高考物理沖刺：知識講解-機(jī)械能守恒動率的應(yīng)用（提高）

物理總復(fù)習(xí)：機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

編稿：李傳安審稿：

【考綱要求】

1、加深對機(jī)械能守恒條件的理解，能準(zhǔn)確判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒；

2、知道應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與應(yīng)用動能定理解決問題的區(qū)別；

3、能熟練應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決問題。

【考點梳理】

考點一、判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒

判斷機(jī)械能是否守恒的方法一般有兩種：

(1)根據(jù)做功情況來判定：對某一系統(tǒng)，若只有重力和彈簧彈力做功，

其它力不做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

(2)根據(jù)能量轉(zhuǎn)換來判定(常用于系統(tǒng)),對某一系統(tǒng)物體間只有動能

和重力勢能及彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，沒有其它形式能的轉(zhuǎn)化(如沒有內(nèi)能產(chǎn)生)，

則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

考點二、機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

1、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與動能定理解決問題的區(qū)別：

要點詮釋

(1)適用條件不同：機(jī)械能守恒定律適用于只有重力和彈力做功的情形;

而動能定理沒有此條件的限制，它的變化量對應(yīng)于外力所做的總功。

(2)分析內(nèi)容不同：機(jī)械能守恒定律解題只分析研究對象的初、末狀

態(tài)的動能和勢能(包括重力勢能和彈性勢能)；而用動能定理解題時，分析研究

對象的初、末狀態(tài)的動能，此外還要分析該過程中所有外力所做的總功。

(3)機(jī)械能守恒定律與動能定理解題時的方程不同。

2、機(jī)械能守恒定律的幾種表述形式：

若某一系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則機(jī)械能守恒定律可以表示為如下的形式:

（1）初狀態(tài)的機(jī)械能等于末狀態(tài)的機(jī)械能：Ep}+=Ep2+Ek2

（2）系統(tǒng)勢能（或動能）的增加量等于動能（或勢能）的減少量：|A￡/）|=|AEj

（3）系統(tǒng)內(nèi)A物體的機(jī)械能減少量等于B物體的機(jī)械能增加量：|AE>|A￡fi|

要點詮釋：根據(jù)（1）列方程時，一定要明確初、末狀態(tài)的機(jī)械能；根據(jù)（2）

列方程時一定要分析清楚系統(tǒng)勢能（或動能）的增加量或動能（或勢能）的減少

量，還要注意零勢面在哪里，重力勢能是相對于零勢面的。

【典型例題】

類型一、判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒

例L關(guān)于機(jī)械能守恒，下列說法正確的是（）

A.做勻速直線運(yùn)動的物體機(jī)械能一定守恒

B.只有重力對物體做功，物體的機(jī)械能一定守恒

C.外力對物體做功為零，則機(jī)械能一定守恒

D.只發(fā)生動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，不發(fā)生機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，

則機(jī)械能一定守恒

【思路點撥】機(jī)械能守恒的條件是系統(tǒng)內(nèi)沒有外力做功。

【答案】BD

【解析】對于勻速運(yùn)動的物體，或外力對物體做功為零時，只是物體的動能不變,

但并不涉及機(jī)械能守恒定律條件：系統(tǒng)只有重力、彈力做功，且只有動能和勢能

之間的相互轉(zhuǎn)化，而無機(jī)械能與其他形式能量之間的轉(zhuǎn)化。因而A、C選項錯，

而B、D選項正確。

【總結(jié)升華】準(zhǔn)確理解機(jī)械能守恒定律的條件是關(guān)鍵。

舉一反三

【變式】如圖所示，T勿體以初速度?沖向光滑斜面AB,并能沿斜面升高h(yuǎn)到

達(dá)B點，下列說法中正確的是（不計空氣阻力）（）

A.若把斜面從C點鋸斷，由機(jī)械能守恒定律知，物體沖出C點后仍能升高

h

B.若把斜面彎成如圖所示的圓弧形，物體仍能沿AB'升高h(yuǎn)

