中考初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)專題（九） 圖形的變換與四邊形

中考初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)專題（九）

圖形的變換與四邊形

【知識要點】

知識點1：圖形的變換與鑲嵌

軸對稱I-

函

圖■I生活中的對稱頊豪出

案

形中心對稱卜

變

欣

換

___________________.H平移規(guī)律H平移作圖不賞

與

生活中的平移與旋轉(zhuǎn)H二.._與

鑲___________________q旋轉(zhuǎn)規(guī)律I旋轉(zhuǎn)作圖F-

設(shè)

嵌

計

一型號能鑲嵌的畫

-I生活中的鋰蔽

邊形的組合鑲嵌卜

知識點2：四邊形的定義、判定及性質(zhì)

內(nèi)角和

多邊/形

富夕卜角和

情

平

境絲

行判

四定

邊L|對角線;I

形邊

角

而鬲緩

知識點3：矩形、菱形及正方形的判定

矩形

加：一個內(nèi)角為90°且一縝鄰;池相等

平行四邊形正方形

菱形

知識點4：矩形、菱形及正方形的性質(zhì)

矩5.對角線相等

形6.四個內(nèi)角為90°

正Ti.而邊平聲］

方mj

形K|2.對邊相等

菱邊T3.對角相等1

形篝形?

T4.對角線互相平分I

47.四條邊相辱］

48.對角線互相垂直|

19.對角線平分各內(nèi)角I

直角梯形

-

四

邊

形

一等腰梯形

【復(fù)習(xí)點撥】

1、掌握平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的性質(zhì)，靈活地運用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱解決生活中的問題。

2、掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形及梯形的定義、判定、性質(zhì)，利用這些特殊四邊

形進行綜合計算和證明。

【典例解析】

例題1:（2017山東棗莊）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)例0°,得到數(shù)字例"，將數(shù)字例”旋轉(zhuǎn)180°,

得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°,得到的數(shù)字是（）

A.96B.69C.66D.99

【考點】R1：生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

【分析】直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合69的特點得出答案.

【解答】解：現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°,得到的數(shù)字是：69.

故選：B.

例題2：（2017山東棗莊）如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折

痕為MN,再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE.若AB的長為2,則

FM的長為（）

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）.

【分析】根據(jù)翻折不變性，AB=FB=2,BM=1,在Rt^BFM中,可利用勾股定理求出FM的值.

【解答】解：???四邊形ABCD為正方形，AB=2,過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F

處，

；.FB=AB=2,BM=1,

則在Rt^BMF中,

FM=VBF2-BM2地2_12=弧,

故選：B.

例題3：（2017山東棗莊）在矩形ABCD中，NB的角平分線BE與AD交于點E,NBED的角

平分線EF與DC交于點F,若AB=9,DF=2FC,則BC="萬+3.（結(jié)果保留根號）

【考點】LB：矩形的性質(zhì)；KI：等腰三角形的判定；S9：相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】先延長EF和BC,交于點G,再根據(jù)條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形，

并求得其斜邊BE的長,然后根據(jù)條件判斷三角形BEG為等腰三角形，最后根據(jù)AEEDsaGFC

得出CG與DE的倍數(shù)關(guān)系，并根據(jù)BG=BC+CG進行計算即可.

【解答】解：延長EF和BC,交于點G

,/矩形ABCD中，ZB的角平分線BE與AD交于點E,

AZABE=ZAEB=45°，

；.AB=AE=9,

，直角三角形ABE中，BE=V92+92=

又?；NBED的角平分線EF與DC交于點F,

ZBEG=ZDEF

VAD//BC

ZG=ZDEF

ZBEG=ZG

；.BG=BE=972

由/G=NDEF,ZEFD=ZGFC,可得△EFDs/\GFC

.CG二CF二CF二1

，eDE'DF"2CF

設(shè)CG=x,DE=2x,則AD=9+2x=BC

,/BG=BC+CG

W^9+2X+X

解得X=M-3

；.BC=9+2（班-3）=班歷+3

故答案為：65/2+2

例題4：(2017山東棗莊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A

(2,2),B(4,0),C(4,-4).

