專題04大題專攻（三）（概率與統(tǒng)計大題的思維建模）（原卷版）2022年高考數學二輪提素養(yǎng)高分進階新方案（新高考專版）

專題04大題專攻（三）（概率與統(tǒng)計大題的思維建模）目錄一宏觀掌握解題通路：概率與統(tǒng)計問題重在“辨”——辨析，辨型二微觀優(yōu)化解題細節(jié)：三招突破概率、統(tǒng)計大題解題瓶頸第一招：信息巧提取第二招：數據巧處理第三招：公式巧變形應用體驗精選好題做一當十一宏觀掌握解題通路：概率與統(tǒng)計問題重在“辨”——辨析，辨型(1)準確弄清問題所涉及的事件有什么特點,事件之間有什么關系,如互斥、對立、獨立等;(2)理清事件以什么形式發(fā)生,如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等;(3)明確抽取方式,如放回還是不放回、抽取有無順序等;(4)準確選擇排列組合的方法來計算基本事件個數和基本事件總數,或根據概率計算公式和性質來計算事件的概率;(5)確定隨機變量取值并按照屬于超幾何分布還是二項分布求其對應的概率,寫出分布列后再求期望;(6)會套用公式求,的公式求值,再作進一步求值與分析1．（2021·福建寧德·高三期中）新高考的數學試卷第1至第8題為單選題，第9至第12題為多選題.多選題、、、四個選項中至少有兩個選項符合題意，其評分標準如下：全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分.在某次考試中，第11、12兩題的難度較大，第11題正確選項為，第12題正確選項為.甲?乙兩位同學由于考前準備不足，只能對這兩道題的選項進行隨機選取，每個選項是否被選到是等可能的.（1）若甲同學每題均隨機選取一項，求甲同學兩題得分合計為4分的概率；（2）若甲同學計劃每題均隨機選取一項，乙同學計劃每題均隨機選取兩項，記甲同學的兩題得分為，乙同學的兩題得分為，求的期望并判斷誰的方案更優(yōu).二微觀優(yōu)化解題細節(jié)：三招突破概率、統(tǒng)計大題解題瓶頸第一招：信息巧提取1．（2021·安徽·六安一中模擬預測（理））為落實《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育“健康知識+基本運動技能+專項運動技能”教學模式，建立“校內競賽—校級聯(lián)賽—選拔性競賽—國際交流比賽”為一體的競賽體系，構建校?縣(區(qū))?地(市)?省?國家五級學校體育競賽制度.某校開展“陽光體育節(jié)活動，其中傳統(tǒng)項目定點踢足球”深受同學們喜愛.其間甲?乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽(每人各踢一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲?乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響.（1）經過1輪踢球，記甲的得分為，求的數學期望；（2）用表示經過第輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率.求，.2．（2021·廣東·惠來縣第一中學高三月考）某商城玩具柜臺元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產品就可以贈送元旦禮品．而每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個．（1）記事件：一次性購買個甲系列盲盒后集齊，，玩偶；事件：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒．通過統(tǒng)計發(fā)現：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復，記某人第次購買甲系列的概率為．①；②若禮品店每賣出一個甲系列的盲盒可獲利20元，賣出一個乙系列的盲盒可獲利15元，由樣本估計總體，若禮品店每天可賣出1000個盲盒，且買的人之前都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天利潤為多少元？．第二招：數據巧處理1．（2021·江蘇·南京市中華中學高三月考）某普通高中為了解本校高三年級學生數學學習情況，對期末考試數學成績進行分析，從中抽取了名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計（該校全體學生的成績均在[60，150]），按下列分組[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]作出頻率分布直方圖.如圖，樣本中分數在[70，90）內的所有數據是：72，75，77，78，81，82，85，88，89.根據往年錄取數據劃出預錄分數線，分數區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.分數[60，80）[80，120）[120，150）可能被錄取院校層次專科本科自招（1）根據樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級學生中任取1人，求此人能被?？圃盒ｄ浫〉母怕剩唬?）在選取的樣本中，從可能錄取為自招和?？苾蓚€層次的學生中隨機抽取3名學生進行調研，用表示所抽取的3名學生中為?？频娜藬?，求隨機變量的分布列和數學期望.2．（2021·河南·中牟縣第一高級中學模擬預測（理））隨著校運會的臨近，某班甲、乙兩名同學開始記錄自己100米短跑的成績，他們二人的某10次的成績（單位：秒）如表：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5（1）請完成如圖的樣本數據的莖葉圖（在答題卡中），并分析甲、乙二人的成績情況；（2）從甲、乙兩人的10次成績中各隨機抽取一次分別記為，，定義隨機變量，求的分布列和期望．第三招：公式巧變形1．