C.若把斜面從C點鋸斷或彎成圓弧狀，物體都不能升高h(yuǎn),因為機(jī)械能不守

B人C點鋸斷或彎成圓弧狀，物體都不能升高h(yuǎn)，但機(jī)械能仍守

【答案】D

【解析】若把斜面從C點鋸斷，物體將作斜上拋運(yùn)動，到達(dá)最高點時還有水平

速度，由機(jī)械能守恒定律知不能升高到ho若把斜面彎成圓弧形，到達(dá)圖中最高

點所需最小速度為丫，有mg=〃占，即”廊，由機(jī)械能守恒定律知不能升高

到h。只有選項D正確。

例2、判斷下列各種情景系統(tǒng)是否遵循機(jī)械能守恒；若守恒，請利用機(jī)械能

守恒求解相關(guān)問題。(注意選擇零勢能面)

1、物體從高為h、傾角為。的光滑斜面由靜止下滑，求物體到達(dá)斜面

底端時的速率？

2、將物體以初速度％=10加$從高為h=10m的位置分別水平、豎直向上、

豎直向下、斜拋出去，分別求落地時的速度大小？(g=10m/52)

3、小球在豎直面內(nèi)沿光滑圓軌道做圓周運(yùn)動，已知在最低點時小球的速度

%=師,求小球運(yùn)動到與圓心等高位置時的速度？求小球運(yùn)動到最高點時的

速度？

o

4、如圖質(zhì)量為m的小球從離輕彈簧上端h處自由下落，接觸后向下運(yùn)動x

日后速度為v,求此時彈簧的彈性勢能。

【思路點撥】正確描寫機(jī)械能守恒的方程，一般情況是：兩點（初態(tài)、末態(tài)）的機(jī)

械能相等。

【答案】1、v=12gh2、u=J*+2g〃=17.3，〃/s

2

3、vB=y/3gREp=mgh+mgx——mv

【解析】L物體由靜止下滑到底端的過程

對物體受力分析可知，此過程中斜面的支持力始終與運(yùn)動方向垂直不做功，

所以只有重力對物體做功，滿足機(jī)械能守恒條件，因此物體與地球組成的系統(tǒng)機(jī)

械能守恒。

由機(jī)械能守恒定律，以地面為零勢能面，咫人=|mv2v=師

2、物體拋出后至落地的過程

對物體受力分析可知，此過程中物體拋出后只有重力對物體做功，因此物

體與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。由機(jī)械能守恒定律，以地面為零勢能面

〃儂+J成=3*2v=J說+2gh-17.3m/s

3、小球從最低點到達(dá)最高點的過程

對C琴力分析可知，此過程中軌道對小球的支持力方向始終與其運(yùn)動方向

6;,因此只有重力對小球做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

市

B

由律，以最低點為零勢能面

mg

(1)從A至B的過程：

2

=^mv+mgRvB=^-IgR=y/3gR

(2)從A至C的過程：

；相片=gmv}+ImgRvc=1芯-4gR=y/gR

4、小球自由下落到使彈簧壓縮x的過程

以小球、彈簧和地球組成的系統(tǒng)為研究對象，對小球受力分析可知，此過

程中只有重力和彈力對小球做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

由機(jī)械能守恒定律，以彈簧的自由伸長處為零勢能面

1212

mgh--mV+（—mgx）+EpEp-mgh+mgx-—

【總結(jié)升華】解題首先要確定研究對象，根據(jù)機(jī)械能守恒條件判斷系統(tǒng)的機(jī)械能

是否守恒,再根據(jù)Epi+昂=Ep2+Ek2,列方程求解問題。

類型二、變速運(yùn)動中機(jī)械能守恒問題

例3、在豎直平面內(nèi)，一根光滑金屬桿彎成如圖所示形狀，相應(yīng)的曲線方程為

y=2.5cos（辰+：兀）（單位：m）,式中k=1m-1。將一光滑小環(huán)套在該金屬桿

上，并從

2

x=0處以vo=5m/s的初速度沿桿向下運(yùn)動，取重力加速度g=10m/so則當(dāng)

