專題09平面的基本性質(zhì)異面直線（知識點串講）（原卷版）

專題09平面的基本性質(zhì)、異面直線【考點梳理】考點一：1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．它的作用是可用來證明點在平面內(nèi)或直線在平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．公理2的推論如下：①經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；②經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；③經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．公理2及其推論的作用是可用來確定一個平面，或用來證明點、線共面．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．它的作用是可用來確定兩個平面的交線，或證明三點共線、三線共點等問題．2．平行公理公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行(空間平行線的傳遞性)．它給出了判斷空間兩條直線平行的依據(jù)．3．等角定理等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．例1.下列條件中不能確定一個平面的是（

）A．不共線三點 B．兩條相交直線 C．兩條平行直線 D．四邊形變式1.下列命題正確的是（

）A．三個點可以確定一個平面 B．長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體C．一條直線和一個點可以確定一個平面 D．兩條直線可以確定一個平面例2.點M在直線l上，l在平面外，用符號表示正確的是（

）A．， B．，C．， D．，變式2.“點在直線上，在平面內(nèi)”可表示為（

）A．， B．，C．， D．，例3.一條直線和直線外的三點所確定的平面有（

）A．1個或3個 B．1個或4個C．1個，3個或4個 D．1個，2個或4個變式3.一條直線和這條直線外不共線的三點，最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A．3 B．4 C．5 D．6例4.如果，，那么與（

）．A．相等 B．互補 C．相等或互補 D．以上均不對變式4.已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則（

）A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°例5.如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．直線在平面內(nèi)C．相交或直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)變式5.已知直線，和平面滿足，，則與的位置關(guān)系為.考點二：4．空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一個平面內(nèi)，有且只有.,平行直線：同一個平面內(nèi)，.)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，.))(一個公共點沒有公共點沒有公共點)(2)異面直線①定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．注：異面直線定義中“不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線”是指“不可能找到一個平面能同時經(jīng)過這兩條直線”，也可以理解為“既不平行也不相交的兩條直線”，但是不能理解為“分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線”．②異面直線的畫法：畫異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行又不相交，也不共面的特點，常常需要以輔助平面作為襯托，以加強直觀性．③異面直線所成的角：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．若兩條異面直線所成的角是直角，則稱兩條異面直線互相垂直，所以空間兩條直線垂直分為相交垂直和異面垂直．例1.下列命題正確的是（

）A．沒有公共點的兩條直線是平行直線B．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行C．不在同一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線D．既不平行又不相交的兩條直線是異面直線變式1.異面直線是指（

）A．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線B．平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線C．分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線D．空間中兩條不相交的直線例2.，是異面直線，，是異面直線，則，的位置關(guān)系是（

）A．異面B．相交或異面C．平行或相交 D．相交、平行或異面．變式2.若平面平面，直線，直線，那么直線a，b的位置關(guān)系是（

）A．不相交 B．平行 C．異面 D．相交例3.在正方體中，AB的中點為M，的中點為N，則異面直線BC與DN所成角的正切值為（

）A． B． C． D．變式3.，分別是正方體的棱和的中點，則和所成角的大小為（

）A． B． C． D．例4.長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有對．變式4.如圖，在直三棱柱的棱所在的直線中，與直線異面的直線的條數(shù)為．例5.如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)為棱上的中點，則異面直線EF與BD所成