23.2 解直角三角形及其應用 同步練習

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其應用基礎過關全練知識點1解直角三角形1.(2023安徽合肥五十中期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，已知b及∠B，則斜邊長為()A.bsinB B.bsinB C.bcosB 2.如圖，在△ABC中，AB=3，sinB=23，∠C=45°，則AC的長為.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，根據(jù)下列條件解直角三角形.(1)b=23，c=4；(2)∠A=30°，b=83；(3)c=8，∠A=45°.4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線與BC，AB的交點分別為D，E.若AD=10，sin∠ADC=45，求AC的長和tanB的值知識點2測量問題5.如圖，在中俄“海上聯(lián)合”反潛演習中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°.位于軍艦A正上方500米的反潛直升機B測得潛艇C的俯角為68°.求潛艇C的下潛深度.(結果保留整數(shù))(sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)6.(2020安徽中考)如圖，山頂上有一個信號塔AC，已知AC=15米，在山腳下點B處測得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔頂A的仰角∠ABD=42.0°，求山CD的高(點A，C，D在同一條豎直線上).(參考數(shù)據(jù)：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90)7.為了測量一條兩岸平行的河流的寬度，三個數(shù)學研究小組設計了不同的方案，他們在河南岸的點A處測得河北岸的樹H恰好在A的正北方向，如圖，測量方案與數(shù)據(jù)如下表：課題測量河流的寬度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量小組第一小組第二小組第三小組測量方案示意圖說明點B，C在點A的正東方向點B，D在點A的正東方向點B在點A的正東方向，點C在點A的正西方向測量數(shù)據(jù)BC=60m，∠ABH=70°，∠ACH=35°BD=20m，∠ABH=70°，∠BCD=35°BC=101m，∠ABH=70°，∠ACH=35°(1)哪個小組的數(shù)據(jù)無法計算出河寬?(2)請選擇其中一個方案用其數(shù)據(jù)求出河寬(精確到0.1m)；(參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70)(3)計算的結果和實際河寬有誤差，請?zhí)岢鲆粭l減小誤差的合理化建議.知識點3方向角問題8.如圖，琪琪開車從A地出發(fā)，沿著北偏東60°方向行駛，到達O地后沿著南偏西40°方向行駛來到B地，且B地恰好位于A地正東方向，則下列說法正確的是()A.O地在B地的北偏東50°方向上 B.∠AOB=30°C.A地在O地的南偏西60°方向上 D.sin∠BAO=39.為了維護國家主權和海洋權力，海監(jiān)部門對我國領海進行常態(tài)化巡航.如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達B處，此時測得燈塔P在北偏東45°方向上.(1)AB=海里，∠APB=度；

(2)已知在燈塔P的周圍35海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全?請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73)知識點4坡度、坡角問題10.如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡度是1∶3，堤高BC=6m，則坡面AB的長是()A.23m B.6m C.63m D.12m11.如圖，一段鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，路基的上底寬AD為3米，路基高為1米，斜坡AB的坡度=1∶1.5，那么路基的下底寬BC是米.

