高中數(shù)學必修2期末模擬卷05（解析版）

期末模擬卷5

一.選擇題（共8小題）

I.復數(shù)z滿足；?（l+2i）=4+3。貝l」z等于（）

A.2-/B.2+zC.1+2/D.1-2/

【分析】利用復數(shù)的運算法則、共規(guī)復數(shù)的定義即可得出.

【解答】解：???；?（l+2i）=4+3。

.一一4+3i（4+3i）（l-2i）10-5-?_.

*，z=l+2i（l+2i）（l-2i）5-'

；?z=2+i.

故選：B.

2.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，體重變化結果統(tǒng)計如

表：

體重變化體重減輕體重不變體重增加

人數(shù)600200200

如果另有一人服用此藥，估計這個人體重減輕的概率約為（）

A.0.1B.0.2C.0.5D.0.6

【分析】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，可得結論.

【解答】解：由題意可得，這個人體重減輕的概率約為型"=06,

1000

故選：D.

3.若圓錐W的底面半徑與高均為1,則圓錐卬的表面積等于（）

A.（V2+1）71B.V271c.2nD.—

3

【分析】求出圓錐的母線長，再計算圓錐的側面積和表面積.

V

【解答】解：圓錐的軸截面如圖所示，c

則圓錐的母線為，=正7?=/，

所以該圓錐的側面積為S則而枳=irr/=TT1?加，

圓錐的表面積為S表曲枳=Sm面枳+S底而積=12=（V24-1）IT.

故選：A.

4.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件

“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（）

A.2張卡片都不是紅色

B.2張卡片不都是紅色

C.2張卡片至少有一張紅色

D.2張卡片至多有1張紅色

【分析】利用互斥事件、對立事件的定義直接判斷.

【解答】解：不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡

片，

對于A,2張卡片都不是紅色與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件，故A正

確；

對于8,2張卡片不都是紅色與事件”2張卡片都為紅色”是對立的事件，故B錯誤；

對于C,2張卡片至少有一張紅色與事件“2張卡片都為紅色”能同時發(fā)生，不是互斥事

件，故C錯誤：

對于。，2張卡片至多有1張紅色現(xiàn)事件”2張卡片都為紅色”是對立事件，故。錯誤.

故選：A.

5.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若A=45°,B=60。，a=^/2,則。的

值為（）

A.V2B.V3C.V6D.2V6

【分析】由已知利用正弦定埋即可求解.

【解答】解：因為A=45°,8=60°,a=V2，

.近x噂

所以由正弦定理『二產(chǎn)，,可得6=史史殳=—―"=“.

sinAsinBsinA-2

故選：B.

6.在三棱柱ABC-4物。中，上下底面均為等腰直角三角形，且a，AAil

平面A8C,若該三棱柱存在內(nèi)切球，則A4=（）

A.2B.2-V2C.2+\/2D.V2

【分析】易知，AB=?BC=AC=1,由三角形內(nèi)切圓的半徑公式，可得△ABC內(nèi)切

圓的半徑r,而內(nèi)切球的半徑H=r,棱柱的高/?=2R,再由A4_L平面A8C,可推出該三

棱柱為直三棱柱，故人4=兒

【解答】解：由題可知，△ABC為等腰直角三角形，

???A8=V^C=M，???A8=&,BC=AC=1,

.??△48C內(nèi)切圓的半徑r=BOAC-AB=2-&

22

???此三棱柱存在內(nèi)切球，

:.內(nèi)切球的半徑R=r=2-圾、且棱柱的高h=2R=2-圾，

2

???44|_1平面/18。，?,?該三棱柱為直三棱柱，

.*.AAi=h=2-V2-

故選：B.

7.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為工，工，則密碼被破譯的概率為（）

32

A.AB.2C.苴D.1

636

【分析】密碼被破譯的對立事件是甲、乙同時不能破譯密碼，由此利用對立事件概率計

算公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出密碼被破譯的概率.

【解答】解：甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，

設事件A表示甲能破譯密碼，事件B表示乙能破譯密碼，

則p（A）=Xp（8）=-1,

32

密碼被破譯的對立事件是甲、乙同時不能破譯密碼，

???密碼被破譯的概率為：

P=\-P（AB）=1?P（I）P（B）

=i-（1-A）（i-A）

對于4，DM=［（DE+DB>故A錯誤;

對于3,DECYffiACDE,BCD、F面AC￡>E于C,CWDE,

???由異面直線判定定理得直線。E與BC是異面直線，故B正確：

對于C,,,,點、M,N分別為BEBA的中點，：,MN//AE,

?：AE//CDt:.MN"CD,故C正確；

對于。，■:DMCCN=P,D￡nCA=6，平面A3CC平面

:BP,。是平面ABC和平面8DE的公共點，

:?B,尸，。三點共線，故。正確.

