《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》課件 8-5 曲面及其方程

第八章向量代數(shù)與

空間解析幾何第五節(jié)曲面及其方程一、曲面及其方程二、常見的曲面三、其他常見的二次曲面四、小結(jié)定義1

解決兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).一、曲面及其方程(1)曲面

上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程(2)不在曲面

上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程曲面叫做方程

的圖形.則

叫做曲面

的方程,如果曲面

與方程

有下述關(guān)系:故所求方程為例1

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意有距離為

的軌跡方程.表示上(下)球面特別,當(dāng)

在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

例2

研究方程解:

配方得可見此方程表示一個(gè)球面說明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.定義2

一條平面曲線1、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.比如:二、常見的曲面

建立

面上曲線

繞

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為若點(diǎn)則有則有給定

面上曲線該點(diǎn)轉(zhuǎn)到當(dāng)繞

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),思考：當(dāng)曲線

繞

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？例3試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為

軸,半頂角為的圓錐面方程.兩邊平方在

面上直線

的方程為解:

繞

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為例4

求坐標(biāo)面

上的雙曲線分別繞

x軸和

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.解:

繞

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為繞

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為例5

試判斷方程

表示怎樣的一個(gè)曲面.解該方程可以看作是平面中的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)橢球面.也可以看作是由平面中的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)橢球面.2、柱面引例

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程在

面上，表示圓

,故在空間過此點(diǎn)作對(duì)任意

,平行

軸的直線

,表示圓柱面在圓

上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,分析:沿圓周

平行于

軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面.定義3平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l

形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xOy面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于y

軸;平行于z

軸;準(zhǔn)線xOz

面上的曲線l3母線柱面,準(zhǔn)線xOy

面上的曲線l1母線準(zhǔn)線yOz

面上的曲線l2母線三、其它常見的二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)1、

橢圓錐面橢圓在平面x＝0

或y＝0

上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y

方向的伸縮變換得到

)2、橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓3、單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z

軸）平面上的截痕情況:雙曲線:

虛軸平行于x

軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;相交直線:

雙曲線:4、雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面5、橢圓拋物面截痕都是平面

中的一個(gè)橢圓周對(duì)任意平面，截該曲面所得的任何平面或截該曲面所得的截痕總是拋物線.

6、雙曲拋物面（馬鞍面）任何平面

及截該曲面所得的截痕總是拋物線任意的平面,截該曲面所得的截痕都是該平面內(nèi)的雙曲線1、曲面的概念2、常見的曲面3、