中學(xué)高三月考（五）理科數(shù)學(xué)試卷

中學(xué)高三月考（五）理科數(shù)學(xué)試卷

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷人得分

一、選擇題（共11題，共55分）

1、銳角氏曲中，&瓦C為角43,c所對(duì)的邊，點(diǎn)G為的重心，若ZG_L3G,則cosC的取值

范圍為（）

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】如圖，連接CG,延長(zhǎng)交AB于D,由于G為重心，故D為中點(diǎn),

—AB=-c

?.■AG±BG,c=1,，DG=22,由重心的性質(zhì)得，CD=3DG,即CD=22,由余弦定理得,

AC2=AD2+CD2-2AD?CD?cosZADC,BC2=BD2+CD2-2BD?CD?cosNBDC.

ZADC+ZBDC=n,AD=BD,AC2+BC2=a2+b2=2AD2+2CD2=5c3,則2ab

因?yàn)闉殇J角三角形，則應(yīng)該滿足打2,標(biāo)+1＞臣將〃2+52=51代入可得

則7516沾由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得cosC的取值范圍為

故選B

2、已知耳，國(guó)是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且"*^三，設(shè)橢圓和雙曲線

的離心率分別為■,則■的關(guān)系為（）

AC/+:=4D小4=4

【考點(diǎn)】

【答案】c

^_+^_=192L__Z.=I

【解析】設(shè)橢圓與雙曲線的方程分別為吊用WM滿足°1'心'=%'+鳥'=廿

—b?—/.by=地,二/，—1=3（c^-a｝）2,2-AJL

由焦點(diǎn)三角形的面積公式得3,’17、J所以%+3%=4c

故選C

M

3、設(shè)函數(shù)/（x）=1+V4-2x的最大值為.，最小值為m,則用等于（）

A,在B.A/2C.3D,2

【考點(diǎn)】

【答案】A

_______________IQ￡

［解析］/(x)=&W+^"^五二6"+萬(wàn),令83'=JE，?110二岳MI

。期所

EP哈而吁冬收囂咒

g(8)=cos6+y/2^nff=V3sin(^+p)

6,4

以

ff+^ei^+tp所以當(dāng)e=o時(shí)，弁（'）有最小值為廨=1,當(dāng)“+0一2時(shí),

所以

_竺_q

g（印有最大值.=在所以

故選A

4、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出$的值為（）

6I.

A.2B,2C,0D,2

【考點(diǎn)】

【答案】A

C-I-2^^2017〃

S=smO^+sin-hsin----h+sin

【解析】由程序框圖可知33~T

sinOff+sin--1-sin-----1-...+sin—=0

因?yàn)?33即一個(gè)周期即6個(gè)值相加為o,因?yàn)?/p>

S=xinO+sm—=---

2018=6x336+2,所以32

故選A

5、設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前程項(xiàng)和為國(guó)，公比為口，且鳥，s?,耳》成等差數(shù)列，則時(shí)等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

【考點(diǎn)】

【答案】A

..（l句二傘產(chǎn)（1-『）_1

【解析】依題意可知2s9=S6+S3,1-g1-q1-q整理得2q6-q3-1=0,解q3=1或2,

當(dāng)q=1時(shí)，2S9=S6+S3,不成立故排除.所以&/等于-4

故選A

y=sm2x+—y=cos2x—彳

6、為了得到函數(shù)<3）的圖象，只需把函數(shù)I3）的圖象（）

乃

A.向左平移萬(wàn)個(gè)單位長(zhǎng)度

n

B.向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度

n

D.向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度

【考點(diǎn)】

【答案】C

司2-衿卜而回升“26舅+竽

【解析】所以需把函數(shù)

>>=cos2x-——y=sm2x+

I3)的圖象向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)IT)

故選C

7、如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

864

A.8+4^B.3c.8+26D.3

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】由三視圖可知此幾何體是三棱錐尸—45C,且底面&四C為等腰直角三角形，腰長(zhǎng)AB=BC=2血,