故選：BCD.

10.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學生的吸煙情況，對隨機抽出的編號為1?1000的

1000名學生進行了調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個問題.問題1：您的編號是否為奇數(shù)？問題2：

您是否吸煙？被調(diào)杳者隨機從設計好的隨機裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球100個，

紅球100個）中摸出一個小球：若摸出白球則回答問題1,若摸出紅球則回答問題2,共

有270人回答“是。則下述正確的是（）

A.估計被調(diào)查者中約有520人吸煙

B.估計約有20人對問題2的回答為“是”

C.估計該地區(qū)約有4%的中學生吸煙

D.估計該地區(qū)約有2%的中學生吸煙

【分析】根據(jù)題意知被調(diào)查者回答第?個問題的概率為工，其編號是奇數(shù)的概率也是工，

22

計算可得隨機抽出的1000名學生中回答第一個問題且為“是”的學生數(shù)，

由此求出回答第二個問題且為是的人數(shù)，由此估計此地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比，進

而估計出被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)，判斷選項可得結論.

【解答】解：隨機抽出的1000名學生中，回答第一個問題的概率是工，

2

其編號是奇數(shù)的概率也是工，

2

所以回答問題1且回答是的人數(shù)為1000XJLX_1=250；

22

所以回答第二個問題，且為是的人數(shù)270?250=20；

由此估計此地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為也=4%.

500

估計被調(diào)查者中約有1000X4%=40人吸煙.

故表述正確的是8c

故選：BC.

11.ZVIBC中，。為邊AC上的一點，且滿足腐」?沃，若P為邊80上的一點，且滿足

2

AP=mAB-^AC（機>0,〃>0），則下列結論正確的是（）

A.m+2n=1B.mn的最大值為」-

12

C.9二的最小值為6+喈D./+9〃2的最小值為▲

mn2

【分析】利用向量共線定理可得：，〃+3〃=1,再利用基本不等式以及“乘1法”逐一判

斷即可.

【解答】解：因為前4而所以標［正，

/O

所以AP=mAB+nAC=/?AB+3//AD?

因為B、P、。三點共線，所以加+3〃=1,故A錯誤；

則嚴3n）2=2，則

'2"412

即〃?〃最大值為」一，當且僅當〃?=3〃，即〃?=」,〃=2時取等號，故8正確；

1226

44-（44）（/n+3/2）=坨+皿+724立+7,當且僅當工生=典時取等號，

mnmnmnmn

所以空二的最小值為4晶+7,故C錯誤；

mn

"P+9〃2=（由+3〃）2-6mn=1-?6X」-=工，當且僅當m=工，〃=工時取等號，

12226

所以加2+9次的最小值為故￡）正確.

2

故選：BD.

12.如圖，線段4B為圓O的直徑，點E,尸在圓O上，EF//AB,矩形A8CO所在平面和

圓。所在平面垂直，且A8=2,EF=AD=\,則下述正確的是（）

A.0F〃平面8CE

B.8b_1_平面4。/

C.點A到平面C￡>M的距離為近1

7

D.三棱錐C-BEF外接球的體積為遙兀

【分析】利用直線與平面平行的判定判斷4證明直線與平面垂直判斷&利用等體積法

求8到平面8莊的距離，可得點A到平面。尸E的距離判斷C找出三棱錐C-8痔

外接球的球心，求出半徑，進一步求得外接球的體積判斷Q.

【解答】解：*：EF//AB,:,EF〃OB,

又48=2,EF=1,：,EF=OB=\,則四邊形OFEB為平行四邊形，

得OF〃EB,而ORt平面BCE,BEu平面8CE,

???0尸〃平面BCE,故A正確；

VDAIAH.平面4AC。I^FifiAFER,且平面4/?「。0平面人戶內(nèi)/?=人。.

，AO_L平面AFEB,則A￡>_LB凡由8尸_LARADC\AF=A,

??.8尸_1平面4。尸，故4正確;

由48〃上凡平面CEREFu平面CE凡可得4B〃平面CEF.

則點A到平面CDFE的距離等于B到平面CDFE的距離.

在△(?￡/中，由已知可得06=。/=M=1,則aoE尸為等邊三角形,

由對稱性可知NBOE=NA。尸=60°,MOA=OF=OE=OB,

則△AO產(chǎn)與aBOE也是等邊三角形，且邊長均為1.

