特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型-2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)（含答案）

特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型2025

中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)含答案

特殊的平行/邊形中的最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生,主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考

中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析,方

便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是:點到線的距離垂線段最短。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。

要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背,要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到

對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適

當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是:①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模

型;②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法;③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方

面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到

的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！

目錄

例題講解模型

模型L胡不歸模型（最值模型）2

習(xí)題練模型

例題講解模型

模型1.胡不歸模型（最值模型）

從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然

從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔

莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸?”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一

條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

砂石地。

驛道

AC

B

補充知識:在直角三角形中銳角人的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作sinA,即3由人=/邊

若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°,45°,60°）的三邊關(guān)系。

一動點P在直線MN外的運動速度為M，在直線MN上運動的速度為M,且為定點，點。

在直線MN上,確定點。的位置使4^F2+4Vi?的值最小.（注意與阿氏園模型的區(qū)分）。

B

1）爺+等=上（8。+整力。）,記后=瞿，即求8。+比4。的最小值.

V2%%、V2'V2

2）構(gòu)造射線4D使得sin/N4N=A;,霧=3CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

3）過8點作BH_LAD交MN于點C,交AD于H點,此時BC+CH取到最小值,即BC+比4C最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“P4+LPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與切口相等的線段，將“E4+fcPB”型問

題轉(zhuǎn)化為“P4+PC”型.（若%>1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

1.（2024?廣東?二榭如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4,且ABAD=30°,P為對角線47（不含A點）

上任意一點，則。P+的最小值為.

2.（2024?遼寧營口?模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，=12,AD=18,P是AD邊上任意一點，則PC+

的最小值是.

3.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD邊長為4,點E是CD邊上一點，且乙48E=75°.P

是對角線口。上一動點，則AP+聶尸的最小值為（）

A.4B.4V2G-2-D.ypl+A/6

4.（23-24八年級下?湖北黃石?期末）如圖，OABCD中，乙4=60°,4B=4,AD=1,P為邊CD上一

點,則干產(chǎn)。+PB的最小值為

PC

5.（23—24九年級上?山東日照?期末）如圖,在矩形ABCD中，4B=2,及7=2"，點P是對角線AC上

的動點，連接PD,則24+2PD的最小值為（）

D

A.4V3B.6C.6V3D.4

6.（2023?廣東佛山??？家荒＃┰谶呴L為1的正方形ABCD中，及■是邊AB的中點，P是對角線AC上的

動點，則方尸拉―上4的最小值為.

7.（2024?重慶?九年級校考期中）如圖，矩形的對角線AC,相交于點O,ACOO關(guān)于CD的對

稱圖形為ACED（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）連接若48=6411,口。=，^0111.

①求smAEAD的值；②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接OF,一動點Q從點。出

發(fā)，以IcrrZ的速度沿線段OP勻速運動到點P,再以L5cm/s的速度沿線段R1勻速運動到點A,到

達(dá)點A后停止運動.當(dāng)點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全

程所需的時間.

習(xí)題練模型

1.（2023?山東濟南?統(tǒng)考二模）如圖,在菱形ABCD中，AB=AC=6,對角線相交于點。，點M

在線段上，且4W=2,點P是線段上的一個動點，則的最小值是（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

2.（2023上?四川樂山?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，ABAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC

邊上的動點，則2AD+的最小值是（）

A

C.10D.12

3.（2023秋?山東日照?九年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形ABCD中，=2,2四，點P是對角線

47上的動點，連接PD,則24+2PD的最小值為（）

A.4V3B.6C.6V3D.4

4.（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,交于點O,AB==3,點雙在

線段/。上，且4W=2.點P為線段上的一個動點.

（1）ZOBC=°；（2）MP+yPB的最小值為

5.（2023?湖北武漢?九年級期末）如圖，CM8c?中NA=60°,AB=6,AD=2,P為邊CD上一點，則

V3PD+2PB的最小值為.

6.（23—24八年級下?北京?期中）如圖,在平行四邊形4BCD中，48=3,BC=4,NABC=60°,在線段

上取一點以使DE=1,連接BE,點河，N分別是線段AE,跳;上的動點，連接MN,則7W+

*BN的最小值為.

