2020概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末完整考試題庫288題（含答案）

2020年概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末測試復(fù)習(xí)題288題［含

答案］

一、選擇題

1.設(shè)總體x的概率密度函數(shù)是

1—

-00<X<+00

\J2TTO

%，％2，%3''%是一組樣本值，求參數(shù)5的最大似然估計？

解：似然函數(shù)

d\nL_n1g二2

+Xi3=-ix,

d8~~282^'^n/=1

2.甲.乙.丙三臺機床加工一批同一種零件，各機床加工的零件數(shù)量之比為5：3：2,各機

床所加工的零件合格率依次為94%,90%,95%?，F(xiàn)從加工好的整批零件中隨機抽查一

個，發(fā)現(xiàn)是廢品，判斷它是由甲機床加工的概率。

解設(shè)A,42,A3表示由甲乙丙三機床加工，B表示此產(chǎn)品為廢品。（2分）

則所求事件的概率為

P（AIB）=3@=&4"（團4）

-x0.06

「⑻￡P(guān)（4）P（BIA）23

/=1=0.5x0.06+0.3x0.10+0.2x0.057

答：此廢品是甲機床加工概率為3/7o

3.設(shè)①（X）為標準正態(tài)分布函數(shù),

fl,事件A發(fā)生

=1,2,---,1OO,

［O,否則口P(A)=0.4X],X100相

100

yOx,.

互獨立。令閆，則由中心極限定理知y的分布函數(shù)尸（＞）近似于（B）。

①寫竺)①(匕竺)

A.①(y)B.^24c.①(y一40)D.24'

4.若頤xy)=E(x)E(y),則(D)。

A.x和y相互獨立B.x與y不相關(guān)c.D{XY)=D(X}D(Y)D

D(x+y)=o(x)+D(r)

5.設(shè)隨機事件A.B互不相容，P(A)=p,P(B)=q,則P(AB)=(c)o

A.(i-p)qB.pqc.qD.〃

6.設(shè)①(X)為標準正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā)生

X；=4.,i=l,2,…，100,

5),6則且P(A)=0.5,X],X2,---,Xioo相互

100

y這x,

獨立。令I(lǐng),則由中心極限定理知y的分布函數(shù)尸(舊近似于(B)。

小?一50、小?一50、

A①(y)B5c①(y-50)D25

7.隨機抽取某種炮彈9發(fā)做實驗，測得炮口速度的樣本標準差S=3(m/s),設(shè)炮口速度服從

正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差。2的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知:力0—(8)=17.535,%。二(8)=2.18；^(9)=19.02,⑼=2.7)

因為炮口速度服從正態(tài)分布，所以

22

//(〃"P{ZO.O25(8)<W<ZO,975(8))=().95

(/?-l)S2(?-l)S2

/的置信區(qū)間為：〔必必(〃T/.975(〃-力

(8x98x9]

〃的置信度0.95的置信區(qū)間為117.535'2.18(Jgp(4.106,33.028)

8.若A.B相互獨立，則下列式子成立的為(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)B.P(AB)=0c.P(A\B)=P(B\A)D

P(AIB)=P(B)

9.一批螺絲釘中，隨機抽取9個，測得數(shù)據(jù)經(jīng)計算如下：元=16.10CTM,S=2.10CTM。設(shè)螺

絲釘?shù)拈L度服從正態(tài)分布，試求該批螺絲釘長度方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。

22

(已知:檢0252G)=17.535,ZO.975(8)=2.18；4°。1⑼=19.02,Zo.975(9)=2.7)

解：因為螺絲釘?shù)拈L度服從正態(tài)分布，所以

W=(〃_DS~

222

a)P{ZOO25(8)<W<ZO,975(8))=O.95

5-1)/

/的置信區(qū)間為：〔必。25(〃f就975(〃T),

’8x2.1028x2.102、

b2的置信度0.95的置信區(qū)間為I05352,180)即(2.012,16.183)

