人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第34講拓展三：圓錐曲線的方程(弦長(zhǎng)問(wèn)題)(學(xué)生版+解析)

第09講圓錐曲線的方程（弦長(zhǎng)問(wèn)題）一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)一：弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）二、題型精講題型01求橢圓的弦長(zhǎng)【典例1】（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓：的離心率為，且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與橢圓交于不同的A，B兩點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長(zhǎng)的值．

【典例2】（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中已知，P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線PA和直線PB的斜率之積為．記點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)．且線段MN的中點(diǎn)為，求．

【變式1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)的直線和曲線交于不同兩點(diǎn)、滿足，求線段的長(zhǎng)．【變式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（0，-2）和F2（0，2），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及|AB|.題型02求橢圓的弦長(zhǎng)的最值（范圍）【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的最大值是.【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最大距離為．(1)求C的方程；(2)若圓的切線l與C交于點(diǎn)A，B，求的最大值．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.【典例4】（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高二湖南省汨羅市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，且橢圓的右頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值．【變式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：（）的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．點(diǎn)為圓：上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記線段與橢圓交點(diǎn)為，求的取值范圍．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)，動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求弦長(zhǎng)的取值范圍．題型03根據(jù)橢圓的弦長(zhǎng)求參數(shù)【典例1】（2023春·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是非零常數(shù)，分別為直線的斜率.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若線段的長(zhǎng)度，的面積，求直線的方程.【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，的面積為，離心率．(1)求橢圓的方程；(2)若斜率為的直線與圓相切，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)的取值范圍為，求斜率的取值范圍．【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，的面積為，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為k的直線與圓相切，且l與橢圓C相交于兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)的取值范圍為，求的取值范圍．【變式1】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）橢圓C：．(1)求橢圓C的離心率；(2)若、分別是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如果l：被橢圓C截得的弦長(zhǎng)，求該直線的方程．【變式2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知橢圓：與橢圓：，且橢圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若存在直線，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式3】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓E的方程為，短軸長(zhǎng)為2，若斜率為的直線與橢圓E交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：與圓相切，且與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.題型04求雙曲線的弦長(zhǎng)【典例1】（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長(zhǎng)度.【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長(zhǎng)．【變式1】（2023秋·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）設(shè)第一象限的點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，已知C的一條漸近線的方程是．(1)求b的值，并證明：；(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求．【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）雙曲線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，離心率為，求：(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；(2)已知直線與該雙曲線交于交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)，求直線AB的弦長(zhǎng)．題型05根據(jù)雙曲線的弦長(zhǎng)求參數(shù)【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，依次為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，令．(1)設(shè)此雙曲線經(jīng)過(guò)第一、三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率；(2)若，以此雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以此雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)得到橢圓C，法向量為的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N，且，求直線的一般式方程．【典例2】（2023秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的漸近線方程是，右頂點(diǎn)是.(1)求雙曲線的離心率；(2)過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線的另一交點(diǎn)是，若，求雙曲線的方程.【變式1】（2023秋·浙江寧波·高二期末）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為，(1)求雙曲線C的離心率e(2)若直線與C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且，求雙曲線C的方程．【變式2】（2023秋·安徽合肥·高三?？计谀╇p曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，與雙曲線交于不同的，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【變式3】（2023春·上海浦東新·高二上海市洋涇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為，求m的值.題型06求拋物線焦點(diǎn)弦【典例1】（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，已知線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，求弦的長(zhǎng)度．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為.(1)求；(2)若直線與交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．題型07求拋物線中非焦點(diǎn)弦【典例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓與拋物線的圖象在第一象限交于點(diǎn)P．若橢圓的右頂點(diǎn)為B，且．(1)求橢圓的離心率．(2)若橢圓的焦距長(zhǎng)為2，直線l過(guò)點(diǎn)B．設(shè)l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且的面積為24，求線段的長(zhǎng)度．【典例2】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求的方程；(2)若為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線為切點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線交于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí).求.【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，求．【變式2】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：上第一象限的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．(1)求拋物線C的方程和P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若∠APB的角平分線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．題型08根據(jù)拋物線弦長(zhǎng)求參數(shù)【典例1】（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【典例2】（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┮阎狾為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡曲線W的方程并說(shuō)明W是何種曲線；(2)若拋物線（）的焦點(diǎn)F恰為曲線W的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線Z交于M，N兩點(diǎn)，，求直線l的方程.【變式1】（2022春·陜西西安·高二西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.【變式2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，．(1)求證：，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(2)已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程．