AMED

7.（2023上?湖北黃岡?八年級?？计谥校┤鐖D，在長方形ABCD中，對角線=6,NAB。=60°.將長方

形ABCD沿對角線BO折疊，得△BE。，點M是線段口。上一點.則的最小值為

8.（2023?黑龍江綏化?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，48=4,對角線AC、相交于

點O,ZAOB=60°.點E是49的中點，若點尸是對角線上一點，則EF+的最小值是

9.（2022?陜西西安??？寄M預(yù)測）如圖,在矩形4BCD中，AB=2,BC=，點P是對角線AC上的

動點，連接PD,則24+2PD的最小值.

10.（2023?重慶沙坪壩?八年級?？计谀┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，直線h：y=-^-x+苧與非軸交于點

O/

C,與y軸交于點入，分別以O(shè)C、OA為邊作矩形ABCO,點D、E在直線AC上，且。E=1,則AD+

三CE的最小值是.

y

D

O\x

IL（2023?湖北孝感??？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是正方形紙片，2.對折正方形紙片

ABCD，使AD與重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊正方形紙片，使點A落在EF上的點河

處,折痕為BP；再次展平，延長PN交CD于點Q.有如下結(jié)論:①NABA1=6O°；②AP=1；③AP+

CQ=PQ；④CQ=4—2代；⑤H為線段8P上一動點，則AH+的最小值是血.其中正確結(jié)

論的序號是.

12.（23—24八年級上?江蘇常州?期末）如圖，在①△4BC中，AACB=9O°,/CAB=30°,則AB=

28C.請在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考:若/。=2,。是AB的中點，P為邊CD上一動點，則4P+

的最小值為

13.（2023?吉林?二模）【問題原型】如圖①，在△ABC,4B=AC=5,8C=6,求點。到48的距離.

【問題延伸】如圖②，在△ABC,AB=AC=10,BC=12.若點加■在邊上，點P在線段4W■上，連

結(jié)CP,過點P作尸Q，于Q,則CP+PQ的最小值為.

【問題拓展】如圖③，在矩形中，AB=2《，點E在邊上，點及在邊AB上，點F在線段

CA1上,連結(jié)即，若NBC7W=30°,則CF+2EF的最小值為

①

14.（23—24八年級下.江蘇淮安?期末）如圖3,點E在邊CD上，且垂足為H,當(dāng)H在正方形

ABCD的對角線瓦9上時,連接AN,將△AfflV沿著AN翻折，點H落在點H'處.①四邊形AHNH'

是正方形嗎？請說明理由;②若AB=6,點P在3。上，BO=3BP,直接寫出PH7+殍AN的最小值

為

圖3

15.（2024?四川涼山?中考真題）如圖,在菱形ABCD中，4ABC=60°,=2,E是邊上一個動點,連

接AE,AE的垂直平分線MN交4E于點河，交RD于點N.連接EN,CN.（1）求證：EN=CN；

（2）求2EN+8N的最小值.

16.（2024.山東淄博.一模）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，/BCD=60°,連接BD,點、E,斤分別是邊

AB,8C上的動點，且46=斯,連接DE,_DF,EF.

圖①圖②備用圖

⑴如圖①，當(dāng)點E是邊AB的中點時，求/EOF的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)點E是邊AB上任意一點時，NEOF的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明：若發(fā)生

改變,請說明理由；(3)若點P是線段BO上的一個動點，連接PR,求PF+號DP的最小值?

特殊的平行鸚邊器中的最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生,主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考

中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方

便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是:點到線的距離垂線段最短。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。

要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背,要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到

對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適

當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是:①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模

型;②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法;③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方

面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到

的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！

目錄

例題模型

模型1.胡不歸模型（最值模型）2

習(xí)題練模型

例題講解模型

模型1.胡不歸模型（最值模型）

從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然

從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔

莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸?”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一

條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

/B

砂石地/

驛道

AC

B

補充知識:在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做ZA的正弦，記作sinA,即sinA二松普

若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°,45°,60°）的三邊關(guān)系。

一動點P在直線MN外的運動速度為M，在直線MN上運動的速度為M,且為定點，點。

在直線MN上,確定點。的位置使4^F2+4Vi?的值最小.（注意與阿氏園模型的區(qū)分）。

B

1）爺+等=上（8。+整力。）,記后=瞿，即求8。+比4。的最小值.

