28.4 垂徑定理 同步練習(xí)

第二十八章圓28.4垂徑定理*基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理1.如圖，在☉O中，AB是直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，下列結(jié)論中一定正確的是()A.AE=OE B.∠COE=30° C.CD=CB D.CE=2.(2022黑龍江牡丹江中考)如圖，在☉O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若☉O的半徑為2，則弦AB的長(zhǎng)為.

[變式]如圖所示，在☉O中，弦AB的長(zhǎng)為4，圓心到弦AB的距離為2，則∠AOC的度數(shù)為.

知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理的應(yīng)用3.(2021廣西柳州中考)往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水后，截面圖如圖所示，若水面寬度AB=24cm，則水的最大深度為()A.5cm B.8cm C.10cm D.12cm4.(2022四川自貢中考)一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦AB長(zhǎng)20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為厘米.

能力提升全練5.(2022湖北荊門(mén)中考)如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB=12，BE=3，則四邊形ACBD的面積為()A.363 B.243 C.1836.(2022河北廊坊六中期中)如圖，已知☉O的半徑為6cm，P是☉O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3cm，則過(guò)點(diǎn)P的所有弦中，弦長(zhǎng)是整數(shù)的共有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條7.(2022安徽中考)已知☉O的半徑為7，AB是☉O的弦，點(diǎn)P在弦AB上.若PA=4，PB=6，則OP的長(zhǎng)為()A.14 B.4 C.23 8.(2022黑龍江牡丹江中考)☉O的直徑CD=10，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM∶OC=3∶5，則AC的長(zhǎng)為.

9.(2022貴州遵義中考)數(shù)學(xué)小組研究如下問(wèn)題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28°緯線(xiàn)的長(zhǎng)度.小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：信息一：在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線(xiàn)；信息二：如圖，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長(zhǎng)就是北緯28°緯線(xiàn)的長(zhǎng)度；(參考數(shù)據(jù)：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)根據(jù)以上信息，北緯28°緯線(xiàn)的長(zhǎng)度約為千米.

10.(2022河北中考)如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線(xiàn)MN∥AB.嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點(diǎn)M的俯角為7°.已知爸爸的身高為1.7m.(1)求∠C的大小及AB的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線(xiàn)段DH，用其長(zhǎng)度表示最大水深(不說(shuō)理由)，并求最大水深約為多少米(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).(參考數(shù)據(jù)：tan76°取4，17取4.1)素養(yǎng)探究全練11.(2022貴州六盤(pán)水中考)牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的風(fēng)景描繪中有半個(gè)月亮掛在山上，月亮之上有個(gè)“齊天大圣”守護(hù)洞口的傳說(shuō).真實(shí)情況是老王山上有個(gè)月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來(lái)爬去，下圖是月亮洞的截面示意圖.(1)科考隊(duì)測(cè)量出月亮洞的洞寬CD約是28m，洞高AB約是12m，通過(guò)計(jì)算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個(gè)月亮，求半徑OC的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1m)；(2)若∠COD=162°，點(diǎn)M在CD上，求∠CMD的度數(shù)，并用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為什么“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂CD上巡視時(shí)總能看清洞口CD的情況.

第二十八章圓28.4垂徑定理*答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.D根據(jù)☉O的直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，可知CE=DE.2.答案23解析如圖，連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=12OC=1∴AD=OA∵OC⊥AB，OC為☉O的半徑，∴AB=2AD=23.[變式]答案45°解析∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB∵OC=2，∴△AOC為等腰直角三角形，∴∠AOC=45°.3.B如圖，連接OB，作OC⊥AB于點(diǎn)D，交☉O于點(diǎn)C.∵OC⊥AB，AB=24cm，∴BD=12AB=12cm在Rt△OBD中，OD=OB2∴CD=OC-OD=13-5=8(cm)，即水的最大深度為8cm.4.答案26解析如圖，點(diǎn)O是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC，則點(diǎn)C，D，O三點(diǎn)共線(xiàn)，由題意可得OC⊥AB，∴AC=12AB=10(厘米)，設(shè)鏡面半徑為x厘米，則OC=(x-2)厘米，在Rt△ACO中，由勾股定理可得x2=102+(x-2)2，∴x=26，∴鏡面半徑為26厘米能力提升全練5.A如圖，連接OC，∵AB=12，∴OB=OC=6，∵BE=3，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴∠OEC=90°，在Rt△COE中，EC=OC∴CD=2CE=63，∴四邊形ACBD的面積=126.C如圖，過(guò)點(diǎn)P作弦AB⊥OP，垂足為P，連接OA，則PA=PB，在Rt△POA中，PA=OA2∴AB=2AP=63cm，∴在過(guò)點(diǎn)P的所有☉O的弦中，最短的弦的長(zhǎng)為63cm，易知過(guò)點(diǎn)P的所有☉O的弦中，最長(zhǎng)的弦的長(zhǎng)為12cm，∵大于63，小于等于12的整數(shù)有11，12，且弦長(zhǎng)為11cm的弦有2條，∴弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦有3條.7.D如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，則OB=7，∵PA=4，PB=6，∴AB=PA+PB=10，∵OC⊥AB，∴AC=BC=5，∴PC=PB-BC=1，在Rt△OBC中，OC2=OB2-BC2=72-52=24，在Rt△OPC中，OP=OC28.答案45解析本題易忽略分類(lèi)討論而丟解.連接OA，已知OM∶OC=3∶5，設(shè)OC=5x，OM=3x(x>0)，∵CD=2OC=10，∴x=1，∴OA=OC=5，OM=3，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB在Rt△OAM中，OA=5，OM=3，∴AM=OA2當(dāng)M在OD上時(shí)，如圖1，CM=OC+OM=5+3=8，在Rt△ACM中，AC=AM圖1圖2當(dāng)M在OC上時(shí)，如圖2，CM=OC-OM=5-3=2，在Rt△ACM中，AC=AM綜上所述，AC的長(zhǎng)為45或29.答案33792解析如圖，作OK⊥BC于點(diǎn)K，則∠BKO=90°，∵BC∥OA，∠AOB=28°，∴∠B=∠AOB=28°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400千米，∴BK=OB·cosB≈6400×0.88=5632(千米)，∴北緯28°緯線(xiàn)的長(zhǎng)=2π·BK≈2×3×5632=33792(千米).10.解析(1)∵嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，∴∠CAB=14°，∠CBA=90°，∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76°，∵tanC=ABBC，BC=1.7m，∴tan76°=AB∴AB=1.7×tan76°=6.8(m).(2)如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MN，交MN于點(diǎn)D，交MN于點(diǎn)H，連接OM，∵OA=OM，∠BAM=7°，∴∠OMA=∠OAM=7°，∵AB∥MN，∴∠AMD=∠BAM=7°，∴∠OMD=∠OMA+∠AMD=14°，∴∠MOD=90°-∠OMD=76°，在Rt△MOD中，tan∠MOD=MDOD∴tan76°=MDOD，∴MD=4OD設(shè)OD=xm，則MD=4xm，在Rt△MOD中，OM=OA=12AB=3.4m∴x2+(4x)2=3.42，∵x>0，∴x=175=0.82，∴OD=0.82m∴DH=OH-OD=OA-OD=3.4-0.82=2.58≈2.6(m).答：最大水深約為2.6米.素養(yǎng)探究全練11.解析(1)設(shè)OA=OC=rm，∵OA⊥CD，∴CB=BD=12CD=14m在Rt△COB