故解注意:無窮小的等價代換適用于乘、除情形,代數(shù)和的情形需慎用.例2.32

用無窮小的等價代換求解解錯例2.33求性質(zhì):一個無窮小例如,當特別地,如果當時,是無窮小,習慣將同冪函數(shù)進行比較.

例2.34當時,試確定下列無窮小的階數(shù):

解(1)注:

如果用表示任意一種極限,包括六種情況下函數(shù)的極限和數(shù)列極限,

則可以用代替定義2.8和定理2.18中的即無窮小的等價代換仍然成立.解分子、分母同乘以因子

則練習1.求解故2.求1.三個基本無窮小第一章習題課(極限部分)一、重點內(nèi)容2.

關(guān)于無窮小的比較定理且在點a的某個空心鄰域內(nèi)

如果成立，其中

C為常數(shù).3.設(shè)q為常數(shù),則4.

常用等價無窮小證因二、典型例題例1證明數(shù)列是無窮小.

而是無窮小,根據(jù)比較定理,數(shù)列是無窮小.例2證明證因當時,

是無窮小

.例3證明證因由比較定理,例4求極限解由夾擠定理得

例5設(shè)解令由夾擠定理則求例6設(shè)解顯然求且例7已知求常數(shù)a,b.解例8設(shè)解分子、分母同乘以因子

則求解例9設(shè)解原極限例10已知求常數(shù)a,b.故例11當是

x的幾階無窮小?解設(shè)其為

x

的

k

階無窮小,所以,當則證因一、證明數(shù)列是無窮小.

而是無窮小,練習題根據(jù)比較定理,數(shù)列是無窮小.二、證明證因由比較定理,三、求下列極限:

四、已知極限存在,求常數(shù)

a.解因因由于極限存在,所以左、右極限相等,故所以所以五、求出曲線的水平與鉛直漸近線.解

的一條水平漸近線.又因所以,的鉛直漸近線.

的一條水平漸近線.證(舍負)的極限存在,并求其極限值.六、證明數(shù)列于是即所以間斷點分為兩類:第二類間斷點:第一類間斷點:及均存在,及中至少一個不存在.若稱為可去間斷點.若稱為跳躍間斷點.若其中有一個為稱為無窮間斷點.第一章習題課(連續(xù)部分)例1討論的連續(xù)性.解顯然,解即求常數(shù)a,b.例2設(shè)為連續(xù)函數(shù),即得證討論:令例3設(shè)由零點定理知,綜上所述:必存在一點若則及可去間斷點試確定常數(shù)a及b.為無窮間斷點,所以為可去間斷點,存在例4設(shè)函數(shù)有無窮間斷點解故

x

=–1為第一類可去間斷點;x=1為第二類無窮間斷點;x

=0為第一類跳躍間斷點.例5求的間斷點,并判別其類型.解是間斷點,例6設(shè)函數(shù)內(nèi)有定義,對任意實數(shù)證可得x,y

滿足關(guān)系式處處連續(xù).由點連續(xù).試證:可得所以,一、證明奇次多項式至少存在一個實根.二、設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且證明函數(shù)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.練習題解三、求的間斷點,并判斷其類型.

易判斷,x

=0為第一類跳躍間斷點.問題1

平面曲線的切線及切線的斜率

3.1導(dǎo)數(shù)的概念第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)平面曲線Γ

的方程為Γ

上一定點,過點M,N的直線稱為曲線的割線.上一動點,為曲線為曲線其中曲線Γ在點M處的切線.割線MN的斜率為如果當動點N沿曲線Γ

無限趨近于定點M時,割線MN無限的接近于某定直線MT,直線MT就稱為切線MT的斜率為設(shè)為某種商品的總成本函數(shù),表示的是當產(chǎn)量增加一個單位問題2邊際問題為商品產(chǎn)量.