(1)請在圖中，畫出AABC向左平移6個單位長度后得到的△ABG；

(2)以點0為位似中心，將aABC縮小為原來的費,得到△A2B2C2,請在圖中y軸右側(cè)，畫

出4A262c2,并求出NA2cB的正弦值.

【考點】SD：作圖-位似變換；Q4：作圖-平移變換；T7：解直角三角形.

【分析】(1)直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；

(2)利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，再利用銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

【解答】解：(1)如圖所示：△ABG,即為所求；

(2)如圖所示：△A2B2C2,即為所求，

由圖形可知，ZA2C2B2=ZACB,

過點A作AD1BC交BC的延長線于點D,

由A(2,2),C(4,-4),B(4,0),易得D(4,2),

故AD=2,CD=6,AC=^22+62=2^>

/.sinZACB=皿匝，

AC2V1010

即sinNA2c2B2=Y50.

10

例題5：

例題6：(2017甘肅張掖)如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,過對角線BD中點。的直線分

別交AB,CD邊于點E,F.

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長.

【考點】LB：矩形的性質(zhì)：L7：平行四邊形的判定與性質(zhì)；L8：菱形的性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定ABOE嶺ADOF(ASA),得出四邊形BEDF

的對角線互相平分，進而得出結(jié)論；

(2)在RtZ\ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出0B,

再由勾股定理求出E0,即可得出EF的長.

【解答】(1)證明：?..四邊形ABCD是矩形，0是BD的中點，

，NA=90°,AD=BC=4,AB〃DC,OB=OD,

/.ZOBE=ZODF,

"ZOBE=ZODF

在ABOE和△DOF中，，OB=OD，

ZBOE=ZDOF

.,.△BOE^ADOF(ASA),

/.EO=FO,

四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BE±EF,

設(shè)BE=x,則DE=x,AE=6-x,

在Rt/XADE中，DE2=AD2+A￡Z,

.\xM2+(6-x))

解得：x=*^,

7BD=VAD2+AB2=2V13>

.*.OB=yBD=V13，

VBD1EF,

；?E0=VBE2-OB2='

，EF=2E0=&fi^.

3

例題7：（2017重慶B）如圖，正方形ABCD中，AD=4,點E是對角線AC上一點，連接DE,

過點E作EFLED,交AB于點F,連接DF,交AC于點G,將aEEG沿EF翻折，得到

連接DM,交EF于點N,若點F是AB的中點，則AEMN的周長是5亞WI3.

~2~

DC

H

AFB

【分析】如圖1,作輔助線，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明FQ=BQ=PE=1,

△DEF是等腰直角三角形，利用勾理計算DE=EF=JT5,PD={DE2-PE2=3,如圖2,由平行

相似證明△DGCS^FGA,列比例式可得FG和CG的長，從而得EG的長，根據(jù)aGHF是等腰

直角三角形，得GU和F1I的長，利用DE〃GM證明△DENS/\MNH,則述上此，得EN=2/S,

MHNH2

從而計算出AEMN各邊的長，相加可得周長.

【解答】解：如圖1,過E作PQLDC,交DC于P,交AB于Q,連接BE,

VDCZ/AB,

.*.PQ±AB,

:四邊形ABCD是正方形，

.,.NACD=45°,

???△PEC是等腰直角三角形，

Z.PE=PC,

設(shè)PC=x,則PE=x,PD=4-x,EQ=4-x,

；.PD=EQ,

,/ZDPE=ZEQF=90°,ZPED=ZEFQ,

/.△DPE^AEQF,

.*.DE=EF,

易證明aDEC絲△BEC,

???DE=BE,

AEF=BE,

VEQ±FB,

.-.FQ=BQ=ABF,

2

VABM,F是AB的中點,

ABF=2,

AFQ=BQ=PE=1,

???CE=加,

RtZ\DAF中，DF=3+22=2V^,

VDE=EF,DE±EF,

???△DEF是等腰直角三角形,

.,.DE=EF=軍心,

V2

?',PD=VDE2-PE2=3,

如圖2,；DC〃AB,

.".△DGC^AFGA,

?CGDCDG_4_

??--------------------—----乙9，

AGAFFG2

ACG=2AG,DG=2FG,

.-.FG=AX2娓

33

VAC=22=4

V4+4V2?

