金融數(shù)學(xué)課件 ch2 布朗運(yùn)動(dòng)

金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE10/59第二章布朗運(yùn)動(dòng)第二章布朗運(yùn)動(dòng)金融數(shù)學(xué)中國(guó)人民大學(xué)出版社引言引言在隨機(jī)過程領(lǐng)域，有一類時(shí)間和狀態(tài)均連續(xù)的隨機(jī)過程，稱為馬氏過程（vprocess，其中最具有代表性的就是在金融工程、高能物理等研究領(lǐng)域中被廣泛使用的布朗運(yùn)動(dòng)Brownianmotio。布朗運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)史布朗運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)史布朗運(yùn)動(dòng)（Brownianmotion）是由英國(guó)生物學(xué)家羅伯特?布朗（RobertBrown，1773—1858）于1828年首先觀察到的花粉顆粒浮于液體內(nèi)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象。1900年，法國(guó)數(shù)學(xué)家路易斯?巴舍利耶（LouisBachelier，1870—1946）在他的博士論文中正式將布朗運(yùn)動(dòng)引入證券市場(chǎng)，用來(lái)描述股價(jià)的變動(dòng)。阿爾伯特?愛因斯坦（AlbertEinstein，1879—1955）1905年在研究狹義相對(duì)論的過程中，獨(dú)立地對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)學(xué)刻畫。之后，諾伯特?維納（NorbertWiener，1894—1964）1923年研究了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)理論，并對(duì)其嚴(yán)格定義，因此布朗運(yùn)動(dòng)也被稱為維納過程（ienerproces。布朗運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)史(cont.)布朗運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)史(cont.)美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家保羅?薩繆爾森（PaulSamuelson，1915—2009）在曼德爾布羅特（B.Mandelbrot，1924—2010）和奧斯本（MOsborne，1888—1966）1960年代對(duì)巴舍利耶的研究成果進(jìn)行了重新發(fā)掘，將布朗運(yùn)動(dòng)再度引入金融經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，并嘗試研究金融市場(chǎng)中的權(quán)證定價(jià)問題。至此，布朗運(yùn)動(dòng)在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)及金融工程學(xué)中建立了重要地位。本章內(nèi)容本章內(nèi)容1隨機(jī)游走1隨機(jī)游走的含義對(duì)稱隨機(jī)游走2按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)2布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的變換布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)3布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的概念3

首中時(shí)刻的性質(zhì)4首中時(shí)刻在金融中的應(yīng)用反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值4反射原理布朗運(yùn)動(dòng)的最大值56反射原理在金融中的應(yīng)用馬氏過程56布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式布朗橋有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走假設(shè)一個(gè)粒子每隔?t時(shí)間做一次向上或向下的運(yùn)動(dòng)，其中向上運(yùn)動(dòng)的概率為p，移動(dòng)的距離為1個(gè)單位；向下運(yùn)動(dòng)的概率為q=1?p，移動(dòng)的距離也為隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走粒子向下運(yùn)動(dòng)的位移即為?1個(gè)單位。將每次粒子的位移記作隨機(jī)變量Zi，其中i表示移動(dòng)的次數(shù)。相應(yīng)地，粒子的上下運(yùn)動(dòng)稱作隨機(jī)游走（randomk。因此有：P(Zi=1)=p, P(Zi=?1)=q=1?p假設(shè)隨機(jī)變量Zi是獨(dú)立同分布的，當(dāng)t=n?t時(shí)，將t時(shí)間段內(nèi)粒子的位移記作X(t)，則有：X(t)=Z1+Z2+···+Zn金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE7/59隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走的含義(cont.)隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走