第09講圓錐曲線的方程（弦長(zhǎng)問(wèn)題）一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)一：弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）二、題型精講題型01求橢圓的弦長(zhǎng)【典例1】（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓：的離心率為，且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與橢圓交于不同的A，B兩點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長(zhǎng)的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得焦點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓離心率為，所以，解得，則，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，由得，，易得，則，，，因?yàn)?，所以，解得，所以?/p>

【典例2】（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中已知，P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線PA和直線PB的斜率之積為．記點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)．且線段MN的中點(diǎn)為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，由題可得，則．整理得，故曲線C的方程為．（2）（法一）設(shè)，則兩式相減得，則，因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)，所以，所以，故直線l的方程為，即，聯(lián)立方程組，消去y整理得，，則，則.

（法二）易知直線斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，消去y整理得，，則,

又，可求得，即有，則.【變式1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)的直線和曲線交于不同兩點(diǎn)、滿足，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)槊鎯?nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則，整理可得，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.（2）解：若直線與軸重合，則、為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，若點(diǎn)、，則，，此時(shí)，不合乎題意，若點(diǎn)、，同理可得，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，因?yàn)?，即，所以，，即，由韋達(dá)定理可得，所以，，，解得，因此，.【變式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（0，-2）和F2（0，2），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及|AB|.【答案】(1)(2)中點(diǎn)坐標(biāo)，弦長(zhǎng)【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為和，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，.所以.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，，AB線段的中點(diǎn)為，由得，所以，

所以，，所以弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.題型02求橢圓的弦長(zhǎng)的最值（范圍）【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的最大值是.【答案】【詳解】①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：聯(lián)立，得，即，所以，所以，令，則原式，令，則原式，當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)，.②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，所以的最大值是.故填：.【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最大距離為．(1)求C的方程；(2)若圓的切線l與C交于點(diǎn)A，B，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)镃的離心率為，所以．因?yàn)镃上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最大距離為，所以，解得，．因?yàn)椋?，故C的方程為．（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，可得．當(dāng)時(shí)，可得，，則．當(dāng)時(shí)，同理可得．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)．因?yàn)閘與圓相切，所以圓心到l的距離為，即．聯(lián)立得．設(shè)，，則，．．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)?，所以的最大值為．【典?】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.【答案】(1)(2)3【詳解】（1）由題知，橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，，因?yàn)橹本€與橢圓交于，兩點(diǎn)，由題可知，直線斜率為0時(shí)，，所以直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立方程，得，所以，，所以，解得，此時(shí)恒成立，所以直線的方程為直線，直線過(guò)定點(diǎn)，此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.【典例4】（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高二湖南省汨羅市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，且橢圓的右頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，圓的方程為，的取值范圍是【詳解】（1）由題意得：，故，雙曲線漸的近線方程為，故橢圓右頂點(diǎn)到雙曲線漸近線距離為，因?yàn)?，解得：，故，所以橢圓方程為；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立與，得：，由得：，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，其中，整理得：，將代入中，解得：，又，解得：，綜上：或，原點(diǎn)到直線的距離為，則存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且，該圓的半徑即為，故圓的方程為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，或，，此時(shí)，滿足要求，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)圓上的切線在軸上的截距滿足或，綜上：存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且；，將代入上式，令，則，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，又，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，綜上：的取值范圍為.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，由題意可得，解得，．所以，橢圓的方程為．（2）解：若直線與軸平行或重合，此時(shí)直線與圓相交，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由題意可得，即.聯(lián)立消去得，即，．設(shè)、，則，．所以，．令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，．故的最大值為．【變式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：（）的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．點(diǎn)為圓：上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記線段與橢圓交點(diǎn)為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：，，，則，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）由題意可知：，設(shè)，則，∴，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的取值范圍；【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)，動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求弦長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)半焦距為，由使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)可得，動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為，可得，即，所以橢圓的方程是.（2）圓的方程為，設(shè)直線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，連接OA，因?yàn)橹本€為切線，故，否則直線垂直于軸，則與直線平行，若，則，故，故直線的方程為：，整理得到：；當(dāng)時(shí)，若，直線的方程為：；若，則直線的方程為：，滿足.故直線的方程為，同理直線的方程為，又在直線和上，即，故直線的方程為.聯(lián)立，消去得，設(shè)，．則，從而，又，從而，所以.題型03根據(jù)橢圓的弦長(zhǎng)求參數(shù)【典例1】（2023春·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是非零常數(shù)，分別為直線的斜率.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若線段的長(zhǎng)度，的面積，求直線的方程.【答案】(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；討論過(guò)程見(jiàn)解析(2)或或或【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，?dòng)點(diǎn)滿足：，分別為直線的斜率，所以，即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.討論的形狀與值的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，的形狀為雙曲線；當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于x軸的橢圓；當(dāng)時(shí)，的形狀為圓；當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓；（2）當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓，方程為.由題意知，直線斜率存在，聯(lián)立，則，，則，所以，所以，設(shè)到直線距離為，直線則，所以，平方得，代入上式得，則，平方得，即，所以，得，則，則，所以，此時(shí)成立，所以直線的方程為，即或或或.