可知8E=M=1,BF=近,NBEF=120°,

由已知結合勾股定理求得CE=V^,CF=2,EF=1,

用打斗”CEF呼

則cosZCEF=

?Qi_1、，/T、八?V14夜c1…V3

..SHEF一工x版x\x4=廠SABEF而xix-^^.

設8到平面CDFE的距離為力,由Me-BEF=VB-CEF,

得工xY2xi』xtxh，???〃='豆，故CIE確；

34347

△BE尸外接圓的圓心為O,則矩形ABCD對角線長的一半為三棱錐C-BEF外接球的半

徑.

,則三棱錐C-BEF外接球的體積為V=A兀x3具中加故。錯誤.

36

故選：ABC.

13.向量之是單位向量,|bl=2,a±b.則1二+%=_加

【分析】由題意可得Z?E=o,進行向量的模的運算帶入求值即可得答案.

【解答】解：?.?aJLga,b=O；

?.?A-=4盤產(chǎn)+(近2+2之吊=加?

故答案為：V5.

14.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長和高均為2,點。為側棱CC1的中點，連接40，

8Q,則與平面A3。所成角的正弦值為返.

一2一

【分析】建立空間直角坐標系。-孫z,求出平面AB。的法向量，利用空間向量的數(shù)量積

求解CiD與平面ABD所成角的正弦值即可.

【解答】解：如圖，建立空間直角坐標系0-孫z,

。為的中點，由已知,A(-l,O,2),B(l,O,2),D(0,0，C1(0,正，0)，

所以標=(2,0,0)，AD=(1,V3，-I)-

設平面A3。的法向量為n=(x,y,z),

,fn*AB=2x=0人,miIrz

由，令y=l,貝!Jz=V3,

n*AD=x-h/3y-z=0

所以平面A4。的法向量為7=(0，1,陋),C^D=(O,0,1)，

則。。與平面48。所成角的正弦值為：[1上當.

InllCiDl2

故答案為：返.

2

_

15?設角AtB,C是△A8C的二個內(nèi)角，已知向量m=(sinA+sinC,sinBsinA/

—T,TT

n=(sinA-sinC,sinB)，且m_Ln則角。的大小為——_.

J

【分析】由己知結合向量數(shù)量積的坐標表示及正弦定理，余弦定理即可求解.

【解答】解：由已知可得，m?n=sin2A-sin2C+sin2B-sirk4sinB=O,

所以sin2A-sin2C+sin2B=sinAsinB,

由正弦定理可得，a2+b2-cz=ab,

所以cosC」+b2-c22,

2ab2

因為C為三角形的內(nèi)角，

所以。=匹；

3

故答案為：2L

3

16.某人有3把鑰匙，其中2把能打開門，如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門

的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為1;如果試過的鑰匙又混進去，第二

一3一

次才能打開門的概率為2.

-9-

【分析】3)第二次才能打開門是指第一次沒有打開門，第二次打開門，由此利用相互

獨立事件概率乘法公式能求出第二次才能打開門的概率；

(2)試過的鑰匙又混進去，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出第二次才能打開門的

概率.

【解答】解：(1)某人有3把鑰匙，其中2把能打開門，隨機地取一把鑰匙試著開門，

把不能打開門的鑰匙扔掉，

第二次才能打開門是指第一次沒有打開門，第二次打開門，

???第二次才能打開門的概率為「=工乂2=工：

323

(2)試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為：P=lX-=".

339

故答案為：1,2.

39

四.解答題(共6小題)

17.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z1=i,Z=l+i,Z/Y丁

i49Ji4l+i

(1)求|Z1|,|Z2|,|Z3|,|Z4|;

(2)隨機從復數(shù)Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取兩個復數(shù)，求所取兩個復數(shù)的模之積等

于1的概率.

【分析】(1)利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解|Z1|,|Z2|,

|Z3|,附；

(2)寫出隨機從復數(shù)Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取兩個復數(shù)的事件數(shù)，求出所取兩個

愛數(shù)的模之積等于1的事件數(shù)，再由古典概型概率公式求解.