10.設(shè)隨機變量X?N(u,81),Y?N(u,16),記

Pi=P{X<"-9}，P2={Fi〃+4},則(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl與p2的關(guān)系無法確定

11.在假設(shè)檢驗中，下列說法錯誤的是(C)。

A.兄真時拒絕乩稱為犯第二類錯誤。B."i不真時接受H<稱為犯第一類錯誤。

C設(shè)P1拒絕?〃。具)=a,P{接受“01“0不具}=夕，則a變大時￡變小。

D.a.S的意義同(C),當(dāng)樣本容量一定時，a變大時則夕變小。

12.設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)LI,L2并聯(lián)而成，且L1.L2的壽命分別服從參數(shù)

為a,月(a工4)的指數(shù)分布。求系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)。

解：令X.Y分別為子系統(tǒng)L1.L2的壽命，則系統(tǒng)L的壽命Z=max(X,Y)。

顯然,當(dāng)zWO時，F(xiàn)Z(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)=O；

當(dāng)z>0時，F(xiàn)Z(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)

fae~a'dx\pe^dy

=P(XWz,YWz)=P(XWz)P(YWz)=J。Jo.=U-e八i—e

因此，系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)為

aeF+/3e-pz~(a+西屋*枚,>0

(z)=<z

fZ(z)=也0,z<0

13.已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為

2x

xe(0,a)

f(x)=</

0,其它

求(l)a；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-0.5<X<0,5)o

解

f+ocea丸=

n'

a=n

(2)當(dāng)大<耐,/a)=「/(Wr=0

J-30

當(dāng)04x<浦t,

當(dāng)刷\F(x)=「

J-00fUMtT

[0,x<0

故?(x)=,0?x<乃

1,x>n

1

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=4/

14.已知連續(xù)型隨即變量X的概率密度為

/(x)=(y/1—X2

0，其它

求(1)c；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-0.5<X<0.5).

⑴匚/。心=1=carcsinx|\=CTT=1

解：c=l/4

(2)當(dāng)x<—1時，F(xiàn)(x)=['f(t)dt=0

J—SO

,fXfX11v

當(dāng)—iWxcl時t，F(xiàn)(x)=f-[―-----dt=—arcsintL,

J"J-"41—/兀

1冗、

=—(zarcsinx+—)

712

當(dāng)x>1時，F(xiàn)(x)=「=1

J—00

0,x<-1

]71

故F(x)=^—(arcsinx+—),—1<x<1

42

1,x>1

⑶P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-O.5)=l/3

15.己知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

（2x,xe（0,A）

/（x）=10,其它

求（1）A；（2）分布函數(shù)F（x）；（3）P（-0.5<X<l）o)

(1)jf(x)dx=￡Ixdx=A?=]

解：A=1

(2)當(dāng)x<0時，/(x)=J：/。油=0

當(dāng)0Wx<1時，F(xiàn)(x)==J：2。力=x2

當(dāng)x21時，F(xiàn)(x)=j[f(t)dt=i

0,x<0

故F(x)=?x2,0<x<l

1,X>1

(3)P(-0.5<X<l)=F(1)—F(-0.5)=l

16.設(shè)Xi，'?是任意兩個互相獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為力（幻和

人（幻，分布函數(shù)分別為K（x）和K（x）,則（B）。

A.工（無）+/2（無）必為密度函數(shù)B,片（*>「2（外必為分布函數(shù)

C,瑪。）+居（幻必為分布函數(shù)D.<（x>/2（x）必為密度函數(shù)

17.設(shè)兩個隨機事件相互獨立，當(dāng)4，42同時發(fā)生時，必有A發(fā)生，則（A）。

AP（AA）＜P（A）B.P（44）NP（4）C.P（44）=P（A）

P（A）P（4）=P（A）

V=f46]