E(Zi)=1·P(Zi=1)+(?1)·P(Zi=?1)=p?qiE(Z2)=12·P(Zi=1)+(?1)2·P(Zi=?1)=1iiVar(Zi)=E(Z2)?[E(Zi)]2=4pqi由于期望具有線性性質(zhì)，因此：E[X(t)]=E(Z1)+E(Z2)+···+E(Zn)=n(p?q)另外，基于隨機(jī)變量Zi是獨(dú)立同分布的前提假設(shè)可得：Var[X(t)]=Var(Z1)+Var(Z2)+···+Var(Zn)=4npq隨機(jī)游走 隨機(jī)游走 隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走示意圖X(X(t)t12345678910?1?2隨機(jī)游走 隨機(jī)游走 對(duì)稱隨機(jī)游走對(duì)稱隨機(jī)游走若隨機(jī)游走的粒子上下運(yùn)動(dòng)的概率均為50%，即p=q=0.5，可以得到粒子位移X(t)的均值和方差分別為：E[X(t)]=n(p?q)=0Var[X(t)]=4npq=n對(duì)應(yīng)的每次粒子位移Zi的均值和方差分別為：E(Zi)=0, Var(Zi)=1此時(shí)的隨機(jī)游走稱作對(duì)稱隨機(jī)游走（crandomk。其中，位移的期望為零，方差則與位移次數(shù)n有關(guān)。n=t/?t，也就是t位移的期望為零，方差則與位移次數(shù)n有關(guān)。對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差對(duì)稱隨機(jī)游走隨機(jī)游走截至t時(shí)刻的對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差（對(duì)稱隨機(jī)游走隨機(jī)游走?? ? ?nX,X(t)= (Xi Xi?1)2i=1由于增量Zi=Xi?Xi?1=±1，因此：?X,X?(t)=n由此不難看出，對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差在數(shù)值上等于其方差，即：Var[X(t)]=n=?X,X?(t)隨機(jī)游走 隨機(jī)游走 對(duì)稱隨機(jī)游走對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差與方差Var[X(t)]=n=?X,X?(t)二次變差?X,X?(t)=n與隨機(jī)游走中上下運(yùn)動(dòng)的概率無(wú)關(guān)；而方差Var[X(t)]=n成立的前提是對(duì)稱隨機(jī)游走，即p=q=0.5。正因如此，二次變差?X,X?(t)是沿著隨機(jī)游走的單條路徑計(jì)算得到，而方差Var[X(t)]則是對(duì)所有的路徑，以其概率權(quán)重求平均得到。隨機(jī)游走 隨機(jī)游走 按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走在原先的對(duì)稱隨機(jī)游走的基礎(chǔ)上，引入按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走（dsymmetricrandomwalk，將原先的t時(shí)間段粒子位移的次數(shù)n劃?t=t/n劃分成距離相等的m?t?t/mn次mnZiW(m)(s)，從而可得：W(m)

1(s)=√mZms, s∈[0,t]按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走的示意圖按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走的示意圖隨機(jī)游走隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走W(100)(t)34t120?1隨機(jī)游走 隨機(jī)游走 按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走(cont.)EW(m)

()＿

=0,

(s)＿=

（ ＼1（ ＼√m

11=m對(duì)于[s,t]時(shí)間段內(nèi)的增量W(m)(t)?W(m)(s)而言，粒子發(fā)生了m(t?s)次位移，根據(jù)獨(dú)立增量的性質(zhì)可得：E(m)()?W(m)(s)＿=0,mr(m)()?W(m)(s)＿=1·(t?s)=t?sm接下來(lái)考慮二次變差，可得：／W(m),W()＼

