2.5.2 三角函數(shù)的應(yīng)用-坡度、坡角問題 同步練習(xí)

第二章直角三角形的邊角關(guān)系5三角函數(shù)的應(yīng)用第2課時(shí)三角函數(shù)的應(yīng)用——坡度、坡角問題基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的應(yīng)用——坡度、坡角問題1.(2021重慶中考B卷)如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點(diǎn)水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4，坡頂D到BC的距離DE=50米(點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi))，在點(diǎn)D處測得建筑物頂點(diǎn)A的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為()(參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)A.69.2米 B.73.1米 C.80.0米 D.85.7米2.(2020山東濟(jì)寧中考)如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°.若斜面AB的坡度為1∶3，則斜坡AB的長是米.

3.如圖，大樓AB前有一段65米長的坡道DB，坡道的坡度i=1∶2，在坡道的底端D處看大樓頂端A的仰角為60°，已知AB⊥DC于C，點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi)，則大樓AB的高度為米(結(jié)果保留根號(hào)).

4.(2021四川涼山州中考)王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測量河對岸大樹AB的高度，他在點(diǎn)C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走210米到達(dá)斜坡上D點(diǎn)，在點(diǎn)D處測得大樹頂端A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比i=1∶3(點(diǎn)E、C、B在同一水平線上).(1)求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度；(2)求大樹AB的高度(結(jié)果保留根號(hào)).能力提升全練5.(2022海南中考)無人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛.如圖所示，小明利用無人機(jī)測量大樓的高度，無人機(jī)在空中P處，測得樓CD樓頂D處的俯角為45°，測得樓AB樓頂A處的俯角為60°.已知樓AB和樓CD之間的距離BC為100米，樓AB的高度為10米，從樓AB的A處測得樓CD的D處的仰角為30°(點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)).(1)填空：∠APD=°，∠ADC=°；

(2)求樓CD的高度(結(jié)果保留根號(hào))；(3)求此時(shí)無人機(jī)距離地面BC的高度.6.(2021四川遂寧中考)小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在A處看到B、C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在A處測得B在北偏西45°方向，C在北偏東30°方向，他從A處走了20米到達(dá)B處，又在B處測得C在北偏東60°方向.(1)求∠C的度數(shù)；(2)求兩棵銀杏樹B，C之間的距離(結(jié)果保留根號(hào)).7.(2022四川廣元中考)地鐵以及地下停車場、隧道、下水道組成城市地下防御交通網(wǎng)，足以應(yīng)對大部分常規(guī)戰(zhàn)爭的威脅.如圖，某城市計(jì)劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF.在點(diǎn)E處測得山頂A的仰角為45°，在距E點(diǎn)80m的C處測得山頂A的仰角為30°，從與F點(diǎn)相距10m的D處測得山頂A的仰角為45°，點(diǎn)C、E、F、D在同一條直線上，求隧道EF的長度.素養(yǎng)探究全練8.(2022四川內(nèi)江中考)如圖所示，九(1)班數(shù)學(xué)興趣小組為了測量河對岸的古樹A，B之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線l上取相距60米的C，D兩點(diǎn)，測得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°.(1)求河的寬度；(2)求古樹A，B之間的距離.(結(jié)果保留根號(hào))

第二章直角三角形的邊角關(guān)系5三角函數(shù)的應(yīng)用第2課時(shí)三角函數(shù)的應(yīng)用——坡度、坡角問題答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.D∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4，∴DE∶CE=5∶12.∵DE=50米，∴CE=120米.∵BC=150米，∴BE=150-120=30(米).∴AB=30×tan50°+50≈85.7(米).故選D.2.203解析設(shè)斜坡AB的坡角為α.∵斜面AB的坡度為1∶3，∴tanα=13=33.∵在P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，∴∠HBP=60°，∠APB=45°.∴∠PBA=90°.∴∠BAP=45°.∴PB=AB.∵PB=PHsin∠HBP=30sin60°=203(米)3.(123-6)解析∵坡道BD的坡度i=1∶2，∴tan∠BDC=BCDC設(shè)BC=x米，x>0，則DC=2x米，∵AB⊥DC，∴∠ACD=90°.在Rt△BCD中，由勾股定理，得DC2+BC2=BD2，即(2x)2+x2=(65)2，∴x=6.∴CD=12米，BC=6米.在Rt△ADC中，∠ADC=60°，∴AC=DC·tan60°=123米，∴AB=AC-BC=(123-6)米.4.解析(1)如圖，過點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H.∵斜坡CF的坡比i=1∶3，∴DHCH設(shè)DH=x米，x>0，則CH=3x米，由勾股定理，得DH2+CH2=DC2，即x2+(3x)2=(210)2，∴x=2.∴DH=2米.答：王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度為2米.(2)如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BC=a米.∵∠DHB=∠DGB=∠ABC=90°，∴四邊形DHBG為矩形.∴BG=DH=2米，DG=BH=(a+6)米.∵∠ACB=45°，∴BC=AB=a米.∴AG=(a-2)米.∵∠ADG=30°，∴tan∠ADG=tan30°=AGDG=3∴a=6+43.∴AB=(6+4答：大樹AB的高度是(6+43)米.能力提升全練5.解析(1)75；60.(2)如圖，過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，則AE=BC=100米，EC=AB=10米.在Rt△AED中，∠DAE=30°，∴DE=AE·tan30°=100×33=∴CD=DE+EC=10033∴樓CD的高度為10033(3)如圖，在(2)的基礎(chǔ)上，作PG⊥BC于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)F，則∠PFA=∠AED=90°，F(xiàn)G=AB=10米，∵M(jìn)N∥AE，∴∠PAF=∠MPA=60°.∵∠ADE=60°，∴∠PAF=∠ADE.∵∠DAE=30°，∴∠PAD=30°.∵∠APD=75°，∴∠ADP=75°.∴∠ADP=∠APD.∴AP=AD.∴△APF≌△DAE.∴PF=AE=100米.∴PG=PF+FG=100+10=110(米).∴無人機(jī)距離地面BC的高度為110米.6.解析(1)由題意，得∠BAC=45°+30°=75°，∠BDA=∠DBE=60°，∴∠ABC=180°-60°-45°=75°，∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-75°-75°=30°.(2)如圖，過點(diǎn)B作BG⊥AD于G，則∠AGB=∠BGD=90°.在Rt△AGB中，AB=20米，∠BAG=45°，∴AG=BG=20×sin45°=102(米).在Rt△BGD中，∠BDG=60°，∴BD=BGsin60°=2063米，∵∠C=∠CAD=30°，∴CD=AD=AG+DG=102+1063∴BC=BD+CD=(102+106答：兩棵銀杏樹B，C之間的距離為(102+1067.解析如圖，過點(diǎn)A作AH⊥DE于H，設(shè)EH=xm.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH·tan45°=xm.∵CE=80m，∴CH=CE+EH=(80+x)m.在Rt△ACH中，∠ACH=30°，∴tan30°=AHCH=∴AH=EH=(403+40)m.在Rt△AHD中，∠ADH=45°，∴DH=AHtan45°=(403+40)m∴EF=EH+DH-DF=(803+70)m.∴隧道EF的長度為(803+70)m.素養(yǎng)探究全練8.解析(1)如圖，過點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E.設(shè)CE=x米，∵CD=60米，∴DE=CE+CD=(x+60)米.∵∠ACB=15°，∠BCD=120°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45°.在Rt△AEC中，AE=CE·tan∠ACE=CE·tan45°=x米.在Rt△ADE中，∠ADE=30°，tan∠ADE=AEED∴tan30°=xx+60∴AE=(303+30)