【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，的面積為，離心率．(1)求橢圓的方程；(2)若斜率為的直線與圓相切，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)的取值范圍為，求斜率的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由題意可知，可得，，所以，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，且該圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，

則，得，聯(lián)立得，則，設(shè)、，則，所以，，，因?yàn)榈娜≈捣秶牵?，整理可得，又因?yàn)?，所以，，解得，因此，的取值范圍?【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，的面積為，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為k的直線與圓相切，且l與橢圓C相交于兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)的取值范圍為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：，可得，，所以橢圓C的方程為：；（2）設(shè)直線的方程為，，，由，得，聯(lián)立，得，恒成立，則，所以，，

因?yàn)榈娜≈捣秶鸀?，則，解得，所以，，因?yàn)?，則，所以，所以的取值范圍為．【變式1】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）橢圓C：．(1)求橢圓C的離心率；(2)若、分別是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如果l：被橢圓C截得的弦長(zhǎng)，求該直線的方程．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）橢圓C：，，（2）由（1）可知：，設(shè)，，，可得，且，聯(lián)立解得：，所以或或或（3）設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)分別為,聯(lián)立，整理得：，；所以弦長(zhǎng)，解得:，所以直線的方程：【變式2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知橢圓：與橢圓：，且橢圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若存在直線，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）易知直線的斜率存在，設(shè)：，，，，，聯(lián)立直線l與橢圓，，消去y，整理得，則，即，，，聯(lián)立直線l與橢圓，，消去y，整理得，則，即，，，所以，，因?yàn)?，所以，即，平方整理得，因?yàn)?，所以，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，即的取值范圍為.【變式3】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓E的方程為，短軸長(zhǎng)為2，若斜率為的直線與橢圓E交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：與圓相切，且與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由題意得：，所以，設(shè)，因過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線與相交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則，所以.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則.兩式相減得：，所以，所以，又，得，所以，故橢圓方程為；（2）直線l：與圓相切，故，即，聯(lián)立與得：，設(shè)，則，，則，將代入上式得：，解得：，因?yàn)椋?，故，則，所以直線l的方程為或.題型04求雙曲線的弦長(zhǎng)【典例1】（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長(zhǎng)度.【答案】(1)=1(2)3【詳解】（1）因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，因?yàn)殡p曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，所以有，又因?yàn)殡x心率為2，所以有代入中，可得，∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于y軸對(duì)稱，所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.又因?yàn)橹本€斜率的絕對(duì)值小于漸近線斜率的絕對(duì)值，所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線l的斜率為，方程為與雙曲線方程聯(lián)立為：，設(shè)，則有，【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長(zhǎng)．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為：，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，雙曲線的方程為：（2）設(shè)，，聯(lián)立，化為．∵直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，∴，化為．∴，（*）∵，∴．∴，又，，∴，把（*）代入上式得，化為．滿足．∴．由弦長(zhǎng)公式可得【變式1】（2023秋·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）設(shè)第一象限的點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，已知C的一條漸近線的方程是．(1)求b的值，并證明：；(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）的漸近線方程為，故，雙曲線方程為，在雙曲線上，所以，要證，只需證，由于，若，顯然成立，若時(shí)，只需要證明，即證，因此只需要證明，由，得，而，故成立，因此（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，設(shè),則，所以由弦長(zhǎng)公式得：，【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）雙曲線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，離心率為，求：(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；(2)已知直線與該雙曲線交于交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)，求直線AB的弦長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意可得，可得＝4，且焦點(diǎn)在軸上，所以，所以雙曲線的方程為：；漸近線的方程為：；（2）由于中點(diǎn)不在軸上，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得直線的斜率必存在，設(shè)直線：，，聯(lián)立，消去得則，，解得，則題型05根據(jù)雙曲線的弦長(zhǎng)求參數(shù)【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，依次為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，令．