12.如圖所示的是某區(qū)規(guī)劃建設的過街天橋的側面示意圖，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨橋，兩腰AB，CD表示橋兩側的斜坡，A，D兩點在地面上，已知AD=40m，設計橋高為4m，設計斜坡的坡度為1∶2.4.點A左側25m的點P處有一棵古樹，有關部門劃定了以P為圓心，半徑為3m的圓形保護區(qū).(1)求主跨橋與橋兩側斜坡的長度之和；(2)為了保證橋下大貨車的安全通行，橋高要增加到5m，同時為了方便自行車及電動車上橋，新斜坡的坡度要減小到1∶4，新方案主跨橋的水平位置和長度保持不變(如圖).另外，新方案要修建一個緩坡MN作為輪椅坡道，坡道終點N在左側的新斜坡上，并在點N處安裝無障礙電梯，坡道起點M在A'P上，且不能影響到古樹的圓形保護區(qū).已知點N距離地面的高度為0.9m，請利用表中的數(shù)據(jù)，通過計算判斷輪椅坡道的設計是否可行.表：輪椅坡道的最大高度和水平長度坡度1∶201∶161∶121∶101∶8最大高度(m)1.200.900.750.600.30水平長度(m)24.0014.409.006.002.40能力提升全練13.(2023安徽懷遠期末)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC邊于點D，DE⊥AB于點E，若BD=5，cosB=45，求AC的長14.(2022安徽中考)如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.求A，B兩點間的距離.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)15.(2021安徽中考)學生到工廠勞動實踐，學習制作機械零件.零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點B、C分別在EF、DF上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10cm，BC=6cm.求零件的截面面積.參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60.16.(2018安徽中考)為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD，并在地面上水平放置一個平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示.該小組在標桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A(此時∠AEB=∠FED)，在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3°，平面鏡E的俯角為45°，F(xiàn)D=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米?(平面鏡大小忽略不計)(結果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)素養(yǎng)探究全練17.線上教學期間，很多同學采用筆記本電腦學習，九年級一班同學為保護眼睛，開展實踐探究活動.如圖，當張角∠AOB=150°時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC=11cm，此時用眼舒適度不太理想.小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識發(fā)現(xiàn)當張角∠A'OB=108°時(點A'是A的對應點)，用眼舒適度較為理想.求此時頂部邊緣A'處離桌面的高度A'D.(結果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)18.知識再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.∵sinA=ac，sinB=b∴c=asinA，c=∴asinA=(1)拓展探究：如圖2，在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.請?zhí)骄縜sinA，bsin(2)解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側的點C，測得AC=60m，∠A=75°，∠C=60°.請用拓展探究中的結論，求點A到點B的距離.

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其應用答案全解全析基礎過關全練1.B∵∠C=90°，sinB=bc，cosB=ac，∴c=bsin2.22解析過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，AB=3，sinB=ADAB=2∴AD=AB·sinB=3×23∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴AC=ADsin45°=2223.解析(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=23，c=4，∴a=c2?b2=42?(23)2=2∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°.（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°.∵tanA=ab=33，b=8∴a83=33，∴a=8.∵sinB=bc=32，b=83，∴83(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=90°-∠A=45°=∠A，∴a=b.∵sinA=ac=22，c=8，∴a8=22，∴a=42，∴4.解析在Rt△ACD中，AD=10，sin∠ADC=45∴AC=AD·sin∠ADC=10×45∴CD=AD2?∵直線DE是AB的垂直平分線，∴DB=DA=10，∴BC=CD+DB=16，在Rt△ABC中，tanB=ACBC=816=∴AC的長為8，tanB的值為125.