二.CG=2X472=-^^.

33

...EG=8M-后殳②

33

連接GM、GN,交EF于H,

VZGFE=45°,

...△GIF是等腰直角三角形,

2娓

.,.GH=FH=_3=VIo,

近3

AEH=EF-FH=VTO-y叵一入叵,

33

由折疊得：GM_LEF,MH=GH=

3

AZEHM=ZDEF=90°，

，DE〃HM,

.,.△DEN^AMNH,

???—DE二—EN，

MHNH

AEN=3NH,

VEN+NH—EH=.?VJ^,

_3

2___

.\NH=EH-￡2型匝-,

326______________

RSGNH中，6加而?。荩ɑ沖/+（嚕產(chǎn)平,

由折疊得:MN折N,EM=EG,

.附的周-fe=EN+MN+EM=￡返+=5后W1U.

__2632

故答案為：旦立叵.

2

B

圖2

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、三角形全等、相似的性質(zhì)和判定、勾

股定理，三角函數(shù)，計算比較復(fù)雜，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，計算出PE的長是關(guān)鍵.

例題8：(2017山東棗莊)已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF,

使點F在線段CB的延長線上，連接EA,EC.

(1)如圖1,若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

(2)如圖2,若點P在線段AB的中點，連接AC,判斷4ACE的形狀，并說明理由；

(3)如圖3,若點P在線段AB上，連接AC,當(dāng)EP平分/AEC時，設(shè)AB=a,BP=b,求a：b

及/AEC的度數(shù).

【考點】L0：四邊形綜合題.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明AAPE嶺aCFE,可得結(jié)論；

(2)分別證明NPAE=45°和NBAC=45°,則/CAE=90°,即4ACE是直角三角形；

(3)分別計算PG和BG的長，利用平行線分線段成比例定理列比例式得：善里，即

BCGB

b_a-b

a2b-a

解得：a=&b,得出a與b的比，再計算GH和BG的長，根據(jù)角平分線的逆定理得：/HCG=

ZBCG,由平行線的內(nèi)錯角得：ZAEC=ZACB=45°.

【解答】證明：(1)???四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，

/.AB=BC,BP=BF,

.\AP=CF,

在4APE和4CFE中，

'AP=CF

NP=/F，

PE=EF

/.△APE^ACFE,

.\EA=EC；

(2)4ACE是直角三角形，理由是：

如圖2,；P為AB的中點,

；.PA=PB,

；PB=PE,

；.PA=PE,

/.ZPAE=45",

又"BAC=45°,

.-.ZCAE=90°,即AACE是直角三角形;

(3)設(shè)CE交AB于G,

；EP平分NAEC,EP_LAG,

/.AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b-a,

VPE^CF,

_

.PEPGHHbab

??—，IA|J~~—,

BCGBa2b-a

解得：a=

/?a：b-^2：1,

作GH1AC于H,

VZCAB=45°,

.-.HG=^AG=^.(272b-2b)=(2-&)b,

22

又??"6=21)-4=(2-亞)b,

???GH=GB,GH±AC,GB±BC,

.\ZHCG=ZBCG,

VPE//CF,

JNPEG=NBCG,

AZAEC=ZACB=45°.

圖3

【達標(biāo)檢測】

一、選擇題

1.（2017浙江義烏）在探索“尺規(guī)三等分角”這個數(shù)學(xué)名題的過程中，曾利用了如圖.該

圖中，四邊形ABCD是矩形，E是BA延長線上一點，F(xiàn)是CE上一點，ZACF=ZAFC,ZFAE=

，則NECD的度數(shù)是（）

23°D.24°

【考點】LB：矩形的性質(zhì)；JA：平行線的性質(zhì).