斜邊AC=4,面PAC垂直于面4BC,且M/C為等腰三角形，取AC的中點(diǎn)D,則ED=2,則FD1面ABC,

取BC的中點(diǎn)E則，DEI3c且DE=依，連接所則衛(wèi)￡13C,在三角形中，

PE=+DH=向+(可=8

心」x4x2+k(2⑸+L2逝xv'6x2=8+46

所以*22、(2

故選A

8、中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“某賈人擅營(yíng)，月入益功疾（注：從第2月開始，

每月比前一月多入相同量的銅錢），3月入25貫，全年（按12個(gè)月計(jì)）共入510貫”，則該人12月營(yíng)收

貫數(shù)為（）

A.35B.65C.70D.60

【考點(diǎn)】

【答案】C

12x11

【解析】設(shè)每個(gè)月的收入為等差數(shù)列{an}.公差為d.則a3=25,S12=510.；.a1+2d=25,12a1+2d=510,

解得ai=i5,d=5,二%=4+1皿=15+11*5=70

故選C

9、已知平面向量a力滿足M"+6）=3,且同='同=2,則卜等于（）

A.抬V百C.萬(wàn)D.2應(yīng)

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】因?yàn)镮??I1/所以

|日+守=^+蘇苫+左=1-2+4=3所以5+同=百

故選A

2

10、已知集合力={Ml°g3（2%-l）K0},B=[x\y=j3x-2x]t全集U=R,則A門（。。口）等于

（）

A,（訓(xùn)B.（叼C.（亨耳D.（司

【考點(diǎn)】

【答案】D

12

【解析】由題意得,可得集合'=3彳<X<1],B=[x\x<0或X>3）

所以'A（，網(wǎng)=（2-3）,故選D。

11、若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=RT+i,則z的虛部為（）

應(yīng)-1-^4-1.I-應(yīng)

A.2B.&-lc.2D.2

【考點(diǎn)】

【答案】D

_&_+f_（6+i）（l-i）L+&J-應(yīng).1-^2

Z=-=?J

【解析】1+i222故z的虛部為2

故選D

二、填空題（共4題，共20分）

也

12、正四棱錐的體積為3,則該正四棱錐的內(nèi)切球體積的最大值為.

【考點(diǎn)】

【答案】方

【解析】如圖在正四棱錐V-ABCD中，設(shè)M,N分別是線段BC和AD的中點(diǎn)，連接AC,BD交于點(diǎn)0,連接V0,

VM,VN,MN,則該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是的內(nèi)切圓，

=4夕d=冬陽(yáng)='火=初=atan/A=

設(shè)I紜故

^（2a）Jh=4?2A=①4aJtan2^=^2

--4*43??v2^ftan'。"2后/v2?r?v2

P=_環(huán)R=_Xicztsn8=------------=-----tan2zj1—tsn^}—.....tan^=---

333tan%6''24當(dāng)2時(shí)取等號(hào)，故該

正四棱錐的內(nèi)切球體積的最大值為24

故答案為24

13、已知尸是拋物線夕=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，面麗=-4（其中。為

坐標(biāo)原點(diǎn)），則A。。面積的最小值是

【考點(diǎn)】

【答案】4網(wǎng)

【解析】設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB與x軸的交點(diǎn)為M(m,0),

x=ty+m代入y2=4x,可得y2-4ty-4m=0,根據(jù)韋達(dá)定理有y1*y2=-4m,OA,OB=-4

曹卒仍=-4二-4/M+4=0二掰=2

Z.x1*x2+y1*y2=-4,即44，所以直線AB恒過(guò)(2°)且y1

當(dāng)乂=20時(shí)，“BO面積的最小值是4巧

故答案為4正

14、已知(4一百…)

展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為243,則該展開式中含事項(xiàng)的系數(shù)為