解析過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D(圖略)，則AD即為潛艇C的下潛深度，根據(jù)題意得∠ACD=30°，∠BCD=68°，設AD=x米，則BD=BA+AD=(500+x)米，在Rt△ACD中，CD=ADtan∠ACD=xtan30°=在Rt△BCD中，BD=CD·tan68°=3x·tan68°(米)，∴500+x=3x·tan68°，解得x=5003·tan68°?1∴潛艇C的下潛深度為154米.6.解析在Rt△ABD中，tan∠ABD=tan42.0°=ADBD∴AD=tan42.0°·BD≈0.9BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD=tan36.9°=CDBD∴CD=tan36.9°·BD≈0.75BD，∵AC=AD-CD，∴15=0.15BD，∴BD=100米，∴CD=0.75BD=75米.答：山CD的高為75米.7.解析(1)第二小組的數(shù)據(jù)無法計算出河寬.(2)選擇第一小組.∵∠ABH=∠ACH+∠BHC，∠ABH=70°，∠ACH=35°，∴∠BHC=35°=∠BCH，∴BH=BC=60m，∴AH=BH·sin70°≈60×0.94=56.4(m).選擇第三小組.設AH=xm，則CA=AHtan35°≈x0.70m，AB=AHtan70°∵CA+AB=CB，∴x0.70+x2.75=101，解得x≈56.答：河寬約為56.4m.(3)減小誤差的合理化建議：為了減小誤差可以多次測量取平均值.8.C如圖，過O作OC⊥直線AB于C，作BD∥AE，∴OC∥BD，OC∥AE，∴∠DBO=∠BOC=40°，∴O地在B地的北偏東40°方向上，故A錯誤；∵OC∥AE，∴∠AOC=∠EAO=60°，∴A地在O地的南偏西60°方向上，故C正確；∵∠AOC=60°，∠BOC=40°，∴∠AOB=20°，故B錯誤；∵∠EAC=90°，∠EAO=60°，∴∠BAO=30°，∴sin∠BAO=12，故D錯誤解析(1)AB=60×12=30(海里).由題意得∠PAB∠ABP=90°+45°=135°，∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-30°-135°=15°.(2)海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全，理由如下：過P作PH⊥直線AB于H，如圖：易得△PBH是等腰直角三角形，∴BH=PH，設BH=PH=x海里，在Rt△APH中，tan∠PAB=tan30°=PHAH=33，即xx+30=33，解得x∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全.10.D∵迎水坡AB的坡度是1∶3，∴BC∶AC=1∶3，∵BC=6m，∴AC=63m，∴AB=BC2+A11.6解析過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，則四邊形AEFD為矩形，∴EF=AD=3米，AE=DF=1米.∵斜坡AB的坡度=1∶1.5，∴BE=1.5米.∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴FC=BE=1.5米，∴BC=BE+EF+FC=1.5+3+1.5=6(米).12.解析(1)如圖，過點B、C分別作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，由題意得BE=CF=4m，∵斜坡AB的坡度為1∶2.4，即BEAE=1∴AE=4×2.4=9.6(m)，∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AE=DF=9.6m，∴AB=CD=AE2+BE易知BC=EF，則BC=EF=AD-AE-DF=20.8(m)，∴主跨橋與橋兩側斜坡的長度之和為AB+BC+CD=10.4+20.8+10.4=41.6(m).答：主跨橋與橋兩側斜坡的長度之和為41.6m.(2)連接BB'、CC'，易知B'、B、E三點共線，C'、C、F三點共線，過點N作NG⊥AP于點G，∵斜坡A'B'的坡度為1∶4，B'E=5m，NG=0.9m，∴A'E=4B'E=5×4=20(m)，A'G=4NG=4×0.9=3.6(m)，∴AA'=20-9.6=10.4(m)，∴AG=10.4-3.6=6.8(m)，∴點M到點G的最大距離為25-6.8-3=15.2(m)，∵15.2>14.4，∴輪椅坡道的設計可行.能力提升全練13.解析在Rt△BDE中，cosB=BEBD=45，BD=5，∴∴DE=BD2?∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=3，∴BC=5+3=8，∵cosB=45，∴8AB=∴AB=10，∴AC=102?14.解析如圖，∵CE∥AD，∴∠A=∠ECA=37°，∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°，∴∠ABD=90°，易知∠BDC=90°-53°=37°，在Rt△BCD中，CD=90米，cos∠BDC=BDCD∴BD=CD·cos37°≈90×0.80=72(米)，在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=72米，tanA=BDAB∴AB=BDtan37°≈720.75答：A，B兩點間的距離約為96米.15.解析∵四邊形AEFD為矩形，∴AD∥EF，∠E=∠F=90°，∵∠BAD=53°，∴∠EBA=∠BAD=53°，在Rt△ABE中，∠E=90°，AB=10，∠EBA=53°，sin∠EBA=AEAB，cos∠EBA=BE∴AE=AB·sin53°≈10×0.80=8，BE=AB·cos53°≈10×0.60=6，∵∠ABC=90°，∴∠FBC=90°-∠EBA=37°，∴∠BCF=90°-∠FBC=53°，在Rt△BCF中，∠F=90°，BC=6，sin∠BCF=BFBC，cos∠BCF=FC∴BF=BC·sin53°≈6×0.80=245，F(xiàn)C=BC·cos53°≈6×0.60=18∴EF=6+245=545，∴S四邊形EFDA=AE·EF=8×545S△ABE=12·AE·BE=1S△BCF=12·BF·CF=12×245×18∴截面的面積=S四邊形EFDA-S△ABE-S△BCF=4325-24-21625=531925(cm16.解析由題意易得，在Rt△DEF中，∠FDE=90°，∠FED=45°，∴DE=DF=1.8