【分析】由矩形的性質(zhì)得出/D=90°,AB〃CD,AD〃BC,證出NFEA=NECD,ZDAC=ZACB=21°,

由三角形的外角性質(zhì)得出NACF=2NFEA,設(shè)NECD=x,則NACF=2x,ZACD=3x,在RtAACD

中，由互余兩角關(guān)系得出方程，解方程即可.

【解答】解：..?四邊形ABCD是矩形,

.?.ZD=90°,AB〃CD,AD/7BC,

AZFEA=ZECD,NDAC=NACB=21°,

ZACF=ZAFC,ZFAE=ZFEA,

Z.ZACF=2ZFEA,

設(shè)NECD=x,則NACF=2x,

；./ACD=3x,

在RtZiACD中,3x+21°=90°,

解得：x=23°；

故選：C.

2.（2017甘肅張掖）下面四個手機應(yīng)用圖標(biāo)中，屬于中心對稱圖形的是（）

【考點】R5：中心對稱圖形.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解答】解：A圖形不是中心對稱圖形；

B圖形是中心對稱圖形；

C圖形不是中心對稱圖形；

D圖形不是中心對稱圖形，

故選：B.

3.

4.

5.

二、填空題：

6.

7.

8.（2017浙江義烏）如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角

線BD上,GE±CD,GF1BC,AD=1500m,小敏行走的路線為B-A-E,小聰行走的路線為

B-A-DfE-F.若小敏行走的路程為3100m,則小聰行走的路程為4600m.

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；KI）：全等三角形的判定與性質(zhì)；LD：矩形的判定與性質(zhì).

【分析】連接CG,由正方形的對稱性，易知AG=CG,由正方形的對角線互相平分一組對角，

GE±DC,易得DE=GE.在矩形GECF中，EF=CG.要計算小聰走的路程，只要得到小聰比小敏

多走了多少就行.

【解答】解：連接GC,

???四邊形ABCD為正方形，

所以AD=DC,ZADB=ZCDB=45°,

VZCDB=45°,GE1DC,

??.△DEG是等腰直角三角形，

；.DE=GE.

在AAGD和4GDC中，

rAD=DC

,ZADG=ZCDG

DG=DG

.,.△AGD^AGDC

.*.AG=CG

在矩形GECF中，EF=CG,

.\EF=AG.

VBA+AD+DE+EF-BA-AG-GE

=AD=1500m.

:小敏共走了3100m,

.,?小聰行走的路程為3100+1500

=4600（m）

故答案為：4600

9.（2017浙江衢州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,BC=6,將AABC沿AC折疊，使點B

落在點E處，CE交AD于點F,則DF的長等于（）

E

D

B：......................7C

A.—B.—C.—D.—

5334

【考點】PB：翻折變換(折疊問題)；LB：矩形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB,ZE=ZB=90°,易證Rt^AEF且RtaCDF,即可得到結(jié)

論EF=DF；易得FC=FA,設(shè)FA=x,則FC=x,FD=6-x,在RtZ\CDF中利用勾股定理得到關(guān)于

x的方程X2=42+(6-x)2,解方程求出X.

【解答】解：?.?矩形ABCD沿對角線AC對折，使aABC落在AACE的位置，

AAE=AB,ZE=ZB=90°,

又?..四邊形ABCD為矩形，

.\AB=CD,

.*.AE=DC,

而/AFE=/DFC,

?.?在4AEF與aCDF中，

fZAFE=ZCFD

■ZE=ZD，

AE=CD

AAAEF^ACDF(AAS),

.\EF=DF；

,??四邊形ABC!)為矩形，

；.AD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

；.FC=FA,

設(shè)FA=x,則FC=x,FD=6-x,

在RSCDF中,CF2=CD2+DF2,BPX2=42+(6-X)2,解得x=^,

3

則FD=6-x=^.

3

故選：B.

E

D

B

10.（2017張家界）如圖，在正方形ABCD中，AD=2?，把邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°

得到線段BP,連接AP并延長交CD于點E,連接PC,則三角形PCE的面積為6、質(zhì)-10.

