《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類(lèi)）下冊(cè) 第2版》習(xí)題及答案 第十一章 級(jí)數(shù)習(xí)題答案

習(xí)題11-1(A)寫(xiě)出下列級(jí)數(shù)的前5項(xiàng)：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）.（2）.（3）.（4）．根據(jù)級(jí)數(shù)收斂于發(fā)散的定義判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，故有．由于，所以此級(jí)數(shù)發(fā)散．（2）由于，故有．由于，所以此級(jí)數(shù)收斂．（3）由于，故有．由于，所以此級(jí)數(shù)收斂．（4）由于，故有．由于，所以此級(jí)數(shù)發(fā)散．判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）由于此級(jí)數(shù)的，所以此級(jí)數(shù)為首項(xiàng)，公比的等比級(jí)數(shù)，且，故此級(jí)數(shù)收斂于．（2）級(jí)數(shù)，由于級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)，且是發(fā)散的，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散．（3）級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，且，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．（4）由于此級(jí)數(shù)的，所以此級(jí)數(shù)為首項(xiàng)，公比的等比級(jí)數(shù)，且，故此級(jí)數(shù)發(fā)散．（5）．由于是首項(xiàng)為，公比的等比級(jí)數(shù)，故此級(jí)數(shù)收斂于，是首項(xiàng)為，公比的等比級(jí)數(shù)，故此級(jí)數(shù)收斂于，有性質(zhì)2可知原級(jí)數(shù)收斂于．（6）由于，故有級(jí)數(shù)收斂于，級(jí)數(shù)發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散．若級(jí)數(shù)收斂，求極限．解：由于數(shù)收斂，故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知，所以．設(shè)銀行存款的年利率為10%，若以年復(fù)利計(jì)算，應(yīng)在銀行中一次存入多少資金才能保證從存入之后起，以后每年能從銀行提取500萬(wàn)元以支付職工福利直至永遠(yuǎn)．解：設(shè)為年復(fù)利率，由于以后每年需要支付500萬(wàn)元直至永遠(yuǎn)，故在銀行存入的資金總額為．該冪級(jí)數(shù)是公比為，所以該級(jí)數(shù)的和函數(shù)．即銀行應(yīng)一次性存入5000萬(wàn)元才能保證以后每年能從銀行提取500萬(wàn)元以支付職工福利直至永遠(yuǎn)．習(xí)題11-1(B)判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，該級(jí)數(shù)的部分和，因此，．所以該級(jí)數(shù)收斂．（2）級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，故該級(jí)數(shù)的部分和，因此，．所以該級(jí)數(shù)收斂．（3）級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，故．所以該級(jí)數(shù)發(fā)散．（4）該級(jí)數(shù)可以寫(xiě)成，令，，由于級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，由級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知該級(jí)數(shù)發(fā)散．

習(xí)題11-2(A)用比較審斂法或其極限形式判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）由于，又因?yàn)榧?jí)數(shù)是發(fā)散的，由比較審斂法的極限形式可知，級(jí)數(shù)是發(fā)散的．（2）由于，級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)且是收斂的，由比較審斂法可知級(jí)數(shù)是收斂的．（3）由于，級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)且是發(fā)散的，由比較審斂法可知級(jí)數(shù)是發(fā)散的．（4）由于，又因?yàn)榧?jí)數(shù)是發(fā)散的，由比較審斂法的極限形式可知，級(jí)數(shù)是發(fā)散的．（5）由于，級(jí)數(shù)是p-級(jí)數(shù)，且，故級(jí)數(shù)是收斂的，由比較審斂法可知級(jí)數(shù)是收斂的．（6）由于，又因?yàn)榧?jí)數(shù)是p-級(jí)數(shù)，且，是收斂的，由比較審斂法的極限形式可知，級(jí)數(shù)是收斂的．（7）由于，又因?yàn)榧?jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)且是收斂的，由比較審斂法的極限形式可知，級(jí)數(shù)是收斂的．（8）由于，級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)且是收斂的，由比較審斂法可知級(jí)數(shù)是收斂的．用比值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，由比值審斂法可知該級(jí)數(shù)發(fā)散．（2）由于，由比值審斂法可知該級(jí)數(shù)收斂．（3）由于，由比值審斂法可知該級(jí)數(shù)收斂．（4）由于，由比值審斂法可知該級(jí)數(shù)收斂．習(xí)題11-2(B)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸ㄏ铝屑?jí)數(shù)的收斂性（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）由于．又因?yàn)槭堑缺燃?jí)數(shù)，是收斂的，由比較判別法可知原級(jí)數(shù)收斂．（2）由于，當(dāng)時(shí)，，由比值審斂法可知該級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，，所以級(jí)數(shù)發(fā)散．（3）由于．當(dāng)時(shí)，，由比值審斂法可知該級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，，所以級(jí)數(shù)收斂．（4）由于，且級(jí)數(shù)是收斂的，故原級(jí)數(shù)收斂．（5）由于，，且是發(fā)散的，由比較判別法的極限形式可知原級(jí)數(shù)是發(fā)散的．（6）由于，故由比值判別法可知原級(jí)數(shù)收斂．若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)都收斂．證：（1）由于，且級(jí)數(shù)收斂，由比較審斂法的極限形式可知級(jí)數(shù)收斂．（2）由于，且級(jí)數(shù)收斂，故，所以，由比較審斂法的極限形式可知級(jí)數(shù)收斂．若存在，證明：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂．證：由于，又因?yàn)榧?jí)數(shù)是收斂的，由比較判別法的極限形式可知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂．求下列極限（1）；（2）．解：（1）考慮級(jí)數(shù)，由于，且，故級(jí)數(shù)是收斂的．由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知．（2）考慮級(jí)數(shù)，由于，而收斂，由比較審斂法可知級(jí)數(shù)收斂，不妨記其和為，因此，所以．