(t)=

mt?Wj?W

（j＼mm

（?1＼l2mmj=1=√mZj=m=m·j=1=√mZj=m=m·mt=t

mt1 1jj=1j=1 j=1j=1因此，按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走的均值、方差和二次變差分別如下：EW()(t)＿=0, rW()(t)＿=t, ／W(m),W()＼(t)=t0t的正態(tài)分布。當(dāng)按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走的參數(shù)m→∞時(shí)，隨機(jī)游走就變成了布朗運(yùn)動(dòng)。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)固定t≥0時(shí)，W(m)(t)在時(shí)刻t取值的分布將收斂于均金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE16/59布朗運(yùn)動(dòng)的定義布朗運(yùn)動(dòng)的定義布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì){W(t)t≥0}W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（dBrownianmotion，簡(jiǎn)稱為布朗運(yùn)動(dòng)Brownianmotio布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)W(t)連續(xù)且W(0)=0；W(t)～N(0,t)；注意：W(s+t)?W(s)～N(0,t)；W(t)是獨(dú)立增量過程。注意：結(jié)合條件結(jié)合條件2和3可知，布朗運(yùn)動(dòng)具有平穩(wěn)增量的特征。金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社17/59布朗運(yùn)動(dòng)的增量獨(dú)立性布朗運(yùn)動(dòng)的增量獨(dú)立性布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)若0≤s1<t1≤s2<t2，則W(t1)?W(s1)和W(t2)?W(s2布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)Cov[W(t1)?W(s1),W(t2)?W(s2)] l=Cov[W(t1?s1),W(t2?s l=EW(t1?s1)W(t2?s2)?E[W(t1?s1)]E[W(t2?s2)]對(duì)于正態(tài)分布而言，獨(dú)立意味著不相關(guān)，因此：Cov[W(t1)?W(s1),W(t2)?W(s2)]=0又由于布朗運(yùn)動(dòng)的增量均值為0，從而可得：EW(t1?s1)W(t2?s2)l=0金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社18/金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社18/59布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) lE[W(布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) lVar[W(t)]=t=EW2(t)；若s<t，則Cov[W(s),W(t)]=E[W(s)W(t)]=s∧t=s。布朗運(yùn)動(dòng)W(t)的矩母函數(shù)如下：Wt()2M (θ)=EeθW(t)＿=exp（1θ2Wt()2金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社19/59布朗運(yùn)動(dòng)的協(xié)方差布朗運(yùn)動(dòng)的協(xié)方差布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) l lCov[W(s),W(t)]=EW(s)W(t)?E[W(布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) l l｛ ｝=EW(s)W(t｛ ｝｛ ｝ l=EW(s)[W(t)?W(s)+W(s｛ ｝ l｛ ｝=EW(s)[W(t)?W(s)]+EW2(s｛ ｝ l根據(jù)增量獨(dú)立性，EW(s)[W(t)?W(s lCov[W(s),W(t)]=EW2(s)=s更進(jìn)一步地，上式可以表示如下：Cov[W(s),W(t)]=min(s,t)=s∧t其中，符號(hào)∧表示取兩值中的較小值。布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)舉例1金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE25/59解答：假設(shè)0<s<t，求W(s)+W(t)的均值和方差。解答：W(s)+W(t)可以如下變形：W(s)+W(t)=2W(s)+[W(t)?W(s)]根據(jù)期望的線性性質(zhì)可得：E[W(s)+W(t)]=E[W(s)]+E[W(t)]=0根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)的增量獨(dú)立性，有：Var[W(s)+W(t)]=Var[2W(s)+W(t)?W(s)]=4Var[W(s)]+Var[W(t)?W(s)]=4Var[W(s)]+(t?s)=4s+(t?s)=3s+t布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)舉例2解答：對(duì)于在直線上做布朗運(yùn)動(dòng)的粒子而言，其在時(shí)刻2的坐標(biāo)為1，求其在時(shí)刻5的坐標(biāo)不超過3的概率。解答：該概率是一個(gè)條件概率，表達(dá)式為：P[W(5)≤3|W(2)=1]，因此：P[W(5)≤3|W(2)=1]=P[W(5)?W(2)≤2|W(2)=1]=P[W(5)?W(2)≤2]=P[W(3)≤2]（ ＼由于W(3)～N(0,3)（ ＼2P[W(3)≤2]=N √3其中，N(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)