V2%%、V2'V2

2）構(gòu)造射線4D使得sin/N4N=A;,霧=3CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

3）過8點作BH_LAD交MN于點C,交AD于H點,此時BC+CH取到最小值,即BC+比4C最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“P4+LPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與切口相等的線段，將“E4+fcPB”型問

題轉(zhuǎn)化為“P4+PC”型.（若%>1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

1.（2024?廣東?二榭如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4,且ABAD=30°,P為對角線47（不含A點）

上任意一點，則。P+的最小值為.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=AB=4,乙BAC=ACAD=15°,以AB為一邊，在AB下方作ABAE=

4BAC=15°,過點P作PF_LAE,過點。作DH_L由含有30度直角三角形的性質(zhì)可得PF=-j-AF,

DP+yAP=DP+PF,結(jié)合圖形可得當(dāng)D、P、F三點共線時，取得最小值，最小即為DH長度，利用銳角

三角函數(shù)求解即可得出結(jié)果.

【詳解】解：?.?四邊形48co為菱形，AB=4,ZBAD=30°,.-.AD=AB=4,ZBAC=ZCAD=15°,

如圖所示，以AB為一邊，在48下方作ZBAE=/A4C=15°,過點P作PF_LAE,過點。作AE,

PF=yAP,DP+yAP=DP+PF,

當(dāng)D、P、F三點共線時，取得最小值，最小即為。H長度，

在Rtt\DHA中，NDAH=45°,/.DH=DAXsinADAH272,故答案為：2四.

【點睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔

助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

2.（2024.遼寧營口?模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，AB=12,4D=18,P是4D邊上任意一點，則PC+

的最小值是.

【答案】9+6聲

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造含30°的直角三角形，是

解題的關(guān)鍵.

過點A作直線AE,使AE與人。的夾角為30°,過點P作PE±AE,垂足為點E,則PC+^-PA的最小值

即為PC+PE的最小值，過點。作CH_LAE,垂足為點H,PC+PE的最小值CH,先證明/PAE=

/HCD=30°,再由解三角形求出CH即可求解.

【詳解】解:過點A作直線AE,使AE與AD的夾角為30°,過點P作PE_LAE,垂足為點E,過點。作CH

_LAE,垂足為點H,

???APAE=30°,PE=~PA,：.PC+^-PA=PC+PE,

?：PC+PE>CH,A當(dāng)PC和PE在同一直線上時，_R4+PE最小，最小值為CH,

■：ZAP'H^/CPD,且ZP'GD+ACP'D^AP'AH+/AP'H=90°,/.NPAE=AHCD=30°,

CD=AB=12/.P'C=————=*=8圖PD=GD?tanZFW=12x艱=4A后,

cosZP'CD四3

2

AP'AD-P'D=18-4V3,P'H^^P'A=9-273,CH=P'C+P'H^9-273+873=9+

6V3,

.?.PC+「R4的最小值為9+6存故答案是：9+6京

3.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD邊長為4,點、E是CD邊上一點，且NABE=75°.P

是對角線8。上一動點，則+的最小值為（）

A.4B.4V2C.D.V2+V6

【答案】。

【分析】連接A。,作PG_LBE,證明當(dāng)AP+/BP取最小值時，A,P,G三點共線，且AG,BE,此時最

小值為AG,再利用勾股定理，30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果.

【詳解】解:連接,作PG_LBE

?.?ABCD是正方形且邊長為4,24BO=45°,AC±BD,AO=20

■：AABE=75°,/.NPBG=30°,：.PG=yBP,

當(dāng)AP+，P取最小值時，4P，G三點共線，且AG_LBE,此時最小值為AG,

?：AABE=75°,AG±BE,：.ZBAG=15°,V/BAO=45°,/.ZR4O=30°,

設(shè)OP=b,則AP=2b,：.b2+(2V2)2=(2b)2,解得：b=當(dāng)無，

設(shè)PG=a，則BF=2a,???BO=2四，.?.2&+6=2方，解得：a=2—乎

o

人3=4。+。3=26+&=2+碗，故選：_0

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，勾股定理，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是證

明當(dāng)+取最小值時，A,P,G三點共線，且AG,BE,此時最小值為AG.