（2021·全國·高三專題練習）近幾年，快遞業(yè)的迅速發(fā)展導致行業(yè)內競爭日趨激烈.某快遞網點需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位：元)與當天攬收的快遞件數(單位：千件)之間的關系，對該網點近5天的每日攬件量(單位：千件)與當日收發(fā)一件快遞的平均成本(單位；元)(i=1，2，3，4，5)數據進行了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.45.160.4152.028300.507表中，.（1）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為關于的回歸方程類型？并根據判斷結果及表中數據求出關于的回歸方程；（2）各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實現總利潤的增長，除了提升服務質量?提高時效保障外，價格優(yōu)惠也是重要策略之一.已知該網點每天攬收快遞的件數(單位：千件)與單件快遞的平均價格(單位；元)之間的關系是，收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本，根據（1）中建立的回歸方程解決以下問題：①預測該網點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤；②單件快遞的平均價格為何值時，該網點一天內收發(fā)快遞所獲利潤的預報值最大？附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.2．（2021·全國·高三專題練習）某公司為了了解年研發(fā)資金投人量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.對公司近年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數據，進行了對比分析，建立了兩個函數模型：①，②，其中、、、均為常數，為自然對數的底數.并得到一些統(tǒng)計量的值.令，，經計算得如下數據：2（1）請從相關系數的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？（2）①根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程；②若下一年銷售額需達到億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？附：相關系數：，回歸直線中公式分別為：，；參考數據：，，.應用體驗精選好題做一當十1．（2021·黑龍江·哈九中高三月考（理））冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆.第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行，為了弘揚奧林匹克精神，增強學生的冬奧會知識，某市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.為了了解學生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與情況，在全市中小學學校中隨機抽取了10所學校，10所學校的參與人數如下：（1）現從這10所學校中隨機選取2所學校進行調查，求選出的2所學校參與旱地冰壺人數在30人以下的概率.（2）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉彎、八字登坡滑行這3個動作進行技術指導.規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導前，該校甲同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導后的考核中，甲同學總考核成績?yōu)椤皟?yōu)”.能否認為甲同學在指導后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化?請說明理由.2．（2021·江蘇省前黃高級中學模擬預測）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采用的測試方法如下：拿出（且）瓶外觀相同但品質不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質優(yōu)劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質優(yōu)劣為它們排序．這稱為一輪測試，根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分．現分別以，，，…，表示第一次排序時被排在，，，…，的種酒在第二次排序時的序號，并令，則是對兩次排序的偏離程度的一種描述．下面取研究，假設在品酒師僅憑隨機猜測來排序的條件下，，，，等可能地為，，，的各種排列，且各輪測試相互獨立．（1）直接寫出的可能取值，并求的分布列和數學期望；（2）若某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有，則認為該品酒師有較好的酒味鑒別功能．求出現這種現象的概率，并據此解釋該測試方法的合理性．3．（2021·河北衡水中學模擬預測）第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京市和張家口巿聯(lián)合舉行．某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識講解員選技大賽．選手需關注活動平臺微信公眾號后，進行在線答題，滿分為200分．經統(tǒng)計，有40名選手在線答題總分都在內．將得分區(qū)間平均分成5組，得到了如圖所示的頻率分布折線圖．