=0.876布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)的變換布朗運(yùn)動(dòng)的變換對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)W(t)，如下變換后的隨機(jī)過程X(t)仍然是布朗運(yùn)動(dòng)：反射變換(reflection)：X(t)=?W(t)。1平移變換(translation)：X(t)=W(t+s)?W(s),?s≥0?？s放變換(rescaling)：X(t)=√aW(at),?a>0。1證明的思路：反轉(zhuǎn)變換(inversion)：X(t)=tW(1/t)，t>0，并且X(0)=0。證明的思路：該過程的期望和方差是否滿足布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，即：該過程的期望和方差是否滿足布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，即：E[W(t)]=0,Cov[W(t),W(s)]=s∧t布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量W(t+?t)?W(t)～N(0,?t)當(dāng)?t→0時(shí)，定義：dW(t)=lim?t→0

W(t+?t)?W(t)此時(shí)W()稱作(t)的瞬時(shí)增量（instantaneousincremen，相應(yīng)地：dW(t)～N(0dt)如果對(duì)W(t)關(guān)于t求導(dǎo)，可得：dW(t)=lim

W(t+?t)?W(t)dt ?t→0 ?t布朗運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)增量的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)增量的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)E「

(t+?t)?W(t)l=1·E[W(t+?t)?W(t)]=0→ 「 l→∞?t?t?t(?t)2?tVar「(t+?t)?W(t)l=1 ·Var[W→ 「 l→∞?t?t?t(?t)2?t當(dāng)?t 0時(shí)，VarW(t+?t)?W(t) ，微商的方差無(wú)界，意味?t布朗運(yùn)動(dòng)W(t)是處處連續(xù)且處處不可微的特殊函數(shù)。布朗運(yùn)動(dòng)的這一特征，決定了其路徑不是光滑（smooth）的。布朗運(yùn)動(dòng)W(t)是處處連續(xù)且處處不可微的特殊函數(shù)。布朗運(yùn)動(dòng)的這一特征，決定了其路徑不是光滑（smooth）的。注意：金融數(shù)學(xué)第二章金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE25/59布朗運(yùn)動(dòng)的變差布朗運(yùn)動(dòng)的變差布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)W(t)，其一次變差（布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)—1?—1?limn→∞limn→∞k=01W(tk+1)?W(tk)1=∞二次變差（quadraticvariation）如下：—n—? ?W,W(t)=? ?n→∞k=0

2＿W(tk+1)?W(tk) =t＿類似地，當(dāng)p≥3時(shí)，其高階變差如下：limn→∞k=0W(tk+1)?limn→∞k=0W(tk+1)?W(tk)=0布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差也可以形式地記為：dW(t)·dW(t)=dt布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì) 布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)二次變差布朗運(yùn)動(dòng)與光滑函數(shù)最主要的差別體現(xiàn)在二次變差上：光滑函數(shù)的二次變差為零；布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差不為零。布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻 布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻 首中時(shí)刻的概念首中時(shí)刻的概念τaaτa=min{t:t≥0,W(t)=a}首中時(shí)刻τa是一個(gè)隨機(jī)變量，也就是停時(shí)。注意：則稱τa為首中時(shí)刻firsthittingtim）或首達(dá)時(shí)間firstpassage首中時(shí)刻τa是一個(gè)隨機(jī)變量，也就是停時(shí)。注意：首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻考慮一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，其起始點(diǎn)的位置在a處，由于布朗運(yùn)動(dòng)具有的對(duì)稱性，在已知τa<t的條件下，未來(lái)的任意時(shí)刻t，布朗運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)會(huì)等可能地位于首中時(shí)刻的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻2P[W(t)>a|τa<t]=P[W(t)<a|τa<t]=12對(duì)于第一項(xiàng)可得：P[W(t)>a|τa<t]=P[W(t)>a,τa<t]=P[W(t)>a]P(τa<t) P(τa<t)布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻 布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻 首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的性質(zhì)(cont.)＼（a>0W(0)=0{W(t)>a}t{τa<t}P[W(t)>aτa<t]=P[W(t)>a]，于是：＼（＼P(τa＼

<t)=2·P[W(t)>a]=2·P

aZ>√tr（∞r(nóng)（=2a/√t

1 x2√2πexp?2 dx假設(shè)a<0，則有類似的結(jié)果如下：P[W(t)<a|τa<t]=P[W(t)<a,τa<t]=P[W(t)<a]于是：