當產(chǎn)量由增加到時，成本的增加量為.時成本的平均變化率，也稱其為產(chǎn)量由增加到時的平均邊際成本.如果極限存在，就稱這個極限值是生產(chǎn)這種商品時在點的邊際成本.如果極限存在,即定義3.1

(導(dǎo)數(shù)的概念)記為或?qū)?shù)也可寫成也稱導(dǎo)數(shù)不存在.如果極限不存在,注:是無窮大,記為關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：記為都存在,則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo).如果在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且及定理3.1(可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系)證所以注意:

該定理的逆定理不成立.處切線方程為法線方程為導(dǎo)數(shù)的幾何意義:處的切線方程為處的切線斜率.例3.1求拋物線解所求切線斜率為所求切線方程為法線方程為和法線方程.處的切線方程解練習求處的導(dǎo)數(shù).解練習求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即例3.2設(shè)函數(shù)解即同理解例如,例3.3求函數(shù)即的導(dǎo)數(shù).練習

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解即特別地,例3.4

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解即練習求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解即例3.5求曲線解所求切線斜率為所求切線方程為法線方程為和法線方程.處的切線方程例3.6設(shè)某商品的需求函數(shù),

解求邊際需求函數(shù).在經(jīng)濟學中，通常把導(dǎo)數(shù)稱為邊際或邊際函數(shù).例如，如果是成本函數(shù),則是邊際成本.是需求函數(shù),則是邊際需求函數(shù).★2.右導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)

★例3.7討論函數(shù)處的可導(dǎo)性.解因解練習設(shè)求解練習設(shè)曲線在點處有切線

處的可導(dǎo)性處是否有切線?解練習討論函數(shù)不存在,處的連續(xù)性與可導(dǎo)數(shù)性.練習設(shè)函數(shù)解由定理3.2若函數(shù)3.2導(dǎo)數(shù)的計算3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運算法則則它們的和、差、積、商(分母不為零)在點x處均可導(dǎo),且證(2)由導(dǎo)數(shù)的定義及可導(dǎo)必連續(xù),有

設(shè)推論例3.8設(shè)求解故練習設(shè)求解練習

求的導(dǎo)數(shù).解同理得即例3.9

求的導(dǎo)數(shù).解練習設(shè)解故3.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.3設(shè)函數(shù)即:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).內(nèi)可導(dǎo),且有證因為連續(xù),于是,

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例3.10求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解同理可得即:

因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.4若函數(shù)復(fù)合而成,量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo)(鏈式法則)推廣:解例3.11求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為設(shè)解例3.13求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解設(shè)例3.12求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解練習求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解因例3.14求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即導(dǎo)數(shù)基本公式:特別地,特別地,注意:

初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).說明:任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出;解練習求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解練習求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例3.15求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解練習求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).練習求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解練習求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).練習求函數(shù)問題:變速直線運動的加速度.3.2.4高階導(dǎo)數(shù)變化率,因加速度a是速度v對時間

t的定義3.2

若導(dǎo)數(shù)存在,的二階導(dǎo)數(shù),記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),

二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).

求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)就是多次連續(xù)地對函數(shù)求規(guī)定:導(dǎo)數(shù),仍應(yīng)用前面所學的求導(dǎo)方法計算高階導(dǎo)數(shù)．例3.16求下列函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)反復(fù)求導(dǎo)有解(3)同理可得練習設(shè)解練習設(shè)解則練習設(shè)解高階導(dǎo)數(shù)的運算法則萊布尼茲公式設(shè)函數(shù)u和v

具有n階導(dǎo)數(shù),則例3.17設(shè)解由萊布尼茲公式練習設(shè)解因我們并不需要將隱函數(shù)顯化后求導(dǎo).

1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.2.5幾種特殊的求導(dǎo)法利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可.