18.已知隨機向量（X,Y）的協(xié)差矩陣V為V69J

計算隨機向量（X+Y,X—Y）的協(xié)差矩陣（課本116頁26題）

解：DX=4,DY=9,C0V（X,Y）=6

D（X+Y）=DX+DY+2COV（X,Y）=25

D（X-Y）=DX+DY-2COV（X,Y）=1

COV（X+Y,X-Y）=DX-DY=-5

（25—5]

故（X+Y,X-Y）的協(xié)差矩陣（一51）

19.設(shè)①（1）為標準正態(tài)分布函數(shù)，

vC1,事件A發(fā)生.?,

10，否則且P（A）=p,X，X2，'X"相互獨

Y=±Xi

立。令7，則由中心極限定理知y的分布函數(shù)/（＞）近似于（B）.

①（廣吵）①（上也）

A.①（y）B.J〃P（1-P）c.①（y-帆）D,秋（1一P）

20.從某同類零件中抽取9件，測得其長度為（單位：mm）：

21.拋擲3枚均勻?qū)ΨQ的硬幣，恰好有兩枚正面向上的概率是

O

（A）0.125,（B）0.25,（C）0.375,（D）0.5

22.若隨機事件A，5的概率分別為P（A）=0.6,P（5）=0.5則A與8-定⑴

）。

A.相互對立B.相互獨立C.互不相容D.相容

2X

23.設(shè)隨機變量X在區(qū)間[1,2]上服從均勻分布，求Y=e-的概率密度f（y）。

1

[答案：當(dāng)e-Ky"，時，f(y)=2y,當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時，f(y)=0.]

24.設(shè)隨機事件A.B互不相容，P(A)=p,P(B)=鄉(xiāng)，則P(M)=(c)。

A.(I-PMB.pqc.qD.P

a

,z、\ax~'0<x<l,八、

a)=\(?>0)

25.設(shè)總體X的密度函數(shù)為10wen

XI,X2,…,Xn是取自總體X的一組樣本，求參數(shù)a的最大似然估計(同步52頁三.5)

26.：。2未知，求U的置信度為1-a置信區(qū)間

_<?_<?

(X一%(〃一l)-y=,X+ta(n-1)—

7n7n

3：求。2置信度為1-a的置信區(qū)間

(5-1*2(n-l)S2

\7f?/

X."7)X

27.在假設(shè)檢驗中，下列說法錯誤的是(C)。

A.修真時拒絕&稱為犯第二類錯誤。B."1不真時接受%稱為犯第一類錯誤。

C設(shè)P｛拒絕“01“0具｝=0,尸｛接受“01“0不具｝=夕，則a變大時日變小。

D.P的意義同(C),當(dāng)樣本容量一定時，&變大時則夕變小。

Z+1

P(X=&)=

攵=0,1,2,3,則E(X)=

28.設(shè)離散型隨機變量的概率分布為10

(B)。

A.1.8B.2C,2.2D.2.4

'9—6、

29.己知隨機向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為—”66)

求隨機向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=9-6=3

_Cou(X-y,X+Y)_3_]_

'XT，XS_j°(x_y)j￡>(x+y)-V27*V3

(n

(273、3

1]

所以，(X-Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為13和U

30.某廠加工一種零件，已知在正常的情況其長度服從正態(tài)分布N(〃，04),現(xiàn)從一批產(chǎn)

品中抽測20個樣本，測得樣本標準差S=1.2o問在顯著水平a=°」下，該批產(chǎn)品的標準

差是否有顯著差異？

2222

(已知：ZOO5(19)=3O.14,ZO.95(19)=10.12；Zo,o5(20)=31.41,Zo.95(20)=10.85)

(〃一y1y一—_______

解：待檢驗的假設(shè)是"o：b=°9選擇統(tǒng)計量,在“。成立時

W~Z2(19)

P{/OO5(19)>W>/095(19)}=O.9O

取拒絕域W={W>30.114,W<10.117}

w="f=L2=33.778

由樣本數(shù)據(jù)知40.9233.778>30.114

拒絕”。，即認為這批產(chǎn)品的標準差有顯著差異。

'76、

31.已知隨機向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為I6。9)