P(τa

P(τa<t)<t)=2·P[W(t)<a]=2·Pr（√r（

P(τa<t)＼＼（aZ<√t＼＼（a/t1 x22π=2 √ exp?2 dx2πr＼（?∞r(nóng)＼（∞=2?a/√t

1 x2√2πexp?2 dx金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社31/59金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社31/59首中時(shí)刻的分布函數(shù)首中時(shí)刻的分布函數(shù)首中時(shí)刻的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻＼

2

r∞r(nóng)ra/√tr

1 x2（（√2πexp?2（（

dx a>0因此：

P(τa

<t)=

2

∞?a/√t

1 x2√2πexp?2

＼dx a<0＼Fτa(t)=P(τa<t)=2

∞r(nóng)|a|/√tr=2·=2·N?√t

1 x2＼（√2πexp?2 dx＼（|a|＼金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE46/59首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻首中時(shí)刻τa分布函數(shù)的圖示f(f(x)f(x)=√2π1exp?x「122l?√t|a|O|a|√t金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE33/59首中時(shí)刻的密度函數(shù)首中時(shí)刻的密度函數(shù)首中時(shí)刻的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻對(duì)Fτa(t)關(guān)于t求微分，可以得到對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)fτa(t首中時(shí)刻的性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻＼fτa(t)=dFτ＼fτa(t)=

（1

a2＼tt

?3/2||dt =√||dt =√2πexp?2··|a|·2t=√2πt3exp

a2說明：（?2t說明：（

, t>0τa1/2a2/2Gamma分布（inverseadistribution。布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻 布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻 首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的特殊性質(zhì)對(duì)于任意位置a，布朗運(yùn)動(dòng)均能以概率1到達(dá)。P(τa

∞ t< )=limP(τ∞ t→∞

<t)=lim2Ntt

a||（||（=2·N(0)=1＼首中時(shí)刻的期望值為無(wú)窮大。＼E(τa)=

∞r(nóng)·tfτa(t)dt=r·0

∞a0r ||√0r ||

a2（?2t（

dt=∞布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻 布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻 首中時(shí)刻在金融中的應(yīng)用首中時(shí)刻在金融中的應(yīng)用美式期權(quán)（Americanoption）提前行權(quán)的具體時(shí)間取決于期權(quán)標(biāo)的物價(jià)格的隨機(jī)變動(dòng)情況。正因如此，提前行權(quán)的時(shí)間可看作首中時(shí)刻。障礙期權(quán)（barrieroption）在未來(lái)標(biāo)的物價(jià)格達(dá)到一定水平（即障礙價(jià)格）時(shí)生效［也稱敲入（knock-in］或失效［也稱敲出（knock-out。因此，障礙期權(quán)敲入或敲出的時(shí)間也可以看作首中時(shí)刻。反射原理反射原理定義：反射原理反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值τa后發(fā)生了反射，由此所構(gòu)成的路徑也是布朗運(yùn)動(dòng)，這一性質(zhì)就是反射原理（reflectionprinciple定義：反射原理反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值- W(t), - W(t), t [0,τa]W(t)= ∈2a?W(t), t∈[τa,∞)稱-(t)是在τa時(shí)刻發(fā)生反射的布朗運(yùn)動(dòng)。反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 反射原理反射原理示意圖60504030200 100 200 300 400 500 600 700 800 900100060504030200 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 布朗運(yùn)動(dòng)的最大值布朗運(yùn)動(dòng)的最大值對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)W(t)，若在區(qū)間t∈[0,T]上，有：MT=maxW(t)t∈[0,T]則稱MT是布朗運(yùn)動(dòng)在[0,T]上的最大值。當(dāng)a>0時(shí)，如果在時(shí)間t處，W(t)>a，則意味著在時(shí)間段[0,t]上，Mt>a并且τa<t，因此：{Mt>a}={Mt>a,W(t)>a}∪{Mt>a,W(t)≤a}={W(t)>a}∪{Mt>a,W(t)≤a}由于上面的兩個(gè)事件互不相容，因此：P(Mt>a)=P[W(t)>a]+P[Mt>a,W(t)≤a]反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 布朗運(yùn)動(dòng)的最大值布朗運(yùn)動(dòng)的最大值(cont.)- - ＿ 根據(jù)反射原理，以τa為界，當(dāng)t≥τa時(shí)，W(t)=2a?- - ＿ P[Mt>a,W(t)≤a]=PMt>a,W(t)≥a=PW(t)≥a-由于W(t)與W(t)均是布朗運(yùn)動(dòng)，因此：-P-()≥＿=P[W(t)≥a]于是：P(Mt>a)=P[W(t)>a]+P[W(t)≥a]=2·P[W(t)>a]（ a＼