而是方程兩邊對x求導(dǎo),等式仍然成立,將

y視為x的函數(shù),解解得方程兩邊對x求導(dǎo),例3.18求由Kepler方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3.19

求方程所確定的隱函數(shù)解解得方程兩邊對x求導(dǎo),y的導(dǎo)數(shù)方程兩邊對x求導(dǎo),代入得解得例3.20

求由方程確定的隱函數(shù)y

解解得方程兩邊對x求導(dǎo),的二階導(dǎo)數(shù)將代入,得練習求方程所確定的隱函數(shù)y解解得方程兩邊對x求導(dǎo),的導(dǎo)數(shù)練習設(shè)曲線C的方程為解方程兩邊對x求導(dǎo),所求切線方程為顯然通過原點.法線方程為法線通過原點.練習設(shè)解方程兩邊對x求導(dǎo),方程(1)兩邊再對x求導(dǎo),得得得代入代入觀察函數(shù)求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:2.對數(shù)求導(dǎo)法:多個函數(shù)相乘和冪指函數(shù)的情形.方法:

先在等式兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的例3.21求的導(dǎo)數(shù).解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導(dǎo),練習設(shè)解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導(dǎo),例3.22求的導(dǎo)數(shù).解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導(dǎo),練習設(shè)解等式兩邊取對數(shù),得上式兩邊對x求導(dǎo),實例:

正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.3.3微分3.3.1微分的定義正方形面積定義3.3(微分定義)則稱注意:對應(yīng)的增量,增量時;就是切線縱坐標微分的幾何意義當是曲線的縱坐標在點M的附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.1.基本微分公式3.3.2微分的運算法則

由導(dǎo)數(shù)的基本公式和求導(dǎo)法則立即得到微分特別地,

特別地,

基本公式和微分法則.

2.函數(shù)四則運算的微分法則特別地,

結(jié)論:無論x是自變量還是中間變量,一階微分形式的不變性3.一階微分的形式不變性的微分形式總是例3.23設(shè)解解練習求由方程解得方程兩邊對x求導(dǎo),解例3.24

求函數(shù)3.3.3高階微分于是

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微分,

則它的把看作的一元函數(shù),

若該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍可微分,

微分為.

則它的微分為稱為的二階微分,

記為,記,

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)階可導(dǎo),

則3.3.4微分在近似計算中的應(yīng)用當充分小時,利用微分可以將一些復(fù)雜的計算公式用簡單的或近似公式來代替，使某些復(fù)雜計算得到簡化.或解例3.25在附近求函數(shù)的近似式,并近似計算.解例3.26求的近似值.解例3.27求的近似值.例1設(shè)解1第三章導(dǎo)數(shù)與微分習題課典型例題例1設(shè)解2其中則故解例2若函數(shù)求例3設(shè)解等式兩邊取對數(shù),得例4設(shè)解求所確定,例5設(shè)函數(shù)解兩邊取對數(shù)所確定,求例6問a何值時,拋物線解由題意所求切線方程為相切,求出切點與切線方程.解得切點為例7設(shè)解討論不存在,故例8求過點解所求切線斜率為切點為所求切線方程為由解出即解方程兩邊對x求導(dǎo),有所求切線斜率為所求切線方程為即例9求曲線處的切線方程.解得解設(shè)例10利用微分求的近似值.例11設(shè)函數(shù)解因(2)求處曲線的法線方程.由(2)所求法線方程為即例12設(shè)解例13設(shè)解練習題一、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解答3.取對數(shù),得兩邊對x求導(dǎo),有二、設(shè)

f(x),g(x)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解三、設(shè)

f(x)二階可導(dǎo),求函數(shù)

二階導(dǎo)數(shù).解解不一定存在,因可導(dǎo),用定義求解因為五、設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)連續(xù),且所以再由函數(shù)在點的鄰域內(nèi)連續(xù)，可得從而不能直接用極限的四則運算法則求解的極限問題方法:型4.1洛必達法則其它能化成這兩種形式的未定式第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方法:型方法:型定理4.1(型的洛必達法則)則設(shè)在