4.(23-24八年級下?湖北黃石?期末)如圖,EJABCD中，=60°,AB=4,AD=1,P為邊CD上一

點，則今PD+PB的最小值為

DPC

/7

AB

【答案】2遮

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.過點P作PH_LAD交4D延長線于點玄,連接,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到ZPDH=ZA=

60°,由30度所對的直角邊等于斜邊一半，得至UPD=2DH,進(jìn)而得至UPH=噂PD,即噂PD+PB=PH

+PB,當(dāng)點H、P、B三點共線時，PH+PB有最小值，即乎PO+PB有最小值，此時BH_LAH,利用勾

股定理求出的長即可.

【詳解】解:如圖，過點「作。5_1AO交AD延長線于點H,連接BH,

???LJABCD,ABHCD,：.ZPDH=/A=60°,在Rt/\DHP中，ZDPH=90°-ZPDH=30°,

PD=2DH，:.PH=y/PD2-DH2=*PD,：.痔PD+PB^PH+PB>BH,

：.當(dāng)點X、P、B三點共線時，PH+PB有最小值，即乎PO+PB有最小值，此時_LAH,

在Rt^AHB中，ZABH=90°-ZA=30°,/.AH=^-AB=2,：.BH=y/AB2-AH2=273,

即M+PB的最小值為2代，故答案為：2/3.

2

5.（23—24九年級上?山東日照?期末）如圖,在矩形4BCD中，4B=2,BC=20,點P是對角線AC上

的動點，連接PO,則E4+2PD的最小值為（）

A.4V3B.6C.6V3D.4

【答案】8

【分析】直接利用已知得出/CAB=60°,再將原式變形，進(jìn)而得出2（yB4+PL＞）最小值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：過點入作/CAN=30°,過點。作DM_LAN于點河，交AC于點P,

?.?在矩形ABCD中，AB=2,BC=2通，.?.tan/CAB=^^=V^,.?./CAB=60°,則/DAC=30°,

：.PM=^-PA,：.PA+2PD=2（^PA+PD）=2{PM+PD）=2DM=2AD-sin60°=2x2^/3x

=6.

即B4+2PD的最小值為6.故選B.

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

6.（2023?廣東佛山?校考一模）在邊長為1的正方形ABCD中，M是邊的中點，P是對角線AC上的

動點，則42PM-PA的最小值為.

【答案】0

（分析】作PQ_L48于M■，可得出PQ=，從而得PM-PQ的最小值，將V2PM-24變形為

四（PM-PQ）,進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】解:如圖，作PQLAB于加，

?.?四邊形ABOD是正方形，，/BAC=45°,.?.PQ=§J3A,r.PM-PQ的最小值為0,

?.?方。朋-24=血（。麗-亨P4）=0（PM-PQ）,的最小值為0,故答案為：0.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化線段.

7.（2024?重慶?九年級?？计谥校┤鐖D，矩形ABC?的對角線AC,相交于點O,ACO。關(guān)于CD的對

稱圖形為ACED（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）連接若4B=6cm,BC=述cm.

①求smZEAD的值；②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接OP,一動點Q從點。出

發(fā)，以lcm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P,再以1.5cm^的速度沿線段R1勻速運動到點A,到

達(dá)點A后停止運動.當(dāng)點Q沿上述路線運動到點4所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全

程所需的時間.

【答案】⑴證明見解析；⑵①sin/EAD=~1忿”=得和Q走完全程所需時間為3s.

【分析】（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行證明即可；（2）①構(gòu)造直角三角形求sin/EA。即可；

②先確定點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時間.