r∞1

（12＼=2·P

Z>√t√

=2·

a/√t

√2πexp

?2x dxr?a/

t1

（12＼

（a＼=2·?∞

√2πexp

?2x

dx=2N

?√t從另一個(gè)角度來(lái)看，{Mt>a}這一事件必然意味著{τa<t}成立，因此：P(Mt

>a)=P(τa

<t)=Fτa(t)=2N

a提示：（?√t提示：（

＼, a>0＼此處直接使用了首中時(shí)刻此處直接使用了首中時(shí)刻τa的分布函數(shù)。金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE41/59布朗運(yùn)動(dòng)的最大值布朗運(yùn)動(dòng)的最大值Mt的分布函數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的最大值反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值＼（FMt(a)=P(Mt<a)=1?P(Mt布朗運(yùn)動(dòng)的最大值反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值＼（=1?2N√

a?√tra/

t1

（12＼=?a/√t

√2πexp

?2x dx金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE42/59布朗運(yùn)動(dòng)的最大值布朗運(yùn)動(dòng)的最大值反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值布朗運(yùn)動(dòng)最大值布朗運(yùn)動(dòng)最大值Mt分布函數(shù)的圖示f(f(x)f(x)=√2π1exp?x「122l?√taO√ta金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE43/59MMt與W(t)的聯(lián)合概率密度布朗運(yùn)動(dòng)的最大值反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值根據(jù)反射原理可知：當(dāng)w≤m，且m>布朗運(yùn)動(dòng)的最大值反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值P[Mt≥m,W(t)≤w]=P[W(t)≥2m?w]Mt與W(t)的聯(lián)合概率密度如下：fM,Mt與W(t)的聯(lián)合概率密度如下：fM,W(mw,)=(2t√2πtm?w)exp?「(2m?w)22tl,w≤mm, >0定理反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 布朗運(yùn)動(dòng)的最大值隨機(jī)變量對(duì)(Mt,W(t))的取值區(qū)域y y=xmm x反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值 反射原理在金融中的應(yīng)用反射原理在金融中的應(yīng)用回望期權(quán)（lookbackoption）在未來(lái)到期日，其回報(bào)數(shù)額的計(jì)算不是依據(jù)行權(quán)價(jià)和到期日標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格：看漲型回望期權(quán)的回報(bào)數(shù)額是依據(jù)行權(quán)價(jià)和期間內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的最高值計(jì)算確定；看跌型回望期權(quán)的回報(bào)數(shù)額則是依據(jù)到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與期間內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的最低值計(jì)算確定。對(duì)回望期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，就需要使用反射原理以及布朗運(yùn)動(dòng)最大值的相關(guān)性質(zhì)。障礙期權(quán)的定價(jià)問題當(dāng)中，敲入或敲出的條件可以等價(jià)為判斷期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格最大值或最小值是否達(dá)到障礙價(jià)格。因此，也可以基于反射原理，最終推導(dǎo)出障礙期權(quán)的價(jià)格?；仡櫍厚R氏性回顧：馬氏性馬氏過程馬氏過程P(Xn+1=j|Xn=i,Xk=xk,0≤k<n)=P(Xn+1=j|Xn=i)在時(shí)間和狀態(tài)均連續(xù)的布朗運(yùn)動(dòng)中，同樣具有此種性質(zhì)，即：P(Xt+s≤y|Xu,0≤u≤s)=P(Xt+s≤y|Xs)當(dāng)這個(gè)條件概率不依賴于s的取值時(shí)，該過程具有時(shí)齊性，即：在時(shí)間和狀態(tài)均連續(xù)的過程中，若滿足馬氏性，則稱其為馬氏過程。相應(yīng)地，P(Xt≤y|X0=x)稱為過程的轉(zhuǎn)移分布函數(shù)。P(Xt+s≤y|Xs在時(shí)間和狀態(tài)均連續(xù)的過程中，若滿足馬氏性，則稱其為馬氏過程。相應(yīng)地，P(Xt≤y|X0=x)稱為過程的轉(zhuǎn)移分布函數(shù)。金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE47/59轉(zhuǎn)移函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)馬氏過程正如離散狀態(tài)馬氏鏈當(dāng)中，轉(zhuǎn)移矩陣在研究隨機(jī)演化的過程中扮演著重要的角色，馬氏過程則是使用轉(zhuǎn)移函數(shù)來(lái)研究過程隨時(shí)間的演化。轉(zhuǎn)transitionkernet(x,·)0=x的條tXt馬氏過程P(Xt≤y|P(Xt≤y|X0=x)=Kt(x,w)dwP(Xt≤y|X0=x)=Kt(x,w)dw?∞金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE48/59C-KC-K方程馬氏過程C-KC-K方程，只不過原先公式中的求和符號(hào)變成了積分符號(hào)；原先的轉(zhuǎn)移概率馬氏過程離散狀態(tài)馬氏鏈中的轉(zhuǎn)移概率ps+t(x,y)與馬氏過程中的轉(zhuǎn)移核—Ks+t(x,y)之間的關(guān)系如下：—ps+t(x,y)= ps(x,k)pt(k,y), ?krkrKs+

