2024-2025學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)高二年級上學(xué)期第二次階段性測試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)高二年級上學(xué)期第二次階段性測試數(shù)學(xué)檢測試卷單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請1.斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B2.已知平行四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)分別為的左、右焦點(diǎn)，則該平行四邊形的周長為（）A. B.4 C. D.8【正確答案】D3．圓與的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【正確答案】D4.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B5.已知雙曲線的虛軸長為，兩個頂點(diǎn)分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A6.長為的線段的兩個端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C7.設(shè)雙曲線的離心率為，雙曲線漸近線的斜率的絕對值小于，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)題目條件和橢圓定義表示其他邊長，利用勾股定理得出和的關(guān)系，分別在和直角中表示，建立等量關(guān)系求橢圓離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故點(diǎn)在軸上.如圖，在直角中，，在中，，化簡得，∴橢圓的離心率.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．請9．（多選）下列說法正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為C．已知直線，則直線的傾斜角為D．若兩直線與平行，則【正確答案】CD10．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動點(diǎn)軌跡為直線或圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標(biāo)系中，，滿足的點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓B．軌跡C上的點(diǎn)到直線的最小距離為C．若點(diǎn)在軌跡C上，則的最小值是D．圓與軌跡C有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是【正確答案】ACD【分析】利用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算可判定A，利用直線與圓的位置關(guān)系可判定B、C，利用兩圓的位置關(guān)系可判定D.【詳解】設(shè)Px,y，由，整理得，顯然點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A正確；圓心到直線的距離，所以軌跡C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故B錯誤；設(shè)，易知圓心到直線的距離，故C正確；易知圓的半徑為2，則其與軌跡C相交或相外切時符合題意，則圓心距，解之得，故D正確.故選：ACD11.已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.若，則面積為C.若直線過焦點(diǎn)，且，則到直線的距離為D.若，則【正確答案】BD【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A錯誤，結(jié)合拋物線的定義，可判定B正確；結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，可判定C錯誤；設(shè)直線的方程為（不妨設(shè)）求得和，結(jié)合基本不等式，可判定D正確.【詳解】對于A中，拋物線可得其準(zhǔn)線方程為，所以A錯誤；對于B中，設(shè)，因?yàn)?，可得，解得，可得，所以，所以B正確；對于C中，拋物線，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，可得，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，所以直線的方程為，不妨取，所以到直線的距離為，所以C錯誤；對于D中，設(shè)直線的方程為（不妨設(shè)）由，可得，則，因?yàn)?，此時直線的方程為，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。請12．若直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)m值為______．【正確答案】13．若過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且，則滿足條件的的所有值為．【正確答案】2或414.如圖所示，已知橢圓的方程為，若點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積是______.【正確答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義、余弦定理等知識求得，從而求得的面積.詳解】由已知，得，則，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化簡解得，所以的面積為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．15．（本題13分）已知的頂點(diǎn)A為(3，－1)，AB邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，（1）求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求BC邊所在直線的方程．解：設(shè)，由AB中點(diǎn)在上，可得：，y1=5，所以．設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則有，故．16．（本題15分）已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用題中距離之比列出關(guān)于動點(diǎn)的方程即可求解；（2）聯(lián)立直線與曲線化簡可得，根據(jù)方程有一個解，計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)動點(diǎn)，由題意有即同時平方，有整理得：所以曲線的方程為【小問2詳解】聯(lián)立方程消去得（*）①當(dāng)即時，方程（*）有1個根，符合題意.②當(dāng)即時，因?yàn)橹本€與曲線有1個公共點(diǎn)故解得：綜上所述，當(dāng)時，直線與曲線有且只有一個公共點(diǎn).17．（本題15分）如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求該圓弧所在圓方程；（2）若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）【正確答案】（1）（2）4輛【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心的位置，結(jié)合垂徑定理與勾股定理求圓心與半徑，即可圓弧所在圓的方程；（2）確定汽車通過的最大寬度，再分析可得最多可以并排通過該種汽車數(shù)量.【小問1詳解】由圓的對稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，設(shè)該圓的半徑為r米，則，解得，故該圓弧所在圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，則，解得．若并排通過5輛該種汽車，則安全通行的寬度為，故該隧道不能并排通過5輛該種汽車．若并排通過4輛該種汽車，則安全通行的寬度為．隧道能并排通過4輛該種汽車．綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車．18.（本題17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于軸．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試問：是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．【正確答案】（1）（2）為定值，該定值為2【分析】（1）先根據(jù)焦點(diǎn)形式設(shè)出橢圓方程和焦距，根據(jù)橢圓經(jīng)過和半焦距為3易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，分別表示出直線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可表示出，即可求得答案．【小問1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓：，焦距為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為所以，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)，由橢圓的方程可知，因?yàn)?，則直線，由已知得，直線斜率均存在，則直線，令得，直線，令得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，，則，又因?yàn)?，即，所以．所以為定值，該定值?.19．（本題17分）已知圓心為C的動圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心C的軌跡為．（1）求軌跡的方程；（2）已知為定點(diǎn)，P，Q為上的兩動點(diǎn)，且，求點(diǎn)A到直線距離的最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由拋物線的定義即可得解.（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及，可得的關(guān)系，進(jìn)一步可將點(diǎn)A到直線距離的最大值化成關(guān)于的函數(shù)，由此即可得解.【小問1詳解】由題可知