2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州某中學(xué)高三（上）診斷數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州一中高三(上)診斷數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)全集0={1,234,5},集合M滿足={2,4},則()

A.1￡MB.4￡MC.5GMD.3gM

2.“(久一+必三4”是“/+y231”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知向量2=(1,2),b=(2,-2),c=(1,2),若31(2N+E),則實(shí)數(shù)4=()

A.2BjC.-jD.-2

4.若復(fù)數(shù)Z滿足(2+3i)Z=產(chǎn)024+&2。25,則復(fù)數(shù)￡在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知函數(shù)y=/(乃的圖象如圖1所示，則圖2對應(yīng)的函數(shù)有可能是()

6.若a=0.7°，3,b=log2a,c=log070.3,貝!|()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

7.已知數(shù)列{5}的通項(xiàng)公式為與二層+幾九，且數(shù)列{/J為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是()

A.(-00,-3)B.(-oo,-2)C.(-2,+oo)D.(-3,+oo)

8.已知雙曲線E：真一，=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)尸作直線/與漸近線人-即=0垂直，垂足

為點(diǎn)P,延長PF交E于點(diǎn)。若麗=3而，則E的離心率為()

A.fB.fC.1D./2

343

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.在下列函數(shù)中，最小值是2的是()

A.y=x+-B.y=Vx2—1+,；]

C.y=%G（2,-]D.y=%2-4%+6

10.已知zn,幾是兩條不同的直線，a,3是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若7nla,mln,貝Un〃a

B.1a,nip,al/7,貝Um1九

C.若仇〃/7,m//a9n///?,則m〃九

D.若?！?，，m1a,nl^,則zn〃n

11.臺球運(yùn)動已有五、六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球.若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙

物后也遵從反射定律.如圖，有一張長方形球臺ZBCD,其中2。=看48,現(xiàn)從角落4沿角a（初始擊球方向

與48間的夾角）的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落C的球袋中，貝Utana的值為（）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若命題“mxeR,92-1）久2+9-1）久一120”為假命題，貝b的取值范圍是

13.若圓G：尤2+y2一4%+3=0與圓。2；（%+2）2+（y+3）2=小有且僅有一條公切線，則m=

14.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,4.現(xiàn)甲從中隨機(jī)摸出一個

球記下所標(biāo)數(shù)字后放回，乙再從中隨機(jī)摸出一個球記下所標(biāo)數(shù)字，若摸出的球上所標(biāo)數(shù)字大即獲勝（若所

標(biāo)數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題12分）

在團(tuán)ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且爐+c?-a?=24,S@ABC=12.

（1）求tan71；

（2）若。在邊BC上且BD=2DC,AC=2^5,求AD的長.

16.（本小題12分）

已知函數(shù)/'(久)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/(x)=-x2+2x.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+m在R上有三個零點(diǎn)，求m的取值范圍.

17.(本小題12分)

已知在四棱錐P—HBCD中，P21平面4BCD,四邊形48CD是直角梯形，AD//BC,ADLDC,若P4=

AD=2,DC=2d2,點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PC的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P).

(1)求證：平面4MN_L平面PCD；

(2)求點(diǎn)P到平面2MN的距離.

18.(本小題12分)

甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框

中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場為決賽，獲

勝的人是冠軍，已知甲每場比賽獲勝的概率均為:，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同.

4

(1)求乙僅參加兩場比賽且連負(fù)兩場的概率；

(2)求甲獲得冠軍的概率.

19.(本小題12分)

已知拋物線E：y=%2,過點(diǎn)T(l,2)的直線與E交于4B兩點(diǎn)，設(shè)E在點(diǎn)力，B處的切線分別為％和%，人與%

的交點(diǎn)為P.

(1)若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(一1,1),求小04B的面積(。為坐標(biāo)原點(diǎn))；

(2)證明：點(diǎn)P在定直線上.