習(xí)題11-3(A)討論下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性:（1）；（2）．解：（1）由于，故此級(jí)數(shù)發(fā)散．（2）所給級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足，，滿足萊布尼茨定理的條件，故此級(jí)數(shù)收斂．判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．解：（1）由于，因?yàn)榧?jí)數(shù)是收斂的，所以原級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的．（2）由于，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．（3）由于，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．（4）由于又發(fā)散；而對(duì)于，因?yàn)?，所以收斂．所以原?jí)數(shù)條件收斂．（5）由于，而，又所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．（6）由于，又，所以發(fā)散；而對(duì)于，有，所以收斂．故原級(jí)數(shù)條件收斂．（7）由于，，所以發(fā)散；而對(duì)于，有，所以條件收斂．習(xí)題11-3(B)已知級(jí)數(shù)收斂，對(duì)于任意常數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．證：，，而收斂，收斂，所以收斂．所以級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂．若存在，證明：級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．證：因?yàn)榇嬖冢稍O(shè)即又收斂，所以收斂，因此絕對(duì)收斂．證明：．證：若考察級(jí)數(shù)因?yàn)?，所以所以．判斷?jí)數(shù)是否收斂？若收斂是條件收斂還是絕對(duì)收斂？解：由于，而是發(fā)散的，所以發(fā)散；由于該級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，不滿足萊布尼茨定理，故用定義考慮，進(jìn)一步，．所以為單調(diào)減少且有下界的數(shù)列，從而，又因?yàn)?，所以，故原?jí)數(shù)收斂．所以條件收斂．

習(xí)題11-4(A)求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）因?yàn)?，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）因?yàn)椋允諗堪霃?，收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）因?yàn)椋允諗堪霃?，?jí)數(shù)只在收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以收斂半徑，收斂域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂，所以時(shí)級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）因?yàn)?，故所以?jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）因?yàn)?，故所以?jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋弥痦?xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)：（1）；（2）；（3）．解：（1）級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，設(shè)其和函數(shù)為．（2）級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，設(shè)其和函數(shù)為，．（3）級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，設(shè)其和函數(shù)為，所以．習(xí)題11-4(B)若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，證明該級(jí)數(shù)在點(diǎn)處絕對(duì)收斂．解：冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，即，所以滿足而，所以原級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：（1）；（2）．解：（1）因?yàn)閷?duì)于級(jí)數(shù)，有，故收斂半徑；收斂區(qū)間為；對(duì)于級(jí)數(shù)，有，故收斂半徑；收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)發(fā)散．當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)發(fā)散．所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）令，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，由此可知，所以，即原?jí)數(shù)的收斂區(qū)間為當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂．故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋髢缂?jí)數(shù)的和函數(shù)，并求收斂域．解：級(jí)數(shù)，，所以原級(jí)數(shù)的和函數(shù)．求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，指出收斂域，并計(jì)算．解：因?yàn)?，，則，因此，所以，原級(jí)數(shù)的和函數(shù)因此，．

習(xí)題11-5(A)將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求展開(kāi)式的收斂區(qū)間:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）由于，并且，所以.（2）由于，又因?yàn)?所以.（3）由于，，所以.故.（4）由于，所以.（5）.將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù):（1）；（2）.解：（1）由于，并且，有，所以.（2）由于，并且，所以.所以.將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解：由于，并且有所以，.將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解：由于，并且，，所以.習(xí)題11-5(B)將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂范圍.解：由，得.將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂范圍.解：由于，所以.故，.將級(jí)數(shù)的和函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解：.

總習(xí)題十一1．填空題（1）對(duì)級(jí)數(shù)，是它收斂的條件；（2）部分和數(shù)列有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件；（3）若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)必定；若級(jí)數(shù)條件收斂，則級(jí)數(shù)必定．解答：（1）必要；（2）充要；（3）收斂，發(fā)散．2．判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）．解：（1），因．而級(jí)數(shù)是發(fā)散的，故由比較審斂法的極限形式可知原級(jí)數(shù)發(fā)散．（2），由，故級(jí)數(shù)發(fā)散．（3），而級(jí)數(shù)是收斂的（由于，由比值審斂法可知收斂），故由比較審斂法知原級(jí)數(shù)收斂．（4），因，而發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式可知原級(jí)數(shù)發(fā)散．注：求極限時(shí)，可以考慮極限．由，故，從而．（5），．由比值審斂法可知，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散．當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)成為，由p-級(jí)數(shù)的結(jié)論知，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散．3．設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和都收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂．證：由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)和都收斂，故有也收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知．由比較審斂法的極限形式，可知級(jí)數(shù)也收斂．4．討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性：（1）；（2）；（3）．解：（1）由于，故而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法的極限形式可知發(fā)散．而是交錯(cuò)級(jí)數(shù)且滿足萊布尼茨定理的條件，因而收斂，故該級(jí)數(shù)條件收斂．（2）由于，由比值審斂法可知收斂，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．（3）由于，，而級(jí)數(shù)收斂，由比較審斂法可知收斂，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．5．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間；（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，，有，故收斂半徑為，收斂區(qū)間為．（2）由于，，有故