小環(huán)運(yùn)動到*=方m時的速度大小v=m/s;該小環(huán)在x軸方向最遠(yuǎn)能運(yùn)動

至I」x=m處。

ty/m

.P；

/------

【電W撥】正確描寫初態(tài)、末態(tài)的機(jī)械能,初態(tài)的機(jī)械能等于末態(tài)的機(jī)械能。

不要與動能定理混淆。

r-5兀

【答案】5y2,—

【解析】由于金屬桿光滑小環(huán)也光滑，所以小環(huán)在下滑的過程，滿足機(jī)械能守恒,

然后結(jié)合曲線方程綜合分析求解。根據(jù)橫坐標(biāo)和曲線方程求出縱坐標(biāo)，根據(jù)機(jī)械

能守恒可得出結(jié)論。

當(dāng)王=0時，y=—1.25根；當(dāng)々=?時，%=-2.5/n

取x軸為零勢面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

121

2解得v=5>/2m/s

mgyx+—mvQ=mgy2+—mv

當(dāng)運(yùn)動到最遠(yuǎn)處，速度為零，mgy1+-mvg=mgy3,=2.5cos(Ax3+-^),

解彳導(dǎo)x；=二萬。

【總結(jié)升華】該題考杳了機(jī)械能守恒定律。該題情景新穎，能夠考查學(xué)生靈活運(yùn)

用知識的能力。近幾年高考題中多次出現(xiàn)"做成光滑的什么軌跡的曲面，如：平

拋運(yùn)動的軌跡曲面"等等，解題方法：軌跡曲面的物理規(guī)律(本題給出的是正弦

函數(shù))加上機(jī)械能守恒定律，但要靈活應(yīng)用。

舉一反三

【變式】以初速為%,射程為S的平拋運(yùn)動軌跡制成一光滑軌道。一物體由靜止

開始從軌道頂端滑下，當(dāng)其到達(dá)軌道底部時,物體的速率為,其

水平方向的速度大小為O

【答案】gS/vQ,%/Jl+(%2/gs)2

【解析】平拋運(yùn)動規(guī)律S=W,解得/?=空

22%

根據(jù)機(jī)械能守恒：，解得速率丫=字=史。

2V%%

v,=ncos。，。是軌道的切線與水平方向的夾角，即為平拋運(yùn)動末速度與水平

方向的

夾角，有tand=2tane,a是平拋運(yùn)動位移方向與水平方法的夾角，則

tana=-=--,所以tan6=烏,則cos6=/%.

s2噂片J(g?+(片產(chǎn)

所以匕=vcose=]%,

J1+(勺

例4、在高度X=0.路的水平光滑桌面上，有一輕彈簧左端固定，質(zhì)量為m

=1kg的小球在外力作用下使彈簧處于壓縮狀態(tài)，當(dāng)彈簧具有4.5J的彈性勢能

,如圖所示，不計空氣阻力，求小球落地

時速度大',>>>〃〃八

【思路點撥】正確描寫初態(tài)、末態(tài)的機(jī)械能，初態(tài)的機(jī)械能等于末態(tài)的機(jī)械能。

不要與動能定理混淆。

【答案】v=5m/s

【解析】由小球的運(yùn)動過程可知，在彈簧彈開小球的過程中，小球做的是變加速

運(yùn)動，牛頓定律無法解決。從釋放小球到它落地，由于只有重力和彈簧彈力做功，

以彈簧和小球（含地球）為研究對象，機(jī)械能守恒，以地面為重力勢能參考平面，

系統(tǒng)初態(tài)機(jī)械能E[=Ek]+Epi+紇彈=O+mgh+E例

2mvl

落地時，即末態(tài)機(jī)械能E2=Ek2+Ep2=^mv+°=g

因為￡1=￡2所以]〃丫2=/ng//+E踴=12.51/

解得小球落地速度大小v=5m/s

【總結(jié)升華】注意與動能定理的聯(lián)系和區(qū)別，只有重力做功問題，兩者都可以求

解，但動能定理里是以功的形式體現(xiàn)，機(jī)械能守恒定律是以能的形式體現(xiàn)。一般

來說，對于有彈簧的問題，就是說有彈性勢能，不能用動能定理（因為彈力的功

高中階段不要求計算）,而是用機(jī)械能守恒定律或功能關(guān)系求解。

類型三、機(jī)械能守恒定律與圓周運(yùn)動的結(jié)合

例5、長為L的細(xì)線的一端系一質(zhì)量為m的小球，另一端固定在。點，細(xì)

線可承受的最大拉力為7mgo將小球拉起，并在水平位置處釋放，小球運(yùn)動到

行黃維下方面:；懸線碰到一釘子。求：

￡1久于與。點的距離為多少時,小球剛好能通過圓周的最高點?