（1）請根據頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并估計這40名選手的平均分；（2）根據大賽要求，在線答題總分不低于190分的選手進入線下集訓，線下集訓結束后，進行兩輪考核．第一輪為筆試，考試科目為外語和冰雪運動知識，每科的筆試成績從高到低依次有，，，四個等級．兩科均不低于，且至少有一科為，才能進入第二輪面試，第二輪得到“通過”的選手將獲得“冬奧知識講解員”資格．已知總分高于195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；總分不超過195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；若兩科筆試成績均為，則無需參加“面試”，直接獲得“冬奧知識講解員”資格；若兩科筆試成績只有一個，則要參加面試，總分高于195分的選手面試“通過”的概率為，總分不超過195分的選手面試“通過”的概率為．若參加線下集訓的選手中有2人總分高于195分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識講解員”資格的概率．4．（2021·福建龍巖·三模）甲?乙兩人進行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負.已知本次比賽的主辦方提供8000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲?乙便按照比賽繼續(xù)進行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.已知每場比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立.（1）設每場比賽甲贏的概率為，若比賽進行了5場，主辦方決定頒發(fā)獎金，求甲獲得獎金的分布列；（2）規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件，我們可以認為該事件不可能發(fā)生，否則認為該事件有可能發(fā)生.若本次比賽，且在已進行的3場比賽中甲贏2場?乙贏1場，請判斷：比賽繼續(xù)進行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生，并說明理由.5．（2021·全國·高三專題練習（理））2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎性地位，也是市場經濟的基本法.某中學培養(yǎng)學生知法懂法，組織全校學生學習《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學習的效果，現從高一，高二兩個年級中各隨機抽取名學生的成績(單位：分)，繪制成如圖所示的莖葉圖：（1）通過莖葉圖分析哪個年級的學生學習效果更好；(不要求計算，分析并給出結論)（2）根據學生的競賽成績，將其分為四個等級：測試成績(單位：分)等級合格中等良好優(yōu)秀①從樣本中任取名同學的競賽成績，在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這名同學來自同一個年級的概率.②現從樣本中成績?yōu)榱己玫膶W生中隨機抽取人座談，記為抽到高二年級的人數，求的分布列和數學期望.6．（2021·全國·高三專題練習（文））某電影制片廠從2011年至2020年生產的科教影片、動畫影片、紀錄影片的時長（單位：分鐘）如圖所示.（1）從2011年至2020年中任選一年，求此年動畫影片時長大于紀錄影片時長的概率；（2）從2011年至2020年中任選兩年，設為選出的兩年中動畫影片時長大于紀錄影片時長的年數，求的分布列和數學期望；（3）將2011年至2020年生產的科教影片、動畫影片、紀錄影片時長的方差分別記為，試比較的大小.（只需寫出結論）7．（2021·全國·高三專題練習）某動植物園游客行走示意圖如圖所示，每位游客進園后選擇其中任意一條路線行走是等可能的.現有，，，，,5名游客結伴進園游玩，并按箭頭方向入園后各自開始自由行走，同時約定最后到出口集合.（Ⅰ）求游客經過游樂場的概率；（Ⅱ）若這5名游客中恰有名游客經過游樂場，求隨機變量的概率分布列和數學期望.8．（2021·全國·高三專題練習）全球化時代，中國企業(yè)靠什么在激烈的競爭中成為世界一流企業(yè)呢？由人民日報社指導，《中國經濟周刊》主辦的第十八屆中國經濟論壇在人民日報社舉行，就中國企業(yè)如何提升全球行業(yè)競爭力進行了研討.數據顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入(百萬元)與收益(百萬元)的數據統(tǒng)計如下：科技投入1234567收益19202231405070根據數據特點，甲認為樣本點分布在指數型曲線的周圍，據此他對數據進行了一些初步處理.如下表：514012391492134130其中，.（1）請根據表中數據，建立關于的回歸方程(系數精確到)；（2）①乙認為樣本點分布在直線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的決定系數(即相關指數)，試比較甲乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？②由①所得的結論，計算該企業(yè)欲使收益達到億元，科技投入的費用至少要多少百萬元？(精確到)附：對于一組數據，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，，決定系數：.參考數據：.（2021·廣東寶安·高三月考）近年來，明代著名醫(yī)藥學家李時珍故鄉(xiāng)黃岡市蘄春縣大力發(fā)展大健康產業(yè)，蘄艾產業(yè)化種植已經成為該縣脫貧攻堅的主要產業(yè)之一，已知蘄艾的株高y(單位：cm)與一定范圍內的溫度x(單位：℃)有關，現收集了蘄艾的13組觀測數據，得到如下的散點圖：現根據散點圖利用或建立y關于x的回歸方程，令，得到如下數據