(1)設(shè)此雙曲線經(jīng)過(guò)第一、三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率；(2)若，以此雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以此雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)得到橢圓C，法向量為的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N，且，求直線的一般式方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）漸近線，，，則，直線與直線垂直，則，即，即，解得，（舍去負(fù)值）.（2）直線的法向量為，設(shè)直線方程為，設(shè)橢圓方程為，則，，，，故橢圓方程為，聯(lián)立方程，即，，即，設(shè)，，，，解得.故直線方程為或.【典例2】（2023秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知雙曲線的漸近線方程是，右頂點(diǎn)是.(1)求雙曲線的離心率；(2)過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線的另一交點(diǎn)是，若，求雙曲線的方程.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線，故漸近線方程是：，又漸近線方程是，故，即，故，故，；（2）解：因?yàn)橹本€的傾斜角為，故直線斜率是1，又直線經(jīng)過(guò)，則直線方程為，設(shè)，由，消去得，故，解得，又，則，解得，故，，故雙曲線的方程是.【變式1】（2023秋·浙江寧波·高二期末）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為，(1)求雙曲線C的離心率e(2)若直線與C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且，求雙曲線C的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）可設(shè)雙曲線C的方程為，則其漸近線方程為，所以，所以離心率；（2）設(shè)，則由得，所以，因?yàn)?，所以，得，故雙曲線C的方程為．【變式2】（2023秋·安徽合肥·高三?？计谀╇p曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，與雙曲線交于不同的，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程是，又已知，又，，所以雙曲線的方程是；（2）由題意得直線的方程為，由得，由題知得且．設(shè)，則，，解得或，，所以直線的方程為．【變式3】（2023春·上海浦東新·高二上海市洋涇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為，求m的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）雙曲線離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，，，解得，，，所求雙曲線C的方程為；（2）設(shè),,聯(lián)立，，，，．，，解得．題型06求拋物線焦點(diǎn)弦【典例1】（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，已知線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，求弦的長(zhǎng)度．【答案】(1)；(2)10.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，則有，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，而線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則有，因?yàn)辄c(diǎn)是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，因此，所以弦的長(zhǎng)度為10.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為.(1)求；(2)斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）為拋物線的焦點(diǎn)，，解得：.（2）由（1）知：拋物線；直線，由得：，設(shè)，，則，，.【典例3】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程;(2)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.【答案】(1)，.(2)【詳解】（1）拋物線過(guò)點(diǎn)，則，故拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.（2）拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，，設(shè)，則，由拋物線定義可得，故.【變式1】（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，．求：（1）的值；（2）弦長(zhǎng)【答案】（1）2；（2）8.【詳解】解：（1）由準(zhǔn)線的方程為，可知：，即（2）易得直線，與聯(lián)立，消去得，，，，所以：弦長(zhǎng)．【變式2】（2023秋·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是是拋物線焦點(diǎn)．(1)求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)及其拋物線方程：(2)已知直線過(guò)點(diǎn)，斜率為2，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，求．【答案】(1)焦點(diǎn)是，拋物線的方程為；(2)5【詳解】（1）拋物線準(zhǔn)線為，因此，所以拋物線的焦點(diǎn)是故拋物線的方程為（2）由題意可知直線的方程為，設(shè)聯(lián)立，整理得由韋達(dá)定理可得，所以【變式3】（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┮阎獟佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)榈捻旤c(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)、，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以、到準(zhǔn)線的距離分別為，．聯(lián)立可得，則，所以，，因此，.題型07求拋物線中非焦點(diǎn)弦【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與拋物線的圖象在第一象限交于點(diǎn)P．若橢圓的右頂點(diǎn)為B，且．(1)求橢圓的離心率．(2)若橢圓的焦距長(zhǎng)為2，直線l過(guò)點(diǎn)B．設(shè)l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且的面積為24，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵拋物線方程為∴其焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)點(diǎn)，故到準(zhǔn)線的距離為．即，∴因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，代入拋物線方程解得．根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得．即，所以，則橢圓E的離心率．故答案為：（2）因?yàn)闄E圓的焦距為2，所以，所以，所以橢圓方程為．拋物線的方程為．且，．因?yàn)橹本€l過(guò)B且不與坐標(biāo)軸垂直，不妨設(shè)直線l的方程為，，且．設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立l與消去x得：．所以，．所以．所以．故答案為：【典例2】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求的方程；(2)若為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線為切點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線