求隨機向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=7+9-2*6=4

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=7-9=-2

_CMX+y,x—y)__2_

Px+Y-x-Y~jz)(x+y)j￡>(x-y)―而*"一腐

(28-2、

.24

所以，(X+Y,X—Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為'”''和

G/

V28

1

IV28

32.設(shè)隨機事件A與8互不相容，且P(A)>P(B)>0,則(口)。

AP(A)=1—P(8)B.=P(A)P(B)cP(AuB)=lD

P(AB)=1

33.設(shè)隨機變量X的概率密度為

e~x,x>0

f(x)=<

0,其它

設(shè)F(x)是X的分布函數(shù)，求隨機變量Y=F(X)的密度函數(shù)。

解：當(dāng)y<0時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=O；

當(dāng)y>l時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=l；

當(dāng)OWyWl時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P((F(X)Wy)=0(''""y))

=F(F-i(y))=y

d尸,、1,0<J<1,

7K(y)="

因此，fY(y)=">0,其它

34.設(shè)隨機向量(X,Y)聯(lián)合密度為

6x,0<x<y<l;

V

f(x,y)=1°'其它.

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判斷X,Y是否獨立，并說明理由。

解：(1)當(dāng)x<0或x>l時，fX(x)=O；

當(dāng)時，鳳儀)=匚小‘加"￡6My=6x(lr).

6x-6x2,0<x<1,

0其次

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)=1'

當(dāng)y<0或y>l時，fY(y)=O；

[f{x,y)dx-\6xdx-3x2|；)=3y2.

當(dāng)OWyWl時，fY(y)=Je八〃Jo，0-

3y2,OKyVl,

0其它

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)=1U'只匕，

(2)因為f(l/2,l/2)=3/2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(3/4)=9/8#f(l/2,1/2),

所以，X與Y不獨立。

35.設(shè)隨機變量X的概率分布為P(X=l)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,寫出其分布函數(shù)

F(x)。

［答案：當(dāng)x<1時，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)lWx<2時，F(xiàn)(x)=0.2;

當(dāng)2Wx<3時，F(xiàn)(x)=0.5;當(dāng)3Wx時，F(xiàn)(x)=l

2%0<x<l

j(x)=<

36.已知隨機變量X的密度函數(shù)為1°。“際

求：(1)X的分布函數(shù)F(x)；(2)P{0.3<X<2}(同步45頁三.3)

37.設(shè)(X|，X2,…，X“)為總體N(l,2,的一個樣本，文為樣本均值，則下列結(jié)論中正

確的是(D)°

X-1；方氏-尸(〃,

~f(〃)1)2~1)

49

A.2/7?B.0,最~D.

-1)2~72(〃)

4/=1

38.正常人的脈搏平均為72次/分，今對某種疾病患者9人，測得其脈搏為(次/分)：

39.某切割機在正常工作時，切割得每段金屬棒長服從正態(tài)分布，且其平均長度為

10.5cm,標準差為0.15cm。今從一批產(chǎn)品中隨機抽取16段進行測量，計算平均長度為

亍=10.48cm。假設(shè)方差不變，問在a=。05顯著性水平下，該切割機工作是否正常？

(已知：?005(16)=2.12,r005(l5)=2.131,%=1.960)

解：待檢驗的假設(shè)為"。：〃=10,5選擇統(tǒng)計量當(dāng)"。成立時，U?

