江西省撫州市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

江西省撫州市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A．60° B．90° C． D．2．兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合3．已知直線過點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或4．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．且5．若點(diǎn)在圓：外，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．“太極圖”因其形狀如對(duì)稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）

A． B． C． D．7．已知圓，圓，點(diǎn)M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．過點(diǎn)且和直線平行的直線方程是B．若直線l的斜率，則直線傾斜角的取值范圍是C．若直線與平行，則與的距離為D．圓和圓相交10．方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的取值可以是（

）A． B． C．1 D．11．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線分別于圓切于點(diǎn)．則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．最短時(shí)，弦長為C．最短時(shí)，弦直線方程為D．直線過定點(diǎn)為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線的一個(gè)法向量是，則它的斜率為．13．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為14．已知直線與直線相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓：上，且，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．圓C：內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn).(1)當(dāng)弦AB最長時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為時(shí)，求l的方程.16．已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，AB邊所在直線的方程為，點(diǎn)在AD邊所在的直線上.(1)求AD邊所在直線的方程；(2)求矩形ABCD外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.17．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積等于12.設(shè)圓的圓心為為此圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的離心率；(2)記線段與橢圓的交點(diǎn)為，求的取值范圍.18．已知圓，直線是圓與圓的公共弦所在直線方程，且圓的圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)分別作直線，交圓于四點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值與最小值．19．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)證明：存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與曲線恒有兩個(gè)交點(diǎn)、，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），并求出該圓的方程.

參考答案1．【答案】C【詳解】直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，，．故選：C．2．【答案】A【詳解】不妨設(shè)兩直線的斜率分別為，則由題意有，所以兩直線互相垂直.故選：A3．【答案】D【分析】考慮截距是否為0，分兩種情況求解，求出直線斜率，即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為，則與y軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，斜率為，故方程為；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，故直線方程為，即，故選D.4．【答案】A【詳解】方程，即表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，解得．故選：A．5．【答案】B【分析】結(jié)合點(diǎn)在圓外的代數(shù)關(guān)系式與圓的一般方程的定義即可.【詳解】由于點(diǎn)在圓：外，有，解得，即的取值范圍是.故選B.6．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合后由直線與圓的位置關(guān)系求解，【詳解】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，得k最小，此時(shí)設(shè)，故，解得或（舍去），即．故選：C.7．【答案】B【詳解】記圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由題知，圓的圓心為2,3，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故選：B

8．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：B.9．【答案】AD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)與直線平行的直線方程是，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則，解得，所以過點(diǎn)且和直線平行的直線方程是，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，如圖所示，

若，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若直線與平行，則，解得，可知，即，所以與的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)?，且，即，所以圓和圓相交，故D正確；故選：AD.10．【答案】BC【分析】由題意可得，函數(shù)的圖象和直線有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得的范圍．【詳解】方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)的圖象和直線有2個(gè)交點(diǎn)．而函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心，半徑等于1的上半圓（位于軸及軸上方的部分），直線，即的斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由，求得．當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，由求得．?dāng)?shù)形結(jié)合可得的范圍為,，故選：BC．.

11．【答案】AB【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)取最小值時(shí)，的面積最小，四邊形的面積取最小值，此時(shí)最短，弦長為，弦的直線方程為，即可得AB正確，C錯(cuò)誤；易知在以為直徑的圓上，設(shè)，以為直徑的圓的方程可表示為，可得直線方程為，過定點(diǎn)為，D錯(cuò)誤.【詳解】如下圖所示：

由直線分別于圓切于點(diǎn)可得，，又，是公共邊，所以，即四邊形的面積，對(duì)于A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，四邊形的面積取最小值，，所以當(dāng)取最小值時(shí)，即為圓心到直線的距離時(shí)面積最小，即，四邊形的面積的最小值為，即A正確；對(duì)于B，由A可知，當(dāng)取最小值時(shí)，最短，此時(shí)，所以B正確；對(duì)于C，易知在以為直徑的圓上，又，當(dāng)最短時(shí)不妨設(shè)，則，且，解得，即，所以，且的中點(diǎn)為，即以為直徑的圓的方程為，與圓相減即可得公共弦的直線方程為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，由C可知，在以為直徑的圓上，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，即以為直徑的圓的方程可表示為，與圓相減整理得，直線方程為，此時(shí)直線過定點(diǎn)為，即D錯(cuò)誤.故選：AB12．【答案】【詳解】設(shè)直線的斜率為，則直線的方向向量為，直線的一個(gè)法向量是，，解得.直線的斜率為.故答案為：.13．【答案】/【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點(diǎn)在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：14．【答案】【詳解】由直線與直線，知，所以兩直線垂直，直線即，故過定點(diǎn)，即，故過定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，該圓圓心為，半徑為，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡方程是，因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑，取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，所以，而，且，即圓與點(diǎn)的軌跡外離；則，即，所以的取值范圍是，故答案為：.15．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓C的圓心為.又弦AB最長時(shí)，直線l過點(diǎn)和，所以直線l的方程為，即.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，弦長為時(shí)，由圓的半徑為3，由垂徑定理和勾股定理得，圓心到直線距離為，即，解得，此時(shí)直線l的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)k不存在時(shí)的直線也符合條件.所以直線l的方程為或.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)锳B邊所在直線的方程為，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為，即（2）由，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為所以M為矩形ABCD外接圓的圓心．又，從而矩形ABCD外接圓的方程為17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，且，即，解得，所以橢圓的離心率.（2）由題意，得.設(shè)，則.所以，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍為.18．【答案】(1)(2)最大值14，最小值【詳解】（1）由，可得其圓心為，半徑，點(diǎn)到的距離為，故，圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，由題意得，所以，解得，即，到的距離，所以的半徑，所以圓的方程：；（2）假設(shè)點(diǎn)到的距離為，到的距離為，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以四邊形面積的最大值14，最小值．19．【答案】(1)；(2)證明見解析，.【詳解】（1）由題意設(shè)，，.因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以所以，于是：，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以，整理可得.所