【詳解】（1）：四邊形ABCD是矩形，/.AC=BD,

?：AC與BD交于點O,且XCOD、XCED關(guān)于CD對稱，

；.DO=CO,DO=DEQC=EC，:.DO=OC=EC=ED,：.四邊形OCED是菱形；

（2）①連接OE,直線OE分別交于點F,交。。于點G,

,:XCOD關(guān)于CD的對稱圖形為XCED,：.OE±DC,VDCIIAB：.OFYAB,EF//AD,

?：在矩形ABCD中，G為。。的中點，且。為AC的中點，

AOG為MJAD的中位線，：.OG=GE=用，同理可得：F為AB的中點，OF=乎，AF=3,

AE=y/EF2+AF2=J32+^EAD=Z.AEF：.sinZEAD=sinZAEF=^-=；

2

EE

②過點P作PAf_LAB交AB于點、M,：.Q由O運動到P所需的時間為3s,

?/由①可得,4河=磊”，

o

.?.點Q以1.5cm/s的速度從P到A所需的時間等于以lcm/s從河運動到

即：力=加「+加4=罕+半=OP+M4,：.Q由O運動到P所需的時間就是OP+AM和最小.

?.?如下圖，當(dāng)P運動到R，即RO〃AB時，所用時間最短..?.t=OP+AM=3,

在R1AAP[M]中，設(shè)入峪=22,4舄=32，人可=人用+丹用，

(302=(202+,解得X=^2：.”=等，,AP=等和Q走完全程所需時間為3s.

習(xí)題練模型

1.（2023?山東濟南?統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCD中，4B=6,對角線/。、BD相交于點O,點河

在線段/C上，且AM=2,點P是線段上的一個動點，則MP+/PB的最小值是（）

A.2B.2V3C.4D.4-73

【答案】B

【分析】過M點作Afff垂直于H點，與OB的交點為P點，此時MP+/PB的長度最小為Afff,再算出

的長度，在_R〃\AiPC中利用三角函數(shù)即可解得ML

【詳解】解:過河點作MH垂直BC于H點，與08的交點為P點，

???菱形ABCD中，4B=力。=6,AB=AC=BC=6,△ABC為等邊三角形,

/.2PBe=30°,/ACS=60°,.?.在Rt^PBH中，NPBH=30°,：.PH=^PB,

/.此時MP+yFB得到最小值,AiP+yFB=MP+PH=MH,

???AC=6,A/W=2,.?.MC=4,又?.?/MCH=60°,.?.MH=A/Csin60°=2述，故選：B.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時的P點是解題關(guān)鍵.

2.（2023上?四川樂山?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，NBAC=90°,ZB=60°,48=4,若。是BC

邊上的動點，則24。+。。的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】。

【分析】過點。作射線CE,使ZBCE=30°,再過動點。作。F_LCE,垂足為點F,連接AD,在Rt/\DFC

中，ZDCF=30°,DF=^DC,2AD+DC=2（AD+^DC）=2（AD+OF）當(dāng)A,。，F(xiàn)在同一直線上，即

AF_LCE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長.

【詳解】過點。作射線CE,使ZBCE=30°,再過動點。作OF，CE,垂足為點F,連接入。,如圖所示：

在母ADFC中,ADCF=30°,：.DF=^-DC,V2AD+DC=2（AD+^-DC）=2（AD+DF）,

：.當(dāng)A,O,F在同一直線上，即AF_LCE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，

此時，/B=/ADB=60°,.?.△ABD是等邊三角形，AD=BD=AB=4,

在RtZXAB。中，/A=90°,/B=60°,AB=4,.?.BC=8,.\。。=4,.?.DF=]OC=2,,

AF=AD+DF=4+2=6,：.2（AD+DF）=2AF=12,：.2（AD+DC）的最小值為12,故選:D.

【點睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會用轉(zhuǎn)

化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

3.（2023秋?山東日照?九年級校聯(lián)考期末）如圖,在矩形ABCD中，48=2,2代，點P是對角線

/C上的動點，連接PD,則上4+2PD的最小值為（）

D

A.4V3B.6C.6V3D.4

【答案】B

【分析】直接利用已知得出/CAB=60°,再將原式變形，進(jìn)而得出2^PA+PD）最小值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：過點A作4CAN=30°,過點。作DM1.4V于點“，交AC于點P,

?/在矩形ABCD中，AB=2,BC=273,tan/CAB==V3,

ACAB=60°,則ADAC=30°,：.PM=^-PA,

APA+2PD=2（-j-B4+Pn）=2（PM+PD）,=2DM=2AD-sin60°=2x2通X*=6.