在導(dǎo)'6點的距離為多少時，小球能通過圓周的最高點?

..袋.....

【思路點撥】對綜合題要分清物理過程：小球自由下落到最低點的過程，機(jī)械能

守恒，在D點，小球恰好通過最高點，重力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律；

從C至D的過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。第（2）問就是要找出臨界條件。

【答案】(1)=汐2)撲

【解析】(1)小球自由下落到最低點的過程，

以最低點為零勢能點，由機(jī)械能守恒定律：

mgL=〈mvjvc=^2gL

在D點，小球恰好通過最高點，重力提供向心力

由牛頓第二定律：mg=m—vn=Jgt]

r\

從C至D的過程，由機(jī)械能守恒定律：

^mvc=~tnvl+2mgri4=|乙

釘子與。點的距離為:N=L-q=(L

lr)在C點，繩子剛好不斷，在最低點速度一定的情況下，能提供的

9,外力對應(yīng)的半徑是最小半徑。小球受力如圖

T"lg

由牛頓第二定律:T-mg=m—r2=\L[T=6mgvc=J2gL)

3

29

釘子與o點的距離為:x2=L-r2=jL

——3——2

一Z示上口_|知IL-4WOA,￡L-r?即—A<OA<—L

【總結(jié)升華】機(jī)械能守恒定律往往與圓周運(yùn)動結(jié)合在一起，機(jī)械能守恒只是一個

物理過程，要把物理過程分析清楚，滿足機(jī)械能守恒的就用機(jī)械能守恒定律求解,

圓周運(yùn)動里與繩子拉力結(jié)合的又是牛頓第二定律，還有臨界條件等等。

舉一反三

【變式1]如圖所示，粗糙水平地面AB與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BCD

相連接，且在同一豎直平面內(nèi)，。是BCD的圓心，BOD在同一豎直線上。質(zhì)量

m=2kg的小物體在9N的水平恒力F的作用下，從A點由靜止開始做勻加速直

線運(yùn)動。已知AB=5m,小物塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)為〃=0.2。當(dāng)小物塊

2

運(yùn)動到B點時撤去力F。取重力加速度g=10m/so求：

(1)小物塊到達(dá)B點時速度的大?。?/p>

(2)小物塊運(yùn)動到D點時，軌道對小物塊作用力的大小;

(3)小物塊離開D點落到水平地面上的

點與B點之間的距離。

D

【答案】(1)%=5o\(3)x=l.2m

【解析易＜易以勿宏勿小易^多能定理有(F-jjmg)1=；mv：

/曰Ab(F-pmg)l

得VB=J——=5m/s

\m

(2)從B至!JD,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有=g〃n*+mg2R

得力=Jj-4Rg=3m/s

2

在D點，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律有F+mg=m?

K

得F=m費(fèi)-mg=25N

(3)由D點到落點小物塊做平拋運(yùn)動，在豎直方向有2R=g娟

水平面上落點與B點之間的距離為x=u/=3X0.4m=1.2/〃

【高清課堂：重力勢能、機(jī)械能守恒定律例5】

【變式2］如圖所示，半徑為r質(zhì)量不計的圓盤盤面與地面垂直，圓心處有一個

垂直盤面的光滑水平固定軸。，在盤的最右邊緣固定一個質(zhì)量為m的小球A,

在O點的正下方離。點r/2處固定一個質(zhì)量也為m的小球B。放開盤讓其自由

轉(zhuǎn)動，問：

(1)當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少？

(2)A球轉(zhuǎn)到最低點時的線速度是多少？

(3)在轉(zhuǎn)動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少?