的某空心鄰域內(nèi)滿足下列條件：定理4.1(型的洛必達法則)則設(shè)在

的某空心鄰域內(nèi)滿足下列條件:例4.1求解例4.2求解練習求解練習

求解練習求解注意:

洛必達法則是求未定式的一種有效方法,與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.練習

求解注意洛必達法則的使用條件!極限不存在此時不能使用洛必達法則.例4.3求解例4.4求解例4.5求解例4.6求解例4.8求解例4.7求解例4.9求解練習求解練習求解練習求解練習求解練習求解定理4.2(費爾馬引理)

4.2微分中值定理內(nèi)的最大值或最小值,證不妨設(shè)設(shè)是在點

的某鄰域有根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)條件及極限的保號性,有所以,的點稱為函數(shù)的駐點.

且曲線在該點有切線,如果在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上一定有最大值和最小值.最大、最小值點只可能是駐點、不可導(dǎo)點或區(qū)間的端點.定理4.3(羅爾定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)使得證若函數(shù)f(x)滿足:必有最大值M和最小值m.由費爾馬引理

推論4.1可微函數(shù)的任意兩個零點之間至少有的一個零點．例4.13證明是方程的唯一實根.證矛盾.由羅爾定理,原命題得證.使得在[0,1]上二階可導(dǎo),且則在內(nèi)至少存在一點練習若證使得使得上使用羅爾定理,使得使用羅爾定理,常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：

常數(shù)k法基本思路是令待證等式中的常數(shù)為k，通過恒等變形將含有的式子寫成的形式，

然后用羅爾定理則就是需要的輔助函數(shù),進行證明.例4.14設(shè)分析證令羅爾定理,整理得使得故即定理4.4(拉格朗日中值定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);使得若函數(shù)f(x)滿足:幾何解釋:分析:

在曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線平行于弦AB.證作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式即或故就可以同時得到兩個不等式有限增量公式應(yīng)用：不等式的證明例4.15證明不等式證由拉格朗日中值定理,存在使得由得到例4.16如果證不妨設(shè)例4.17證明當證而故練習證明當證而故定理4.5設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增;單調(diào)遞減.4.3.1函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).證(1)由拉格朗日定理在[a,b]上在[a,b]上4.3

單調(diào)性及其應(yīng)用證明定義域為注1:

定理4.5對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.注2:區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例4.18證明函數(shù)在上單調(diào)遞增.

解例4.19討論函數(shù)的單調(diào)性.

定義域為解定義域為導(dǎo)數(shù)不存在.例4.20

討論函數(shù)的單調(diào)性.

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號.的分界點．則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點,可能是單調(diào)區(qū)間解定義域為例4.21

討論函數(shù)的單調(diào)性.

解定義域為練習

討論函數(shù)的單調(diào)性.

導(dǎo)數(shù)不存在;單調(diào)性是證明函數(shù)不等式的一個有效方法.證例4.22證明當所以在區(qū)間單調(diào)遞增.

因此當時,

得證.練習

證明當證則即即(1)式成立.證練習證明不等式原不等式等價于設(shè)4.3.2函數(shù)的極值定義4.1

的一個極大值(或極小值),

如果在x0的

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)設(shè)在x0

附近有定義,某個空心鄰域內(nèi),恒有注意:

極值的概念是一個局部性的概念,它僅涉取得極值的點x0稱為極值點.及函數(shù)在一點附近的性質(zhì).定理4.6

(極值的必要條件)注意:可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是駐點,例如,但駐點不一定是極值點.則必有設(shè)在點處可導(dǎo),且在處取得極值,

的駐點.另外:連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點,也可能是極值點.例如,設(shè)函數(shù)在x0

處連續(xù),定理4.7(極值的第一充分條件)在x0的某個空心鄰域內(nèi)可導(dǎo),則(1)如果有而有則在處取得極大值;(2)如果有而有則在處取得極小值;(3)如果當及時,符號相同,則在處無極值.是極值點情形不是極值點情形求函數(shù)極值的基本步驟:(3)求出各極值點處的函數(shù)值,得到相應(yīng)的極值.的點和的點;(2)對(1)中求得的每個點,根據(jù)

在其左、

如果是極值點,進一步確定是極大值點還是(1)求出

的所有可能的極值點,即的不可導(dǎo)右是否變號,確定該點是否為極值點.