即24+2PD的最小值為6.故選B.

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

4.（2023?河北保定?統(tǒng)考一榭如圖，在矩形ABCD中,對角線AC,交于點O,48=06=3,點河在

線段47上，且AM=2.點P為線段上的一個動點.

（1）ZOBC=°；⑵MP+yPB的最小值為.

【答案】302

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得到。人=。8=。。=。。，乙4BC=90°,又由得到/XOAB是等邊三

角形，則AABO=60°，即可得到答案；（2）過點P作PE，BC于點E,過點M'作，BC于點F,證明

皿P+=MP+PE>AY尸，進(jìn)一求解即可得到答案.

【詳解】解：（I”.?四邊形ABCD是矩形，.?.OA=OB=OC=OD,/ABC=90°,

.

1/AB^OB,：.AB^OB^OA,：.△OAB是等邊三角形，，AABO=60°,

4OBC=AABC-AABO=90°-60°=30°,故答案為：30.

(2)過點P作PELBC于點E,過點“作MF_LBC于點、F,

在跳ABPE中，由⑴知：NPBE=30。，：.PE=^PB,：.MP*PB=MP+PE>MF,

在矩形ABCD中，4。=2OA=2OB=6,：AM=2,/.CM=AC-AM=6-2=4,

在RtZXCMF中，/MCF=/OBC=30°,.?.MF=gCM=2,.?.AfP+/PB的最小值為2,故答案為：2.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握矩

形的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖北武漢?九年級期末）如圖，OABCD中=60°,4B=6,4D=2,P為邊CD上一點，則

V3PD+2PB的最小值為.

【答案】

【分析】作PHXAD交AD的延長線于H,由直角三角形的性質(zhì)可得HP=3-DP,因此V3PD+2PB=

2（乎DP+PB）=2（PH+PB），當(dāng)H、P、B三點共線時HP+有最小值，即V3PD十2PB有最小值,

即可求解.

【詳解】如圖，過點P作PH_L4D,交4D的延長線于H,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，:.ABHCD,：.ZA=ZPDH=60°

?/PHAD：.ADPH=30°DH=gpD,PH=ViDH=與PD,

：.V3PD+2PB=2^^-PD+PB)=2(PH+PB)

：.當(dāng)點H,點P,點B三點共線時，HP+PB有最小值，即血PD+2PB有最小值，

此時BH±AH,/ABH=30°,/A=60°,，AH=/AB=3,BH=愿AH=3/

則通PD+2PB最小值為6遍，故答案為：6V3.?M

【點睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識.構(gòu)造直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

6.（23-24八年級下?北京?期中）如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=3,BC=4,AABC=60°,在線段

上取一點以使DE=1,連接BE,點河，N分別是線段入瓦瓦;上的動點，連接MN,則MN+

的最小值為.

【分析】如圖，作NF_L于F,AH_LBC于H,MG_L于G,則四邊形AHGM是矩形，MG=,由

題意可求AE=3=4B,/R4C=120°,/ABE=/AEB=30°,則NEBC=30。,NF=—BN,由MN+

!BN=7W+NR,可知當(dāng)M、N、F三點共線且皿F_LBC時，上W+/BN最小，為MG,求AH的長，進(jìn)而

可求7W+qBN最小值，

【詳解】解:如圖，作NF_L于F,AH_L于H,MG_LBC于G,則四邊形AHGM是矩形，,MG=

AH,

?：平行四邊形ABCD中，AB=3,3。=4,DE=\,乙4BC=60°,

AE=3=AB,ABAC=120°,A/ABE=AAEB=30°，34EBC=30°，:.NF=亭BN,

：.MN+^BN=MN+NF,：.當(dāng)M、N、F三點共線且MF_LBC時，MN+±BN最小，為MG,

?：/歷田=30°,.?.9=/48=方，由勾股定理得，AH=y/AB2-BH2=,

.?.AW+JBN最小值為故答案為：衛(wèi)咨.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形，等邊對等角，勾股定理等

知識.明確線段和最小的情況是解題的關(guān)鍵.