【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；LE；正方形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的想知道的PB=BC=AB,/PBC=30°,推出AABP是等邊三角形，得到N

BAP=60°,AP=AB=2>/3,解直角三角形得到CE=2?-2,PE=4-2?,過P作PF±CD于F,

于是得到結(jié)論.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

ZABC=90°,

???把邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP,

.\PB=BC=AB,ZPBC=30°,

ZABP=60°,

AABP是等邊三角形,

ZBAP=60°,AP=AB=2次,

：AD=2避，

；.AE=4,DE=2,

；.CE=2/-2,PE=4-2?,

過P作PF±CD于F,

...PF=2^PE=2F-3,

三角形PCE的面積="1CE?PF=￡X(273-2)X(4-273)=6b-10,

故答案為：65/3-10.

D

B

三、解答題

11.（2017湖南岳陽）求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

小紅同學(xué)根據(jù)題意畫出了圖形，并寫出了己知和求證的一部分，請你補全已知和求證，并寫

出證明過程.

己知：如圖，在QABCD中，對角線AC,BD交于點0,知，BD

求證：四邊形ABCD是菱形.

【分析】由命題的題設(shè)和結(jié)論可填出答案，由平行四邊形的性質(zhì)可證得AC為線段BD的垂直

平分線，可求得AB=AD,可得四邊形ABCD是菱形.

【解答】已知：如圖，在口ABCD中，對角線AC,BD交于點0,AC±BD,

求證：四邊形ABCD是菱形.

證明:

???四邊形ABCD為平行四邊形,

.\B0=D0,

VAC1BD,

；.AC垂直平分BD,

；.AB=AD,

...四邊形ABCD為菱豚

故答案為：AC±BD；四邊形ABCD是菱形.

【點評】本題主要考查菱形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)證得AB=AD

是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點E,交CB的延長線于點F,

連接AF,BE.

(1)求證：AAGE絲△BGF；

(2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由.

【考點】L5：平行四邊形的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性

質(zhì).

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃BC,得出NAEG=NBFG,由AAS證明△AGE^4

BGF即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出AE=BF,由AD〃BC,證出四邊形AFBE是平行四邊形，再根據(jù)

EF1AB,即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

NAEG=NBFG,

?；EF垂直平分AB,

；.AG=BG,

'NAEG=NBFG

在aAGEH和△BGF中，，NAGE=NBGF，

AG=BG

/.△AGE^ABGF(AAS)；

(2)解：四邊形AFBE是菱形，理由如下：

VAAGE^ABGF,

，AE=BF,

VAD//BC,

四邊形AFBE是平行四邊形，

又；EF_LAB,

...四邊形AFBE是菱形.

13.定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

(1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=BC,ZABC=90",

①若AB=CD=1,AB〃CD,求對角線BD的長.

②若AC_LBD,求證：AD=CD,

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AB=5,BC=9,點P是對角線BD上一點，且BP=2PD,過點P

作直線分別交邊AD,BC于點E,F,使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長.

【考點】L0：四邊形綜合題.

【分析】(1)①只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題；

②只要證明4ABD絲Z\CBD,即可解決問題；

(2)若EFLBC,則AEWEF,BFWEF,推出四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件.若

EF與BC不垂直，①當(dāng)AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，②當(dāng)BF=AB

時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，分別求解即可；

【解答】解：(1)①：AB=AC=1,AB〃CD,

.,.S四邊形ABCD是平行四邊形，

VAB=BC,

四邊形ABCD是菱形，

???ZABC=90°,

二四邊形ABCD是正方形,

*'?BD=AC=41]2=

⑵如圖1中，連接AC、BD.

VAB=BC,AC±BD,

NABD=NCBD,

VBD=BD,

/.△ABD^ACBD,

；.AD=CD.

(2)若EFJ_BC,則AEKEF,BFKEF,

四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件.

若EF與BC不垂直，

①當(dāng)AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,

；.AE=AB=5.

②當(dāng)BF=AB時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,

；.BF=AB=5,

：DE〃BF,

ADE：BF=PD：PB=1：2,

；.DE=2.5,

.,.AE=9-2.5=6.5,

綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5.