N(0，l)P{\U\>w0025}=0.05取拒絕域w={?U1>I960?

x-u10.48-10.5o

=—=0.533

0.1V15

74

由已知⑼（I'。接受“。，即認為切割機工作正

常。

1,事件A發(fā)生

X,={才i=l,2,…，100,

40.設(shè)①（“）為標準正態(tài)分布函數(shù)，1°'小貝”且

100

丫=￡x,

P（A）=0.3,X|,、2,…，X|0G相互獨立°令,.=1則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)F（））近似于（B）。

①（笆）①（匕型）

A.①（y）B,⑨C.21D①（丁一30）

41.連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f（x）必滿足條件（C）。

A.0</（x）<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.ff（x）dx=1D.limf（x）=1

J-OOX—+<J0

42.己知某批銅絲的抗拉強度X服從正態(tài)分布"（Mb）。從中隨機抽取9根，經(jīng)計算得

2

其標準差為8.069。求。的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知：/°25（9）=19.023,/975（9）=2.7,溫出⑻=".535,^（8）=2.180）

解：由于抗拉強度服從正態(tài)分布所以，

*可―)

P{a。25,⑻〈卬＜洸/⑻}=0-95

(J

(〃-IS

2力0.025(〃—1)/0.975("-1)

b-的置信區(qū)間為:

’8x8.06928x8.0692、

/的置信度為0.95的置信區(qū)間為I05352,180)即(29.705,238.931)

43.某人外出可以乘坐飛機.火車.輪船.汽車四種交通工具，其概率分別為

5%.15%.30%.50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為

100%.70%.60%.90%。求該人如期到達的概率。

解：設(shè)A,4,4,分別表示乘坐飛機.火車.輪船.汽車四種交通工具，B表示如期到

達。

4

P(B)=ZP(A1)P@a)

則/=i=0.05x1+0.15x0.7+0.3x0.6+0.5x0.9=0.785

答：如期到達的概率為0.785。

四(1)設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為

Ax,0<x<l

其它

求(1)A；(2)X的分布函數(shù)F(x)：(3)P(0.5<X<2)?

(1)J,/(X心=J。-公=^*21=9=1

解：4=2

(2)當(dāng)x<00寸，F(xiàn)(x)=['f(t)dt=0

J-00

當(dāng)0<x<1時，F(xiàn)(x)==J(：2tdt=x2

當(dāng)x>1時，F(xiàn)(x)=j：=￡2tdt=1

0,x<()

故F(x)=<x2,0<x<l

1,x>l

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

x,=’，’件:發(fā)生

44.設(shè)①（X）為標準正態(tài)分布函數(shù)，10，心貝U且

100

丫=，x,.

P（A）=0.6,X|,X2,…，X儂相互獨立°令,.=1則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)F（＞）近似于（B）。

①（"2）①（U）

7

A①（y）B,V24c.①（y—60）D.24

45.己知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

kx+1,0<x<2

f(x)=<

0,其它

求⑴k；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(1.5<X<2,5)

(1)J；"(xXr=J；(依+1心=c|x2+x)|；=

2k+2=i

解：k=-1/2

(2)當(dāng)x<06寸，F(xiàn)(x)=1y(r)J/=O

當(dāng)0Vx<2時，R(x)=「f(t)dt=f'(-().5/+l)rfr=--+x

J-xJo4

當(dāng)xN澗，F(xiàn)(x)=j'f(t)dt=1

0,x<0

2

x

故F(x)-<-----+x,0<x<2

4

1,x>2

⑶P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=l/16

46.設(shè)某校女生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機抽取9名女生，測得數(shù)據(jù)經(jīng)計

算如下：元=162.67cvn,s=4.20cm。求該校女生身高方差人的置信度為0.95的置信區(qū)

間。

222

(已知:Zo,o25(8)=17.535,ZO975(8)=2.18；篇二⑼=19.02,Zo.975(9)=2.7)

解：因為學(xué)生身高服從正態(tài)分布，所以

22

人)P{ZO.O25(8)<W<ZO,975(8))=().95

(zz-l)S2(/2-l)S2

的置信區(qū)間為：I務(wù)>3("—1)%0975(〃T)J/的置信度0.95的置信區(qū)間為

’8x4.228x4.22、

、17.535，2.180)即(8.048,64.734)

47.某車間生產(chǎn)滾珠，其直徑X?N(〃，0.05),從某天的產(chǎn)品里隨機抽出9個量得直徑如

下(單位：毫米)：

48.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是

1--(x-7/)2

f(x；ju)=—f=e2,-oo<x<+00

萬

西，々，’X”是一組樣本值，求參數(shù)〃的最大似然估計?