【解答】解：⑴由題意知：|Z1|=1,|z21=^171=72*

231+1=1-匕

Z「l+=(l+i)(l-i)-卜j2-2'氏1也丁2,

(2)設隨機從復數(shù)Z2,Z3,Zi中有放回的任取兩個復數(shù)的樣本點為(a,b),

則該隨機試驗的樣本空間為Q={(Z2,Z2),(Z2,Z3),(Z2,Z4),(Z3,Z2),(Z3,Z3),

(Z3,Z4),(Zt,Z2),(Z4,Z3),(Z4,Zl))

所以〃(0)=9,

設事件A="所取兩個復數(shù)的模之積等于1”，

則事件4={(Z2,Zl),(Z3,Z4),(Z4,Z2),(Z4,Z3)},

"n⑷=4,故p(A)=^^普

18.己知在四面體A8c。中，AB=ACfDB=DC,點E,F,G,〃分別為棱40,BD,DC,

BC上的點，且DF=2FB,DG=2GC,AE=1AD(OW入Wl).

(I)當人=2時，求證：AM〃平面EFG；

3

(II)當入變化時，求證：平面人。/，平面￡7P.

Hn

M

【分析】(I)當人=2時，AE』AD，推導出所〃AB,EG//AC,從而平面ABC〃平面

33

EFG,由此能證明AM〃平面EFG.

(II)推導出AM_L8C,DMIBC,BC//GF,從而8C_L平面ADM,GF_L平面ADM,

由此能證明當入變化時，平面ADM_L平面E/G.

【解答】證明：(I)當入=▲時，AE』AE，

33

;四面體人AC力中，AB=AC,DR=DC.

點、E,尸，G,M分別為棱AO,BD,DC,上的點，BM=MC,DF=2FB,DG=2GC,

：.EF//AB,EG"AC,又EF「EG=E,48nAe=4,

二平面ABC〃平面EFG,

???AMu平面ABC,.'.AM〃平面EFG.

(II)9：AB=AC,DB=DC,點E,F,G,M分別為棱AD,BD,DC,BC上的點，

BM=MC,DF=2FB,DG=2GC,AE=\AD(OW入Wl).

???AM_L8C,DMLBC,BC//GF,

'：AMr\DM=M,???8C_L平面ADM,

,:GF〃BC,AGFXTEADM,

VGFcYfflEFG,

:.當A變化時，平面AOMJ_平面EFG.

19.在①sinBsinC=4；②tanB+tanC莘這兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，

43

并進行作答.

在△4BC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為mb,c,tanBtanC^a=2“，.

3

(1)求角A,&C的大小；

(2)求△ABC的周長和面積.

【分析】(1)若選擇①：利用三角函數(shù)恒等變換的應用，結合范圍B+CE(0,TT),可求

合，A=^，利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求cos（8-C）=l,結合

BYE（g上可求BC。,可得B?全

若選擇②：（法一）由題意，利用基本不等式可求tanB+tanC>2jtanB?tanC邛，

0

可得B=c=g，利用三角形的內(nèi)角和定理可求A的值;

/0應x」二o的兩根，利用一元二次方程的解法可

（法二）設tanB,lanC為方程,

33

tanB=tanC=^,且從CG（0,TT）,可求B=C=著，利用三角形的內(nèi)角和定理可求

o

4的值;

（2）由正弦定理可求力=c=2,利用三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：(1)若選擇①：

119

因為tanBtanCfsinBsinC^y所以cosBcosC-y(2分)

344

所以cos(BK);cosBcosC-sinBsinC,，

因為5+CW(0,n),所以B+C=-^~，A=2j(4分)

又因為cos(B-C)=cos8cosc+sin8sinC=1,B-CE,■—')

33

所以8-C=0,B=C=—(65b)

6

若選擇②:

（法一）由題意知，tanB>0,tanOO,

”_______2-JQ

耳，以tanB+tanC〉2VtanB*tanC=&（2分）

o

因為當且僅當tanB二tanC當時，上式的等號成立，且&Ce（0,n）（3分）

所以B=c=,（5分）

所以A=7T-（B+C）N^（6分）

乂2烏①x+1=0的兩根附分）

（法二）設lanB,lanC為方程,

解得tanB=tanC=、，r且8,CE(0>n)(4分)

O

所以B=c=匹(5分)

6

所以A=JT-（B+C）=^"（6分）

o

（2）由正弦定理知：.=,b=,c（7分）

sinAsinBsinC

因為A/j，B=C=-^-?a=2V3

所以b=c=2（9分）

所以△ABC的周長為4+2加（10分）

所以△ABC的面積SAABC^z-bcsinA=V3（“分）

20.如圖1,/XABC是等腰直角三角形NC4B=90°,AC=2afE,尸分別為AC,BC的中

點，沿即將尸折起，得到如圖2所示的四棱錐C'-ABFE

（I）求證：A8_L平面AEC'；

（II）當四棱錐C'?ARE/?體積取最大值時.