t(x,y)= ∞Ks(x,z)Kt(z,y)dz, ?s,t?∞馬氏過程布朗運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)馬氏過程布朗運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)W(t)而言，由于W(t+s)?W(s)=W(t)～N(0,t)，因此：r＼（P[W(s+t)≤y|W(s)=x]=P[W(t)≤(y?x)|W(0)=0]r＼（從而：

y?x1?∞= √2πtexp?∞

w2?2t dw1Kt(x,y)=√2πtexp

(y x)2l「 ?? 2tl「 ?布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式 布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式 布朗橋布朗橋的定義1假設(shè)W(t)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，令W?(t)=W(t)?tW(1), t∈[0,1]則稱W?()為布朗橋Brownianbridg。根據(jù)定義不難看出：W?(0)=W(0)=0, W?(1)=W(1)?W(1)=0可見，W?(t)的兩個(gè)端點(diǎn)是固定的，就如同橋一樣，故名布朗橋。布朗橋布朗橋W?(t)的期望和協(xié)方差布朗橋布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式對(duì)于布朗橋W?(t)，假設(shè)0≤s≤t≤布朗橋布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式E[W?(t)]=E[W(t)]?E[tW(1)]=E[W(t)]?tE[W(1)]=0Cov[W?(s)W?(t)]=E[W?(s)W?(t)]=E[W(s)?sW(1)][W(t)?tW(1)]=E[W(s)W(t)]?tE[W(s)W(1)]?sE[W(1)W(t)]+tsE[W2(1)]=s?ts?st+ts=s?ts=s(1?t)金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE52/59布朗橋的定義布朗橋的定義2布朗橋布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式假設(shè)W(t布朗橋布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式TX(t)=W(t)?tW(T), t∈[0,T]T則稱X(t)為布朗橋。此處定義的布朗橋仍然滿足X(0)=X(T)=0，可以看作定義1的拓展。不難看出，當(dāng)T=1時(shí)，布朗橋X(t)就變成了W?(t)。金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第二章布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE53/59布朗橋布朗橋X(t)的期望和協(xié)方差布朗橋布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式假設(shè)0≤s≤t≤T，可以得到X(t布朗橋布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式TE