微積分 第3版 課件 9第三節(jié) 常系數(shù)線性微分方程

如果

與

是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,其中p,q為常數(shù),稱為二階常系數(shù)齊次線性方程.9.3二階常系數(shù)線性微分方程1.定義方程

則

就是方程(1)的通解.由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論:

稱為方程(9-6)對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性方程，9.3二階常系數(shù)線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中不恒為零.而方程其中p,q為常數(shù).一般地,我們稱

稱為特征方程,稱的根為特征根.為方程(9-6)和(9-7)的特征多項(xiàng)式,

容易驗(yàn)證以下結(jié)論：齊次線下微分方程解的疊加原理,即如果y1(x),y2(x)是二階齊次線性方程(9-7)的兩個(gè)解,則y=y1(x)+y2(x)也是方程(9-7)的解.特別的,如果不恒等于常數(shù)(此時(shí)稱y1(x)與

y2(x)線性無關(guān)),則y=y1(x)+y2(x)是方程(9-7)的通解,其中C1和C2是任意常數(shù).(2)如果是二階非齊次線性方程(9-6)的一個(gè)特解,Y是對(duì)應(yīng)的齊次方程(9-7)的通解,則是二階非齊次線性方程(9-6)的通解.是方程的解,和方程

則的解.(3)如果

故有9.3.1二階常系數(shù)齊次線性方程解法做變量代換，代入方程（9-7）,得解得特征根為可得兩個(gè)線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為(1)若特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根特征根為(2)若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根得一特解故齊次方程的通解為特征根為設(shè)另一特解為于是(3)若特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根故齊次方程的通解為特征根為用歐拉(Euler)公式:為了得到實(shí)數(shù)形式的解,得兩個(gè)線性無關(guān)的特解及齊次方程解的疊加原理得特征方程常系數(shù)齊次線性方程通解的表達(dá)式特征根的情況實(shí)根復(fù)根實(shí)根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法,稱為特征方程法.解特征方程為特征根為例1求方程的通解.故所求通解為解特征方程為特征根為故所求通解為例2求方程的通解.解特征方程為特征根為故所求通解為例3求方程的通解.解特征方程為特征根為所以方程的通解為練習(xí)

求解初值問題故所求特解為1.多項(xiàng)式這類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中

是m次多項(xiàng)式.因多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍是多項(xiàng)式,我們猜測這類方程

的特解也是多項(xiàng)式.9.3.2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

例4求下列方程的一個(gè)特解:解(1)做兩次積分取積分常數(shù)為零,得特解為設(shè)代入方程整理得

比較系數(shù)得即

比較方程兩邊次數(shù),

應(yīng)為2次多項(xiàng)式.則積分并取積分常數(shù)為零,得特解設(shè),則代入方程得

整理得

比較系數(shù)得解得

特解為

應(yīng)為2次多項(xiàng)式.為此只需要做變量代換

其中z是未知函數(shù).

2.多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積這類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中是x的m次多項(xiàng)式,

是常數(shù).注意到只要能消去指數(shù)ex即可歸結(jié)為上一種情形.解令代入方程,整理得設(shè)則比較系數(shù),得例5求方程的一個(gè)特解.

則解得原方程的一個(gè)特解為解(一)求對(duì)應(yīng)齊次微分方程通解特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊次方程通解例6求方程的通解,并求滿足條件的特解.

(二)求非齊次微分方程通解特征多項(xiàng)式為

令原方程通解為因此,原方程的一個(gè)特解為得特解則原方程化為

其中即有解得所以,原方程滿足初始條件的特解為(三)確定非齊次微分方程滿足初始條件的特解求導(dǎo)得解特征方程為則例7求方程的通解.

特征根為對(duì)應(yīng)的齊次方程通解令則代入方程,整理得設(shè)該方程特解為解得原方程的一個(gè)特解為原方程通解為令則或3.正弦和余弦這種類型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中是x的m次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,

p,q,是實(shí)常數(shù).的解.的特解求法與前面的討論完全相同,和由線性微分方程解的結(jié)