微積分 第3版 課件 8第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的審斂法

則稱該級數(shù)稱為正項級數(shù).8.2.1正項級數(shù)及其審斂法由單調(diào)有界數(shù)列必有極限,

可得下面重要定理.顯然,正項級數(shù)部分和數(shù)列單調(diào)增加.定理8.1正項級數(shù)收斂當且僅當它的部分和數(shù)列有界.8.2

常數(shù)項級數(shù)的審斂法定理8.2(比較審斂法)證即部分和數(shù)列有界,則收斂;(1)若收斂,(2)若發(fā)散,所以

收斂.且則發(fā)散.(2)

用反證法

若收斂,則由(1)可知也收斂,矛盾.故發(fā)散.解p-級數(shù)的部分和為由調(diào)和級數(shù)發(fā)散,例1討論p-級數(shù)的斂散性(常數(shù)p>0).證明部分和數(shù)列有上界,有

發(fā)散.從而收斂.

等比數(shù)列

而重要參考級數(shù):

幾何級數(shù),p-級數(shù),

調(diào)和級數(shù).通常取是斂散性已知的級數(shù)作為比較的標準,用于判斷的收斂性.重要結(jié)果:例2

討論下列級數(shù)的斂散性:解

(1)因由比較審斂法,級數(shù)(1)發(fā)散.(2)因

由比較審斂法,級數(shù)(2)收斂.定理8.3(p—級數(shù)審斂法)解(1)因故級數(shù)(1)發(fā)散.例3討論下列級數(shù)的斂散性:(2)因故,級數(shù)(2)收斂.故,級數(shù)(4)收斂.(3)因(4)因故,級數(shù)(3)發(fā)散.定理8.4(達朗貝爾比值審斂法)

(1)當時級數(shù)收斂;設是正項級數(shù),如果則(2)當時級數(shù)發(fā)散.證有即故原級數(shù)收斂.所以,當時,原級數(shù)發(fā)散.當時,比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).注意:

當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.2.若用比值判別法判定級數(shù)發(fā)散注:級數(shù)的通項un不趨于零.1.適用于或關于n的若干連乘積(或商)形式.例如,級數(shù)級數(shù)收斂3.條件是充分的,而非必要的.例如,所以,級數(shù)所以,不存在.解因例4判別級數(shù)的斂散性.故,原級數(shù)收斂.例5判別級數(shù)的斂散性.解當0<a<1時,收斂;當a>1時,發(fā)散;當

a=1時,原級數(shù)為收斂.正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).8.2.2交錯級數(shù)定理8.5(萊布尼茲定理)則級數(shù)收斂,即形如如果交錯級數(shù)滿足條件:分析:證證畢例如,都是收斂的交錯級數(shù).也是收斂的交錯級數(shù).余項注:比較un與un+1大小的方法有三種:(1)比值法,

??(3)由un找出一個連續(xù)可導函數(shù)考察?(2)差值法,

用萊布尼茨定理判別交錯級數(shù)是否收斂時,要考察un與un+1大小.使得解所以,交錯級數(shù)收斂.例6

判別級數(shù)

的斂散性.及交錯級數(shù)滿足條件例如,均條件收斂;定義

若

收斂,則稱

為絕對收斂;而級數(shù)絕對收斂.正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).8.2.3絕對收斂與條件收斂任意項級數(shù)思想:正項級數(shù)若

收斂,而

發(fā)散,則稱

為條件收斂.證又因注:

一個條件收斂的交錯級數(shù)的所有奇數(shù)項所成的級數(shù)是發(fā)散的,所有偶數(shù)項所成的級數(shù)也是發(fā)散的.定理8.6

若級數(shù)絕對收斂,則級數(shù)一定收斂.通常先考查它若使用比值法或根值法判定級數(shù)不絕對收斂(這時級數(shù)的通項不趨對于交錯級數(shù),利用無窮級數(shù)的性質(zhì)將級數(shù)拆開為如不是絕對收斂的,再看它是否條件收斂.便可斷言級數(shù)發(fā)散.萊布尼茨定理.然后討論斂散性也是常用手段.兩個級數(shù),討論任意項級數(shù)的收斂性時,是否絕對收斂(用正項級數(shù)的審斂法),于零),

可用