解：似然函數(shù)

d\nL",、八

——=S(x,-A)=0

dRi=l

49.已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

x>2

F(x)=x1，

[0,x<2

求(1)A；(2)密度函數(shù)f（x）；(3)P(0WXW4)。

(2)

_8_

x>2

(1)limF(.r)=l-A/4=0/(X)=FU)=F

M2

?解:A=40,x<2

⑶P(0<X<4)=3/4

50.某人外出可以乘坐飛機.火車.輪船.汽車四種交通工具，其概率分別為

5%.15%.30%.50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為

100%.70%.60%.90%。已知該人誤期到達，求他是乘坐火車的概率。

（10分）

解：設(shè)4,4,4,4分別表示乘坐飛機火車輪船.汽車四種交通工具，B表示誤期到

達。

P（41B）=

（）￡p（4）p網(wǎng)4）

則7=

0.05x0+0.15x0.3+0.3x0.4+0.5x0.1

答：此人乘坐火車的概率為0.209。

51.已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

ay[x,0<x<1

/（無）=<

0,其它

求(1)a；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)P(X>0.25)?

(1)Jf(x)dx-￡ay/xdx=ga=1

解：a=3/2

(2)當(dāng)*<耐，F(xiàn)(x)=j'/(，)力=0

當(dāng)04x<1時，尸(x)=J：f(t)dt=，4y/tdt=尤3〃

當(dāng)x21時，F(xiàn)(x)=['f(t)dt=\

J-00

0,x<0

故Rx)=,()<X<1

1,x>\

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

52.設(shè)X的分布函數(shù)F(x)為：

'0x<-l

0.4

F(x)=-

0.81<x<3

1x>3

則X的概率分布為()。

分析其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故X是離散型的隨機變量

[答案：P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]

53.設(shè)隨機向量(X,Y)聯(lián)合密度為

Ae-Ci,x>0,y>0;

f(x.y)=b

苴它I—

(1)求系數(shù)A；

(2)判斷X,Y是否獨立，并說明理由;

(3)求P{OWX<1,0WYW1}。

(1)由「匚口山)癡尸『『"叫;>以『""

解:

+00

A

)

12

0可得A=12o

(2)因(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為

x>0;44，y>0;

fY(y)=I。，其它

其它.知

則對于任意的(蒼〉)€均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X與Y獨立。

￡￡I2e-(3x+4y)dxdy=^^'dx-^Ae^dy

(3)P{0WXW1,OWYW1}=

（—e⑶，）（_6-4］）=（1_/）（1一廠）.

'4—5、

54.已知隨機向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為1—59)

求隨機向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-5)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=4-9=-5

_c?u(x—y,x+y)__5_-5

PX-^X+Y―\D(X—YND(X+Y)—后*"畫

"23-5、

-513

所以，(X-Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為I2/和

(.-5)

1礪

仁1

I屈

55.設(shè)隨機向量(X,Y)聯(lián)合密度為

8孫0<x<y<1;

f(x,y)=1°，其它.

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度僅(x),fY(y)；

(2)判斷X,Y是否獨立，并說明理由。

解：(1)當(dāng)x<0或x>l時，fX(x)=O；

ff(x,y)dy-['8xydy-4x-y2|'=4x(1-x?).

當(dāng)OWxWl時，IX(X)=JFJ'x

4x-4x3,0<x<l,

0其它

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)=I’

當(dāng)y<0或y>l時，fY(y)=O；

[f(x,y)dx-fSxydx=4y-x2|x=4v3.