7.（2023上?湖北黃岡?八年級校考期中）如圖，在長方形ABCD中，對角線8。=6,AABD=60°.將長方

形4BCD沿對角線BD折疊，得△BED,點M是線段8。上一點.則EA1+，8河的最小值為

E

AD

/

B%--------------------'c

【答案】

【分析】過點河作皿N_LBC于點N,連接EN,過點E作EF_LBC于點F,根據(jù)含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，得到進(jìn)而得到EM+g~BM=EM+MNAEN,進(jìn)而得到當(dāng)E,M,N三點、共線時，EM

+十B做的值最小為EN的長,再根據(jù)點到直線，垂線段最短，得到當(dāng)EN_LBC時，EN最小，即點N與點

F重合，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?/在長方形ABCD中，對角線BD=6,ZABD=60°,

ANABC=/C=90°,ZPBC=30°,：.DC=^-BD=3,BC=^BD2-CD2=373,

?.?將長方形ABCD沿對角線BD折疊，得△BED,

NEBD=NDBC=30°,BE=BC=3V3,AEBC=60°,

過點初作MV_LBC于點N,連接EN，過點E作EF_LBC于點F,則：AMNB=90°,NEFB=90°,

匕DBC=30°,/.MN=,：.EM+/EM+MN>EN,

當(dāng)E,M,N三點共線時，河的值最小為EN的長，

。.?點到直線，垂線段最短，/.當(dāng)ENLBC時，EN最小，即點N與點F重合，

?/AEBC=60°，:.ABEF=30°,/.BF=卷BE=,

EF=^BE2-BF'2=~|■，即：EM+的最小值為￡?故答案為：方.

【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，垂線段最短.

解題的關(guān)鍵是理解兩點之間線段最短，以及點到直線垂線段最短，添加輔助線構(gòu)造特殊三角形.

8.（2023?黑龍江綏化?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖,在矩形ABCD中，人口=4,對角線AC、BD相交于

點O,=60°.點七是49的中點，若點F是對角線上一點，則即+乎。斤的最小值是

AD

【答案】3同

【分析】過點F作FG_LCD于點G,證明AAOB為等邊三角形，推出4GDF=60°,則FG=DF-

sin/GDF=§OF,AD=BD-sin60°=4，^,進(jìn)而得出EF+*DF=EF+FG,當(dāng)點E、F、G在同一

條直線上時，EF+小。干取最小值，證明△CEG?△CAD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求解.

【詳解】解:過點F作FG_LCD于點G,如圖，

?.?四邊形ABCD為矩形，.?.AO=BO,AB〃CD,?.?乙408=60°,.?.△AOB為等邊三角形，

AABO=60°,AO=BO=CO=DO=4：,：.ZGDF=60°,AC=8.

?：FG±CD,：.FG=DF-sinAGDF=^-DF,AD=BD-sin60°=473,:.EF+*DF=EF+FG,

當(dāng)點E、F、G在同一條直線上時，EF+乎OF取最小值，

???點E是40的中點，,AE=OE=^-AO=,則篙=等，

FG±CD,：.EG//AD,：.&CEG?ACAD,：.需=嗯=,，解得：EG=3聰,

綜上：EF+哼DF的最小值為3代，故答案為：3方.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，找出FG=OF?sin/GDF=堂DF.

9.（2022?陜西西安?校考模擬預(yù)測）如圖,在矩形4BCD中，AB=2,BC=，點P是對角線AC上的

動點，連接PD，則上4+2PD的最小值

14

【答案】6

【分析】直接利用已知得出/.CAB=60°,再將原式變形，進(jìn)而得出yB4+PD最小值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】過點A作NCAN=30°,過點D作DM_LAN于點河，交AC于點P,

?/在矩形ABCD中，AB=2,BC=273,tan/CAB=-=V3,

.?./CAB=60°,貝”ZDAC=30°,■：PA+2PD=2^PA+PD),

^R4+PD=PM+PD=AD?sin60"=2四x乎=3,

此時「R4+PD最小，.?.Q4+2PD的最小值是2x3=6.故答案為：6.

【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

10.(2023?重慶沙坪壩?八年級校考期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線八夕=一空2+子與立軸交于點

C,與夕軸交于點4分別以O(shè)C、OA為邊作矩形ABCO,點。、E在直線AC上，且￡?=1,則6。+

的最小值