（D若G為BC中點，求異面直線G尸與AC'所成角；

（萬）在C'-A8FE中AE交BF于C,求二面角4-CC'-B的余弦值.

圖1圖2

【分析】（I）推導出七工LAE,￡?±C￡,從而七”1.平面A《C,由此能證明A6J_平面

AEC.

（II）（i）取AC中點D,連接DE,EF,FG,GD,推導出四邊形DEFG為平行四邊形，

直線G尸與AC所成角就是OE與AC所成角，由此能求出直線GF與A。所成角.

（”）分別以叢、EF、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用

向量法能求出平面C4七與平面C8r的平面角的夾角的余弦值.

【解答】證明：（I）因為△4BC是等腰直角三角形，NCAB=90°,E,F分別為4C,

BC的中點，

所以EF_LAE,EFVCE.

又因為4EGCE=E,所以E尸_L平面AEC.

由于E/〃AB,所以有AB_L平面4EC.4分

解：(II)(力取4C中點￡>,連接￡>￡EF,FG,GD,

由于GO為△ABC中位線，以及E尸為△ABC中位線，

所以四邊形OEFG為平行四邊形.

直線GF與4c所成角就是DE與AC所成角.

所以四棱錐C-A8FE體積取最大值時，CE垂直于底面4BFE.

此時△AEC為等腰直角三角形，

ED為中線，所以直線EO_LAC.

又因為ED〃GR所以直線G尸與AC所成角為工.10分

2

(//)因為四棱錐C-ABFE體積取最大值，

分別以m、EF、EC所布直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系如圖.

則C(0,0,a),B(a,2a,0),F(0,a,0),CB(a,2。，-a),CF(0,a,

設平面CB廠的一個法向量為;=(x,y,z),

由「?Wl=ax+2ay-az=0得,fey=I,得￡(.i,i,,

n?C'F=ay-az=0

平面CAE的一個法向量7=<0,1,0).

m?n1V3

所以COSVn>=

ImI*InIV33

故平面CAE與平面C8廣的平面角的夾角的余弦值為返.14分

3

c

21.有一種魚的身體吸收汞，當這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00〃〃小(即百萬分之

一)時，人食用它，就會對人體產(chǎn)生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機選出30條魚，檢驗魚體

中的汞含量與其體重的比值(單位：ppm),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖：

0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.82

0.870.910.950.980.981.021.021.081.141.20

1.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68

(1)求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差，并估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；

(2)有A,8兩個水池，兩水池之間有10個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，

且可以同時通過2條魚.

(i)將其中汞的含量最低的2條魚分別放入4水池和8水池中，若這2條魚的游動相

互獨立，均有工的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；

3

(ii)將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨立地且等可

能地從其中任意一個小孔由A水池進入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小

孔進入B水池的概率.

【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)能求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)的眾數(shù)，數(shù)據(jù)的極差，能估計這批

魚該項數(shù)據(jù)的80百分位數(shù).

(2)(i)記“兩魚最終均在A水池”為事件A,記“兩魚最終均在B水池”為事件8,

利用相互獨立事件概率乘法公式求出尸(A),P(5),由事件4與事件B互斥，能求出

兩條魚最終在同一水池的概率.

(ii)記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件“兩魚同時從第二個小孔通過”為

事件C2,……依此類推.由兩魚的游動獨立，得至UP(C,)二P(C力=…=—X!二」

1Q10100

由事件。，事件c2,……互斥，得到pQ)=p(c1Uc2U…Ug0)=1°x焉=±7

1IIJIJIIJ

記“兩條魚由不同小孔進入8水池”為事件C,由。與C1UC2U…UCo對立，能求出

這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率.

【解答】解：(1)由題意如，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為0?98+1.02;

2

數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82,

數(shù)據(jù)的極差為1.68-0.07=1.61,

估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)約為L31+L37口.3小

2

(2)(i)記“兩魚最終均在A水池”為事件4,則p(A)h|x￡-1

記“兩魚最終均在8水池”為事件8,則p(B)=?x工上，

339

因為事件A與事件B互斥，

所以兩條魚最終在同一水池的概率為p(AUB);P(A)+P(B)工/

999

(ii)記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件Ci,

“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件C2,……依此類推.

因為兩魚的游動獨立，所以「(01)4(，力=?,二1-乂」^二」-，

10八10100

因為事件。，事件Q,……互斥，

所以P(^)=P(C]UC2U…ucjnox忐二，

記“兩條魚由不同小孔進入B水池”為事件C,

則C與C1UC2U…UC10對立，

所以P(C)=1-P(C1UC2U???UC1O)吟?

22