14.(2017浙江衢州)在直角坐標(biāo)系中，過原點0及點A(8,0),C(0,6)作矩形0ABC、

連結(jié)0B,點D為0B的中點，點E是線段AB上的動點，連結(jié)DE,作DFJ_DE,交0A于點F,

連結(jié)EF.已知點E從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設(shè)移動時間

為t秒.

(1)如圖1,當(dāng)t=3時，求DF的長.

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段AB上移動的過程中，/DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，

請說明理由；如果不變，請求出tan/DEF的值.

(3)連結(jié)AD,當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，求相應(yīng)的t的值.

【考點】L0：四邊形綜合題.

【分析】(1)當(dāng)t=3時，點E為AB的中點，由三角形中位線定理得出DE〃OA,DE=^0A=4,

2

再由矩形的性質(zhì)證出DE，AB,得出N0AB=NDEA=90°,證出四邊形DFAE是矩形,得出DF=AE=3

即可；

(2)作叫_LOA于M,DNLAB于N,證明四邊形DMAN是矩形，得出NMDN=90°，皿〃AB,

DN/70A,由平行線得出比例式段吃，黑=罌，由三角形中位線定理得出DM=4AB=3,

DONABDMA2

DN=40A=4,證明△DMFSADNE,得出些關(guān)=g，再由三角函數(shù)定義即可得出答案；

2DEDN4

(3)作作DML0A于M,DNLAB于N,若AD將ADEF的面積分成1：2的兩部分，設(shè)AD交

EF于點G,則點G為EF的三等分點；

q

①當(dāng)點E到達中點之前時，NE=3-t,由△DMFs/XDNE得：MF=—(3-t),求出AF=4+MF=

4

-gt+尊，得出G(坐0，?t),求出直線AD的解析式為y=-gx+6,把G(空舁，

44123412

-1t)代入即可求出t的值；

②當(dāng)點E越過中點之后，NE=t-3,由△DMFs^DNE得：MF=—(t-3),求出AF=4-MF=-

4

St+空，得出G(空空，=t),代入直線AD的解析式y(tǒng)=-ax+6求出t的值即可.

44634

【解答】解：(1)當(dāng)t=3時，點E為AB的中點，

VA(8,0),C(0,6),

；.0A=8,0C=6,

I?點D為OB的中點,

；.DE〃OA,DE=_0A=4,

2

???四邊形OABC是矩形,

AOAIAB,

ADElAB,

/.ZOAB=ZDEA=90°,

XVDF1DE,

ZEDF=90°,

...四邊形DFAE是矩形,

；.DF=AE=3；

(2)/DEF的大小不變；理由如下:

作DM_LOA于M,DNJ_AB于N,如圖2所示:

.?四邊形OABC是矩形，

\OA±AB,

?.四邊形DMAN是矩形，

ZMDN=90",DM〃AB,DN〃OA,

?BD_BNDO=0M

'DO^NA，BD一加’

.,點D為OB的中點,

,?M>N分別是OA、AB的中點,

\DM=—AB=3,DN=—0A=4,

22

ZZEDF=90°,

?.ZFDM=ZEDN,

XVZDMF=ZDNE=90°,

,.△DMF^ADNE,

.DFDM_3

-DE=DN-'4,

ZEDF=90°,

tanZDEF="^-=—

DE4

(3)作DM_LOA于M,DN_LAB于N,

若AD將4DEF的面積分成1：2的兩部分,

設(shè)AD交EF于點G,則點G為EF的三等分點;

①當(dāng)點E到達中點之前時，如圖3所示，NE=3-t,

q

由△DMFsZkDNE得：MF=—(3-t),

4

.\AF=4+MF=-—1+—,

44

?.?點G為EF的三等分點，

小喑，尹,

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

(8k+b=0

把A(8,0),I)(4,3)代入得:

l4k+b=3'

\J_

解得：〈=4，

b=6

，直線AD的解析式為y=-gx+6,

4

3t+71>4t)代入得：t=1^；

把G(

12341

②當(dāng)點E越過中點之后，如圖4所示，NE=t-3,

由△DMFs/\DNE得：MF=—(t-3),

4

.\AF=4-MF=--1+—,