?答制(沙軸r(2)即(3)370

漏帛￡以O(shè)為零勢面

初態(tài)：紇川=0,EpBi=-；mgr

未態(tài)：EpA2=-mgrEPB2=0

重力勢能的減少量：AE°=（E“+E陽）-（％+￡曲）=；叫「

（2）由于轉(zhuǎn)動過程中機(jī)械能守恒，所以有：△紜=\E

/p

V

BP—mv2+—m5咫「解得丫=

2257

（3）如圖，設(shè)最大角度為e，此時A、B速度均為零，即動能為零，重力勢能

分別為：

EpA3=-mgrcos0EpBi=-mgrsin0

根據(jù)機(jī)械能守恒

EI,A3+EpB3=EpM+Eim

BP-mgrcos。；mgrsin0=-^mgr

解得sin8=0.6所以。=37。

【總結(jié)升華】本題利用兩小球（系統(tǒng)）的重力勢能之和的減少量等于動能的增加

量，這類問題難度較大，最好學(xué)習(xí)解析中列出初態(tài)、末態(tài)的重力勢能，再利用公

式計算重力勢能的減少量，就可以利用機(jī)械能守恒定律求出小球的速度。"在轉(zhuǎn)

動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度”的意思是：速度為零，畫出草

圖，找對幾何關(guān)系。

類型四、機(jī)械能守恒定律的靈活應(yīng)用

例6、如圖，質(zhì)量為mi的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2

的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k,A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長的

輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A,另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都處于伸直

狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜

止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個質(zhì)

量為（mi+m3）的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放,則這次B剛離

地面時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為go

【思彗落】為題難度較大，對物理過程一步一步分析，對每一個位置的能量也

要描摩楚，手握臨界條件，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解。

【把福呼:叵遍還近

口去7多'%（2班+加3）

【解析】開始時，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為xi,有：kxi=mig①

掛C并釋放后，C向下運(yùn)動，A向上運(yùn)動，設(shè)B剛要離地時彈簧伸長量為x2,

有：kx2=m2g②

B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點。由機(jī)械能守恒,

與初始狀態(tài)相比，彈簧性勢能的增加量為：A￡=/n;ga+X2）-町g（N+X2）③

C換成D后，當(dāng)B剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得：

+班）/-（m3+/7n）g（X[+x2）-m1^（x14-x2）-AE（4）

由③④式得：；（2班+〃%）/=〃7出（2+々）⑤

由①②⑤式得：卜空I⑥

V（2"4+根3）%

【總結(jié)升華】準(zhǔn)確把握臨界條件所蘊(yùn)含的物理規(guī)律是解題的突破口，如本題B

剛好離地的狀態(tài)是彈力和其重力相等,（即日2），但要注意第二種情況下B

的平衡即將被打破。本題的臨界條件所蘊(yùn)含的另一物理意義，是兩種情況下彈簧

所具有的彈性勢能相同，這就建立了兩種情況之間的關(guān)系，這在高考中頻繁出現(xiàn),

要予以高度的重視。

例7、如圖所示，一質(zhì)量不計的細(xì)線繞過無摩擦的輕質(zhì)小定滑輪0與質(zhì)量

為5m的祛碼相連，另一端與套在一根固定的光滑的豎直桿上質(zhì)量為m的圓環(huán)

相連，直桿上有A、C、B三點，且C為A、B的中點,A0與豎直桿的夾角0=53°,

C點與滑輪0在同一水平高度，滑輪與豎直桿相距為L,重力加速度為g,設(shè)直

桿足夠長，圓環(huán)和祛碼運(yùn)動過程中不會與其他物體相碰?，F(xiàn)將圓環(huán)由A點靜止

開始釋放（已知sin53°=0.8,cos53°=0.6）,試求：

/1）礎(chǔ)碼下降到最低點時，祛碼和圓環(huán)的速度大?。?/p>

:滑的最大距離；

r....冽B點時的速度大小。

B[J5m

【思路點撥】本題難度較大，把運(yùn)動的合成和分解問題與機(jī)械能守恒定律綜合在

一起，對速度要分解，理順?biāo)俣汝P(guān)系，對幾何關(guān)系也要分析清楚。

【答案】（1）[2瘋（2）"=等⑶彩