【考點(diǎn)】

【答案】20

(4-IT

【解析】令x=l則I展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為3*=243二暮=5,則1的

…頁(yè)為…產(chǎn)局"飛療則當(dāng)…時(shí),

與=44x^=20x3故該展開式

1

中含X1項(xiàng)的系數(shù)為20

故答案為20

x-.y+KO,

{2x+>-42i0,貝!jz=x+2j

15、已知實(shí)數(shù)x,y滿足X2Q的最小值為

【考點(diǎn)】

【答案】5

x->+l<0

{2x+y-420

【解析】作出不等式組x20對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

y

1z1z

設(shè)z=x+2y,則y=-5x+5平移此直線，由圖象可知當(dāng)直線y=-5x+5經(jīng)過(guò)A時(shí)，直線在y軸的截距最

{x-＞+l=O

小，得到z最小，由2x+y-4=Q得到|A（1,2）,

所以z=x+2y的最小值為5

故答案為5

三、解答題（共4題，共20分）

16、已知函數(shù)/（x）=x-01nx-1（娓為常數(shù)）與％軸有唯一的公關(guān)點(diǎn)4.

（I）求函數(shù)/（“）的單調(diào)區(qū)間；

（II）曲線）=/（"）在點(diǎn)d處的切線斜率為M—這一3,若存在不相等的正實(shí)數(shù)玉巧，滿足

|=|/（^）|,證明：玉巧＜1.

【考點(diǎn)】

【答案】（I）當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/㈤的遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為（°」）；

當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)/（x）的遞增區(qū)間為x0）,無(wú)遞減區(qū)間.（II）證明見解析.

【解析】試題分析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)/（'）=工-疝“-1的定義域?yàn)椋ā悖?8）,且=故由題意可知

曲線〃x）與％軸存在公共點(diǎn)4（L。），又/a）=：-,對(duì)a進(jìn)行討論分心0,°＜呻?=L耳1四

種情況進(jìn)行可得解（II）容易知道函數(shù)〃x）在“（LO）處的切線斜率為/'⑴=l-a=i-〃T,得

?=±2,由（I）可知”一2,且函數(shù)〃x）在區(qū)間（0,珂上遞增.不妨設(shè)x1V巧，因?yàn)閨/（刈=|/（4）|,

則/則有-（5+2叫T）=f+21nxi-1整理得f+vZ-Zln&Xj）,利用基本

不等式構(gòu)建關(guān)于巧巧的不等關(guān)系即可證得.

試題解析：

（I）因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=x-01n的定義域?yàn)?，?/p>

\x-a

故由題意可知曲線/（X）與X軸存在公共點(diǎn)"（L°）,又‘1”一丁，則有

當(dāng)aVO時(shí)，/'（x）＞。，函數(shù)〃x）在定義域上遞增，滿足條件；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)/（X）在（。,々）上遞減，在（小長(zhǎng)°）上遞增，

.11

①若0＜。＜1時(shí)，則〃同"⑴=°,取，=。8則叫=一￡〃/”%-如。-1＞0

故由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)/（X）在（0」）上還有一個(gè)零點(diǎn)，因此不符合題意；

②若a=l,則函數(shù)/（x）的極小值為符合題意；

③若31,則由函數(shù)/（X）的單調(diào)性，有/㈤＜/⑴=°,取/=d+1〉。，有

2

/（x0）=a[a-ln（o+l）]

'F'L'/」.下面研允函數(shù)

g_0】

00

g（a）=a-M〃+l）,a＞l,因?yàn)?⑷-4+1〉。恒成立,故函數(shù)式。）在（L+）上遞增，故

gg）＞g（l）=l-ln2＞。，故/&）=砥（同＞0成立，函數(shù)/（x）在區(qū)間上存在零點(diǎn)

不符合題意.

綜上所述：

當(dāng)媒=1時(shí)，函數(shù)〃x）的遞增區(qū)間為（L*0）,遞減區(qū)間為（°」）；

當(dāng)a《0時(shí)，函數(shù)〃x）的遞增區(qū)間為（。,用），無(wú)遞減區(qū)間.