極小值點;例4.23求函數(shù)的極值.解極大值極小值函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).導(dǎo)數(shù)不存在;不存在無極值不存在定理4.8(極值的第二充分條件)

注意:則設(shè)

在

處具有二階導(dǎo)數(shù),且(1)當時,函數(shù)在處取得極大值;(2)當時,函數(shù)在處取得極小值.此時仍需用定理4.7.極大值極小值解定義域為練習求函數(shù)的極值.求函數(shù)最大值與最小值的一般步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求出區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,3.在實際問題的應(yīng)用中,問題本身可以保證目標4.3.3函數(shù)的最值是最小值;比較大小,其中最大者就是最大值,最小者就種思想求取應(yīng)用問題的最值.函數(shù)的最大值或最小值一定存在,我們通常用這例4.24求函數(shù)在[-1,4]上的最大解計算值與最小值.(-1,4)內(nèi)駐點比較得,最大值最小值例4.25欲建造一個糧倉,糧倉內(nèi)部的下半部分為圓柱規(guī)定糧倉儲藏量為,問如何選取圓柱形的尺寸

能使造價最低.形,頂部為半球形,設(shè)用于建造圓柱形部分的材料的單價為,用于建造半球形部分的材料的單價為.如果糧食只能儲存在圓柱形部分，且解設(shè)圓柱的高和半徑分別為則糧倉的內(nèi)表面積為材料的總價為代入上式得求導(dǎo)得又因為故令,

得駐點.

所求問題最小值一定存在,故唯一駐點唯一駐點,

就是最小值點,

故時造價最低.例4.26鐵路線上段的距離為工廠距處為垂直于(見圖).為了運輸需要,要在線上選定一點向工廠修筑一條公路.已知鐵路上每公里貨運的費用與公路上每公里的費用之比為3:5.為了使貨物從供應(yīng)站運到工廠的運費最少,問點應(yīng)選在何處？則解則設(shè)鐵路上每公里貨運的費用為,公路上每公里的費用,從點到點的總運費為,故時,求導(dǎo)得令得唯一駐點

所求問題的最小值一定存在,故駐點就是問題的最小值點,總運費最少.解得練習

求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的

半徑為R.設(shè)圓柱體的高為2h,底半徑為

r,體積為V,

圓柱體的最大體積一定存在,故唯一駐點

就是最大值點,

最大體積為令得(舍去負值)唯一駐點,4.4.1曲線的凹凸性及拐點左圖中的曲線弧是向下凸的,它具有兩個特征:

(1)連接曲線上任意兩點的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞增.

4.4

函數(shù)圖形總位于這兩點間的曲線弧的上方;

右圖中的曲線弧是向上凸的,它具有兩個特征:

(1)連接曲線上任意兩點的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞減.

有時把向下凸的弧稱為凹的,而把向上凸的弧總位于這兩點間的曲線弧下方;

稱為凸的.曲線的這種性質(zhì)稱作曲線的凹凸性.

恒有設(shè)在區(qū)間I上連續(xù),如果

恒有如果

定義1如果單調(diào)遞增,

定義2設(shè)在區(qū)間I可導(dǎo),如果單調(diào)遞減,

在區(qū)間I是向上凸的,或稱凸的.定理4.9

設(shè)解例4.30

判斷曲線的凹凸性.解例4.31

判斷曲線的凹凸性.解定義4.2連續(xù)曲線上凹凸性發(fā)生變化的點稱為練習判斷曲線的凹凸性.曲線的拐點.定理4.10(拐點的第一充分條件)

設(shè)函數(shù)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在空心鄰域內(nèi)存在,(1)(2)定理4.11(拐點的第二充分條件)

曲線的拐點.解凹的凸的凹的拐點不是拐點例4.32求曲線的拐點及凹凸區(qū)間.

