《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊 第2版》課件 10-4 反常二重積分_第1頁
《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊 第2版》課件 10-4 反常二重積分_第2頁
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文檔簡介

第十章二重積分第四節(jié)反常二重積分一、無界區(qū)域上的二重積分二、小結(jié)

在我們研究的二重積分都是在有界區(qū)域上或是被積函數(shù)是有界的，但是在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)會(huì)遇到積分區(qū)域或被積函數(shù)是無界的二重積分。因此，我們稱這樣的二重積分為反常二重積分。無界區(qū)域上的二重積分，它是在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有廣泛應(yīng)用的一種積分形式，它的計(jì)算方法與一元函數(shù)的反常積分的方法類似。一般先在有界區(qū)域內(nèi)計(jì)算積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時(shí)取極限求解。如果極限存在則反常二重積分收斂，否則就發(fā)散。一、無界區(qū)域上的二重積分定義設(shè)D是xoy面上的無界區(qū)域，在D上連續(xù)且G是D上的任意一個(gè)有界閉區(qū)域。若G以任何方式無限擴(kuò)展且趨于D時(shí)，均有極限

存在，則稱此極限值I為在無界區(qū)域D上的反常二重積分，并記為

此時(shí)稱在D上可積或反常二重積分收斂，否則，稱反常二重積分發(fā)散。例1求,其中D是整個(gè)xoy平面，并由此計(jì)算概率積分解：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù)，則此二重積分在直角坐標(biāo)系中無法計(jì)算，故在極坐標(biāo)系下計(jì)算整個(gè)xoy平面用極坐標(biāo)可表示為則有例1求,其中D是整個(gè)xoy平面，并由此計(jì)算概率積分解：則有而故令則注意:函數(shù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的一種密度函數(shù)—標(biāo)準(zhǔn)正太分布隨機(jī)變量的密度函數(shù)，如右圖由本例可知它在實(shí)數(shù)軸上的反常積分為1例2求反常二重積分,其中D是整個(gè)xoy平面.解：先在圓域內(nèi)考慮，此時(shí)當(dāng)時(shí)，由于故原積分收斂，且當(dāng)時(shí)，由于故原積分發(fā)散.解：由于被積函數(shù)僅在第一象限不為0，因此只需計(jì)算積分區(qū)域D在第一象限部分的二重積分即可，如右圖例3設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算反常二重積分，其中積分區(qū)域D是部分無界區(qū)域.例3設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算反常二重積分，其中積分區(qū)域D是部分無界區(qū)域.

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