（II）容易知道函數(shù)/㈤在“（L°）處的切線斜率為/’（ihlFni-aT,得以=±2,

由（I）可知。=一2,且函數(shù)/（x）在區(qū)間（。,+0。）上遞增.

不妨設(shè)玉＜~,因?yàn)?7（玉舊/（與1,則，（々）＜°＜/（巧），

則有-G1+2啊-1）=七+25-1,整理得\+5=2_21!1（5f），

由基本不等式得巧+再>2&故Z-Zlnlwg,AZqMW,整理得[巧巧+ln(巧巧)-1<0,即

/(^)</(1)

由函數(shù)〃x)在(0,+00)上單調(diào)遞增，所以日^VI,即/巧<1.

逑年閣

17、已知中心在原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在X軸上，離心率為3的橢圓過(guò)點(diǎn)I3).

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)橢圓與J軸的非負(fù)半軸交于點(diǎn)3,過(guò)點(diǎn)3作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于尸，。兩點(diǎn)，

連接尸Q,求心尸Q的面積的最大值.

【考點(diǎn)】

m上2_127

?—=1—

【答案】(1)9(2)8

c2應(yīng)

(。3

馬+4=依>8>0)餐+4=1

【解析】試題分析：(I)由題意可設(shè)橢圓方程為4方，則，9必可求得以，占

(II)由題意可知，直線腫的斜率存在且不為。.故可設(shè)直線腫的方程為>=衣+1,由對(duì)稱性，不妨設(shè)

>=fc+l

上>由爐+）消去尸得（戶）/加

0,19]―9=01+9+1=0,求弦長(zhǎng)|BP|,

\BQ\.S^^\BP\\BQ\=[k+M-p-

將式子中的尢>0換成k,得I配1設(shè)k

s二曲

則EA2.皿9P+64利用基本不等式即得解.

試題解析：

c2應(yīng)

{廠亍

X2V227/=3

———=>b>G)—z-Hz-=1{,,

(I)由題意可設(shè)橢圓方程為〃b2,貝I]a29必，故8=1,

+爐=1

所以，橢圓方程為9

（II）由題意可知，直線3P的斜率存在且不為o.

故可設(shè)直線腫的方程為丁=衣+1,由對(duì)稱性，不妨設(shè)無(wú)＞0,

＞=*x+l

由1/+%】―9=0,消去J得（1+9戶）/+1加=0,

網(wǎng)r--頤|=叫+'

則L1+9爐，將式子中的上＞0換成k,得：L￡3+9

5小即畋唱**

162,16227

5=畀=凝通而=了％=竺fJ

故59P+64f,取等條件為，即3,

-18L4士近27

即上3,解得3時(shí)，》的?取得最大值8.

18、根據(jù)國(guó)家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過(guò)3s微克/

立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過(guò)75微克/立方米.某市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20

天PM2.5的24小時(shí)平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖表:

蛆印

(I)將這20天的測(cè)量結(jié)果按表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖.

(i)求圖中爆的值；

(H)在頻率分布直方圖中估算樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考

慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？井說(shuō)明理由.

(II)將頻率視為概率，對(duì)于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合

環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X,求，的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】

【答案】解析：(I)(i)0.004.(ii)42.5(微克/立方米)，該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn).

(IDX的分布列為

￡(Z)=2.7

【解析】試題分析：(1)(i)估計(jì)頻率和為1求出a的值；(ii)利用頻率分布直方圖求出年平均濃度,

與35比較即可得出結(jié)論；(2)由題意得PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率為0.9,X

的可能取值為0,1,2,3；計(jì)算P(X=k)?0.13-k?0.9k,寫出分布列.

試題解析：

(I)(i)。的值為0.004.

(ii)2016年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為

12.5x0.15+37.5x0.6+62.5x0.15+87.5xO.1=42.5(微克/立方米).

因?yàn)?2.5>35,所以2016年該居民區(qū)尸M2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)

境需要改進(jìn).

(H