當(dāng)OWyWl時，fY(y)=Jr八°

：4y3,04y41,

o其它

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)=15火匕,

(2)因為f(l/2,1/2)=2,而fX(”2)fY(l⑵=(3⑵*(l/2)=3/4Wf(l/2,1/2),

所以，X與Y不獨立。

56.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f（x）,則Y=5—2X的密度函數(shù)為（B）

57.設(shè)A,B是兩個隨機事件，則下列等式中（C）是不正確的。

A.P（AB）=P（A）P（B）,其中人，B相互獨立B,尸（.）=尸（所（?。?，其中

*0

C.P（A5）=P（A）P（3）,其中4,B互不相容D,尸（人為=P（A）P（邳4）,其中

P（A）wO

58.將兩封信隨機地投入四個郵筒中，則未向前面兩個郵筒投信的概率為（A）。

22C2212!

2

A.4B.冊C,04-D.4!

3.已知隨機變量x的概率密度為/x（x）,令y=-2x,則丫的概率密度4（y）為

（D）o

A.2/《2y）B.3）

4.設(shè)隨機變量X~/（幻，滿足/（x）=/（-x）,口＞）是》的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)”

有（B）。

i\a?

F（—a）—2F（a）—1

5.設(shè)①（%）為標準正態(tài)分布函數(shù)，

丫J1,事件A發(fā)生；.?

X.=＜=,2=1,2,…，100,

0,a則；且P（A）=0.8,X],X?,…，X]0G相

100

r=

互獨立。令，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸（＞）近似于（B）。

A①（y）B.4'c.①（16y+80）D①（4）'+80）

1.設(shè)A,8為隨機事件，"8）＞0,P（A|B）=1,則必有（A）。

AP（AuB）=P（A）B.An3c.尸⑷=「⑻D,尸（AB）=P（A）

2.某人連續(xù)向一目標射擊，每次命中目標的概率為3/4,他連續(xù)射擊直到命中為止，則射

擊次數(shù)為3的概率是（C）。

（3）3（2）2xl（1）2X^c：d）2

A.4B.44c.44D.4

59.設(shè)①（X）為標準正態(tài)分布函數(shù)，

1,事件A發(fā)生

Xt=]z=l,2,…，100,

、0，小人U且P（A）=0.2,X],Xi?；相互

100

y這x,

獨立。令-1,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸（舊近似于（B）。

①（）'-2。）

A.①（y）B,4c.①（16y—20）D.①（4y—20）

60.若隨機向量（x,y）服從二維正態(tài)分布，則①X,F一定相互獨立：②若

夕xy=O,則X，Y一定相互獨立；③X和y都服從一維正態(tài)分布；④若X，F(xiàn)相互獨

立，貝ij

Cov（X,Y）=0o幾種說法中正確的是（B）。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

61.6577706469726271

設(shè)患者的脈搏次數(shù)X服從正態(tài)分布，經(jīng)計算得其標準差為4.583。試在顯著水平C=0.05

下，檢測患者的脈搏與正常人的脈搏有無顯著差異？

（已知：to.（8）=2.306,%,05（9）=2.262,Uom5=1.960）

解：待檢驗的假設(shè)為"。：〃=72

T_亞-N

選擇統(tǒng)計量;萬

當(dāng)"。成立時，T~'⑻

P[\T\>t^]=^

_19

ECQCAx--'Lx=68.667

取拒絕域w={17l>}經(jīng)計算9-='i

68.667-72

=2.182

4.58%

|T|<2.306

接受“。，檢測者的脈搏與正常的脈搏無顯著差異。

62.設(shè)X”、2是任意兩個互相獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為力（幻和

△（X）,分布函數(shù)分別為耳（幻和尸2（》）,則（B）o

A,/（*）+力（*）必為密度函數(shù)B,6（X>P2（X）必為分布函數(shù)

C,6（*）+戶2<>）必為分布函數(shù)D,力（*>/2（x）必為密度函數(shù)

63.若A.B相互獨立，則下列式子成立的為(A)。

AP(M)=P(N)P(3)B.P(A8)=0c.P(A\B)=P(B\A)d

P(A|B)=P(B)

64.設(shè)二維隨機向量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為

e~y,0<x<y;

」0,其它.

f（x,y）=i

（1）