28.4 垂徑定理 同步練習

第二十八章圓28.4垂徑定理*基礎過關全練知識點1垂徑定理1.如圖，在☉O中，AB是直徑，弦CD⊥AB于點E，下列結論中一定正確的是()A.AE=OE B.∠COE=30° C.CD=CB D.CE=2.(2022黑龍江牡丹江中考)如圖，在☉O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若☉O的半徑為2，則弦AB的長為.

[變式]如圖所示，在☉O中，弦AB的長為4，圓心到弦AB的距離為2，則∠AOC的度數(shù)為.

知識點2垂徑定理的應用3.(2021廣西柳州中考)往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內裝入一些水后，截面圖如圖所示，若水面寬度AB=24cm，則水的最大深度為()A.5cm B.8cm C.10cm D.12cm4.(2022四川自貢中考)一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為厘米.

能力提升全練5.(2022湖北荊門中考)如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB=12，BE=3，則四邊形ACBD的面積為()A.363 B.243 C.1836.(2022河北廊坊六中期中)如圖，已知☉O的半徑為6cm，P是☉O內一點，且OP=3cm，則過點P的所有弦中，弦長是整數(shù)的共有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條7.(2022安徽中考)已知☉O的半徑為7，AB是☉O的弦，點P在弦AB上.若PA=4，PB=6，則OP的長為()A.14 B.4 C.23 8.(2022黑龍江牡丹江中考)☉O的直徑CD=10，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM∶OC=3∶5，則AC的長為.

9.(2022貴州遵義中考)數(shù)學小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28°緯線的長度.小組成員查閱相關資料，得到如下信息：信息一：在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；信息二：如圖，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度；(參考數(shù)據(jù)：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為千米.

10.(2022河北中考)如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線MN∥AB.嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°.已知爸爸的身高為1.7m.(1)求∠C的大小及AB的長；(2)請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深(不說理由)，并求最大水深約為多少米(結果保留小數(shù)點后一位).(參考數(shù)據(jù)：tan76°取4，17取4.1)素養(yǎng)探究全練11.(2022貴州六盤水中考)牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的風景描繪中有半個月亮掛在山上，月亮之上有個“齊天大圣”守護洞口的傳說.真實情況是老王山上有個月亮洞，洞頂上經常有猴子爬來爬去，下圖是月亮洞的截面示意圖.(1)科考隊測量出月亮洞的洞寬CD約是28m，洞高AB約是12m，通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個月亮，求半徑OC的長(結果精確到0.1m)；(2)若∠COD=162°，點M在CD上，求∠CMD的度數(shù)，并用數(shù)學知識解釋為什么“齊天大圣”點M在洞頂CD上巡視時總能看清洞口CD的情況.

第二十八章圓28.4垂徑定理*答案全解全析基礎過關全練1.D根據(jù)☉O的直徑AB⊥弦CD于點E，可知CE=DE.2.答案23解析如圖，連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=12OC=1∴AD=OA∵OC⊥AB，OC為☉O的半徑，∴AB=2AD=23.[變式]答案45°解析∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB∵OC=2，∴△AOC為等腰直角三角形，∴∠AOC=45°.3.B如圖，連接OB，作OC⊥AB于點D，交☉O于點C.∵OC⊥AB，AB=24cm，∴BD=12AB=12cm在Rt△OBD中，OD=OB2∴CD=OC-OD=13-5=8(cm)，即水的最大深度為8cm.4.答案26解析如圖，點O是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC，則點C，D，O三點共線，由題意可得OC⊥AB，∴AC=12AB=10(厘米)，設鏡面半徑為x厘米，則OC=(x-2)厘米，在Rt△ACO中，由勾股定理可得x2=102+(x-2)2，∴x=26，∴鏡面半徑為26厘米能力提升全練5.A如圖，連接OC，∵AB=12，∴OB=OC=6，∵BE=3，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴∠OEC=90°，在Rt△COE中，EC=OC∴CD=2CE=63，∴四邊形ACBD的面積=126.C如圖，過點P作弦AB⊥OP，垂足為P，連接OA，則PA=PB，在Rt△POA中，PA=OA2∴AB=2AP=63cm，∴在過點P的所有☉O的弦中，最短的弦的長為63cm，易知過點P的所有☉O的弦中，最長的弦的長為12cm，∵大于63，小于等于12的整數(shù)有11，12，且弦長為11cm的弦有2條，∴弦長為整數(shù)的弦有3條.7.D如圖，過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，則OB=7，∵PA=4，PB=6，∴AB=PA+PB=10，∵OC⊥AB，∴AC=BC=5，∴PC=PB-BC=1，在Rt△OBC中，OC2=OB2-BC2=72-52=24，在Rt△OPC中，OP=OC28.答案45解析本題易忽略分類討論而丟解.連接OA，已知OM∶OC=3∶5，設OC=5x，OM=3x(x>0)，∵CD=2OC=10，∴x=1，∴OA=OC=5，OM=3，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB在Rt△OAM中，OA=5，OM=3，∴AM=OA2當M在OD上時，如圖1，CM=OC+OM=5+3=8，在Rt△ACM中，AC=AM圖1圖2當M在OC上時，如圖2，CM=OC-OM=5-3=2，在Rt△ACM中，AC=AM綜上所述，AC的長為45或29.答案33792解析如圖，作OK⊥BC于點K，則∠BKO=90°，∵BC∥OA，∠AOB=28°，∴∠B=∠AOB=28°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400千米，∴BK=OB·cosB≈6400×0.88=5632(千米)，∴北緯28°緯線的長=2π·BK≈2×3×5632=33792(千米).10.解析(1)∵嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，∴∠CAB=14°，∠CBA=90°，∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76°，∵tanC=ABBC，BC=1.7m，∴tan76°=AB∴AB=1.7×tan76°=6.8(m).(2)如圖，過點O作OH⊥MN，交MN于點D，交MN于點H，連接OM，∵OA=OM，∠BAM=7°，∴∠OMA=∠OAM=7°，∵AB∥MN，∴∠AMD=∠BAM=7°，∴∠OMD=∠OMA+∠AMD=14°，∴∠MOD=90°-∠OMD=76°，在Rt△MOD中，tan∠MOD=MDOD∴tan76°=MDOD，∴MD=4OD設OD=xm，則MD=4xm，在Rt△MOD中，OM=OA=12AB=3.4m∴x2+(4x)2=3.42，∵x>0，∴x=175=0.82，∴OD=0.82m∴DH=OH-OD=OA-OD=3.4-0.82=2.58≈2.6(m).答：最大水深約為2.6米.素養(yǎng)探究全練11.解析(1)設OA=OC=rm，∵OA⊥CD，∴CB=BD=12CD=14m在Rt△COB