人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第32講拓展一：中點(diǎn)弦問題(學(xué)生版+解析)

第07講拓展一：中點(diǎn)弦問題一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)01：相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點(diǎn)，，知識(shí)點(diǎn)02：點(diǎn)差法：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、題型精講題型01求直線方程【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谥校┻^點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)M平分弦，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求過點(diǎn)，與雙曲線離心率相等的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知雙曲線，求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程.【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓的長軸比短軸長2，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求的方程．【變式3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．題型02處理存在性問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為為上的動(dòng)點(diǎn)，垂直于動(dòng)直線，垂足為，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.(1)求的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【典例2】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點(diǎn)，設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)、，為弦的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【典例2】（2022·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線和橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長為．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段長度的取值范圍．【變式1】（2023·天津·?？寄M預(yù)測）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點(diǎn)的橢圓，點(diǎn)為曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)在曲線上，求直線的斜率的取值范圍．【變式2】（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線傾斜角的取值范圍.題型05定值問題【典例1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)與坐標(biāo)軸不垂直的直線交于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且為垂足.問：是否存在定點(diǎn)，使得的長為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線（，）的漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)，是雙曲線右支上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交AB于，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)是，若過焦點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，所得弦長的最小值為2．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)，是拋物線上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，作，為垂足，試探究是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．

第07講拓展一：中點(diǎn)弦問題一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)01：相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點(diǎn)，，知識(shí)點(diǎn)02：點(diǎn)差法：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、題型精講題型01求直線方程【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谥校┻^點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)M平分弦，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，直線斜率為，則有，①-②得，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，則，所以，即，所以直線的方程為，整理得故選：B【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二?？计谀?）求過點(diǎn)，與雙曲線離心率相等的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知雙曲線，求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）雙曲線過點(diǎn)，所求雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，又所求雙曲線離心率與雙曲線離心率相同，可設(shè)其方程為：，將代入雙曲線方程得：，則所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）方法一：由題意知：所求直線的斜率存在，可設(shè)其方程為：，即，由得：，設(shè)，，，又為中點(diǎn)，，解得：，當(dāng)時(shí)，滿足，符合題意；所求直線的方程為：，即；方法二：設(shè)，，均在雙曲線上，，兩式作差得：，直線的斜率，又為中點(diǎn)，，，，經(jīng)檢驗(yàn)：該直線存在，所求直線的方程為：，即.【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點(diǎn)，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓的長軸比短軸長2，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得．．又橢圓的長軸比短軸長2，所以，聯(lián)立方程組，解得所以橢圓的方程為．（2）顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩個(gè)方程相減得，即，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，所以．所以的方程為，即．【變式3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故拋物線的方程為．（2）

易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.題型02處理存在性問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為為上的動(dòng)點(diǎn)，垂直于動(dòng)直線，垂足為，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.(1)求的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵為等邊三角形時(shí)，其面積為，∴，解得，根據(jù)和拋物線的定義可知，落在準(zhǔn)線上，即，設(shè)準(zhǔn)線和軸交點(diǎn)為，易證，于是，∴的方程為；（2）假設(shè)存在，使得，則線為段的中點(diǎn)，設(shè)，依題意得，則，由可得，所以切線的斜率為，設(shè)，，線段的中點(diǎn)，由，可得，所以，整理可得：，即，所以，可得，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，此時(shí)三點(diǎn)共線，滿足為的中點(diǎn)，綜上，存在，使得點(diǎn)為的中點(diǎn)恒成立，.【典例2】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為，所以，可得，又因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：假設(shè)存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，且，則，兩式相減得，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以，解得，直線的方程為，即，把直線代入，整理得，可得，該方程沒有實(shí)根，所以假設(shè)不成立，即不存在過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)為.【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；.【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）假設(shè)存在，由題意知：直線的斜率存在，設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以直線的方程為.題型03求弦中點(diǎn)的軌跡方程【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為，過點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，．(1)求曲線的方程；(2)動(dòng)弦滿足：，求點(diǎn)的軌跡方程；【答案】(1)(2)；【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為，所以曲線是以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，所以，，所以曲線的方程為；（2）因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時(shí)，將，代入橢圓方程中得：兩式相減得，即，所以，即，，整理得；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗(yàn)?時(shí)，有或，也滿足；所以點(diǎn)的軌跡方程是；綜上，曲線的方程為，點(diǎn)的軌跡方程是.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)作一條直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求弦的中點(diǎn)軌跡方程.【答案】.【詳解】方法1：設(shè)，，弦的中點(diǎn)為，則，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，.因?yàn)閮墒较鄿p，得.所以，即，即.當(dāng)直線斜率不存在，即軸時(shí)，的中點(diǎn)為，適合上式，故所求軌跡方程為.方法2：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（），由得.所以所以.設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，.所以.所以消去參數(shù)，得.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即軸時(shí)，的中點(diǎn)為，適合上式，故所求軌跡方程為.【變式1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的弦所在直線過點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【詳解】設(shè)，弦的中點(diǎn)，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，整理得；當(dāng)時(shí)，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點(diǎn)的軌跡方程.【變式2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【詳解】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時(shí)，即直線與橢圓相切，此時(shí)由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．題型04確定參數(shù)的取值范圍【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點(diǎn)，設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)、，為弦的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】【詳解】由題設(shè)，聯(lián)立，得，由題設(shè)知，即①，設(shè)，則，因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，∴，從而，又由題意知,，∴，∵，則，即②，把②代入①得，解得，又，故的取值范圍是.【典例2】（2022·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線和橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長為．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段長度的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由橢圓的定義知，的周長為，所以，由離心率，解得，所以的方程為．（2）設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，則有①，②，，由①?②可得：，即，將條件及，帶入上式可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以，，所以，所以線段長度的取值范圍為．【變式1】（2023·天津·?？寄M預(yù)測）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點(diǎn)的橢圓，點(diǎn)為曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)在曲線上，求直線的斜率的取值范圍．【答案】(1)(2)且【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，依題意，，，利用拋物線的定義可得，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，由橢圓定義，得．，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，，，，，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)直線的方程為，(當(dāng)時(shí),弦中點(diǎn)為原點(diǎn),但原點(diǎn)并不在上,同樣弦中點(diǎn)為原點(diǎn)，不適合題意)與聯(lián)立，得，由得①，由韋達(dá)定理得，，，則，，將中點(diǎn)，代入曲線的方程為，整理，得，②將②代入①得，令，則，解得，．所以直線的斜率的取值范圍為且．【變式2】（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線傾斜角的取值范圍.【答案】（1）；（2）直線傾斜角的取值范圍為，，.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，由題意得，，所以，，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，由得，則，即①，設(shè)，，，，則，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，