函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).不存在練習

證明證所以曲線在上是嚴格向下凸的.有即令1.垂直漸近線

(垂直于x軸的漸近線)4.4.2曲線的漸近線一條漸近線.移向無窮點時,如果點P到某定直線L的距離趨向于零,如果例如有兩條垂直漸近線:2.水平漸近線

(平行于x軸的漸近線)例如有兩條水平漸近線:如果3.斜漸近線斜漸近線求法如果或若且注意:解如果定義域為練習求的漸近線.不存在;不存在;可以斷定不存在斜漸近線.所以,是曲線的垂直漸近線.所以,是曲線的一條斜漸近線.(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點、奇偶性和周期性.和拐點.(2)確定曲線的漸近線,把握函數(shù)的變化趨勢.

確定曲線的凹凸性(4)適當計算曲線上一些點的坐標,如極值,拐點的坐標,注意曲線是否與坐標軸是否有交點.函數(shù)作圖的具體步驟可歸納如下:

(3)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值,例4.33描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域為水平漸近線:垂直漸近線:無斜漸近線.極大值拐點列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:作圖拐點極大值補充點水平漸近線:垂直漸近線:極大值拐點練習描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域為水平漸近線:不存在拐點極小值間斷點無斜漸近線.列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:鉛直漸近線作圖拐點極小值補充點不存在拐點極小值間斷點水平漸近線:垂直漸近線:定理4.11(柯西中值定理)

使得4.5柯西中值定理與泰勒公式(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且4.5.1柯西中值定理若函數(shù)f(x)及

F(x)滿足:證令整理,得作輔助函數(shù)則在閉區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理條件即使得即由得則例4.34證由由定理的條件得在的某鄰域內(nèi)連續(xù),不妨設(shè)設(shè)x是該鄰域內(nèi)一點故有上式兩端令取極限則在處也連續(xù).注意到于是證畢練習設(shè)函數(shù)證結(jié)論可變形為使得即存在一點4.5.2泰勒公式

在實際問題中,往往希望用一些簡單的函數(shù)來而多項式函數(shù)就是最簡單的一類初等函數(shù).首先考慮函數(shù)在一點附近的多項式近似.如果函數(shù)在點處可導(dǎo),則有令則式(4-1)可簡寫為近似代替復(fù)雜的函數(shù).

式(4-2)可理解為:當比較復(fù)雜時,

我們考慮在點附近用n次即其中如果在點可導(dǎo),則在點附近,可用一次多項式來近似,即多項式來近似.由存在且此時,用定義求導(dǎo)數(shù)，得于是有式(4-3)稱為在處的n階泰勒多項式.設(shè)存在,則定理4.12是在處的n階泰勒多項式.其中證只需證令則連續(xù)使用(n-1)次洛必達法則,有(4-4)式可寫成(4-4)式稱為帶佩亞諾型余項的n階泰勒公式,(4-4)式中的稱為佩亞諾型余項.其中定理4.13(泰勒中值定理

)那么使得其中稱為拉格朗日型余項.證利用柯西中值定理證明令且因此如果公式(4-5)變成

其中(4-7)式稱為f(x)的n階麥克勞林多項式,(4-8)式稱為則f(x)的帶拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.而誤差估計式為稱為f(x)的帶佩亞諾型余項的n階麥克勞林公式.麥克勞林公式的用法:解因代入公式,得例4.35

求

的n階麥克勞林公式.于是注意到估計誤差其誤差取解因例4.36

求

的2n階麥克勞林公式.于是,由麥克勞林公式得到

解練習將

的多項式.而

常用函數(shù)的麥克勞林公式解因例4.37

利用帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式，求

解因練習

計算