參考答案

l.c

2.5

3.D

4.0

5.C

6.A

1.D

8.B

9.BCD

1Q.BD

11.RC

X1工36

1

4.3-

15.解：（1）

22

因?yàn)樨?c-a=24,SBABC=12,

22

所以+c-a=2ShABC=bcsinA.

所以———.......=-sin>l,得2cos/=sinA即tan/=2.

2bc2

（2）

因?yàn)閠anZ=2,

（sin__?

所以「osA一解得sinZ=±

^sin2A+cos2A=1

因?yàn)閠anA=2>0,且人為三角形的內(nèi)角，所以sin4=1^,cos/=餐,

又因?yàn)閨bcsinA=：*2V-5cx=12,所以c=6.

因?yàn)锽D=2DC,r.AD+|ZC.

所以而2=6荏+l^2=6荏）2+（|硝2+2g|^Qg罔）cos4

匚匚2丁小“，80,16164

所以4D=4+—+—=—,

所以2。=空

16.解：(1)令x＜0,則一比＞0,又/(尤)是定義在R上的奇函數(shù),

所以可得/(x)--/(—x)——[―(-x)2+2(-x)]-x2+2%.

又/(0)=0,

故函數(shù)/O)的解析式為/O)=廳二2久，久10，

(2)根據(jù)題意作出/(x)的圖象如下圖所示：

/(-1)=-1,/(1)=1,

若函數(shù)g(x)=f(x)+zn在R上有三個零點(diǎn)，即方程/(￡)+m=。有三個不等的實(shí)數(shù)根，

所以函數(shù)/(X)與y=-有三個不同的交點(diǎn)，

由圖可知當(dāng)—1＜一小＜1,即-1＜巾＜1時，函數(shù)/(久)與y=-爪有三個不同的交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)有三個

零點(diǎn).

故機(jī)的取值范圍是

17J?：(1)證明：在四棱錐P—A8CD中，P4_L平面ABC。，CDu平面48CD,

貝l|PA1CD,又2D1CD,

因?yàn)镻4nAD=a,PA,4。u平面PAO,所以CD1平面PAD,

因?yàn)?Mu平面PAD,所以2M1C。，

因?yàn)?P=4D,點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，所以4M1PD,

因?yàn)镃DnPD=D,CD,PCu平面PCD,

所以4M_L平面PCD,

因?yàn)?Mu平面4MN,所以平面4MN_1_平面2。。；

(2)由(1)知CD_L平面PAD,又PDu平面PAD,貝!!CD1PD,

因?yàn)镻214。，PA=4。=2,DC=2＜2,點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，

所以PD=272,PM=y[2,PC=<PD2+CD2=/8T8=4,

因?yàn)辄c(diǎn)N為PC的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)P）,

所以PN=1,

因?yàn)镻D=CD,CD1PD,所以NCPM=45。，

所以由余弦定理得：

MN=VPN2+PM2-2PN-PMcos45°=J1+2-2X1X<2X=1,

所以PN?+MN2=PM2,所以PN1MN,

因?yàn)榱_L平面PCD,所以力MlMN,

設(shè)點(diǎn)P到平面4MN的距離為九，

111

11九

-XXX--X-XX

所以三棱錐P-4MN的體積/TMN=VA_PMNn4x232

所以h=1.

18.解：（1）甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示,

36

甲冠軍

乙

其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者

i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，

第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為三而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性

相同.

乙獲連負(fù)兩場，所以1、4均負(fù)，

所以乙獲連負(fù)兩場的概率為P==

（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：

1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝，

所以甲獲得冠軍的概率為：P=G）3+2x給3x5=胃.

19.解：(1)直線的斜率七二件八二，

直線4B的方程為y-1=1(%+1),即久一2y+3=0,

聯(lián)立方程『一2,+3=。,

(y=x

整理得2%2一%一3=0,

設(shè)/(%1，好)，8(%2,好)，