2025屆百師聯(lián)盟高三一輪復習聯(lián)考（一）數(shù)學試卷（含答案解析）

2025屆百師聯(lián)盟高三一輪復習聯(lián)考（一）數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.命題“VXER,J/—sin%>0”的否定是（）

2

12

A.3XER,—x-sinx<0B.GR,—x2-sinx<0

22

191.八

C.VXGR,—x-sinx<0D.VXGR,—x2-sinx<0

22

2.若全集U=R,集合/=卜32=耳,,5=<27),則/n向3）=（）

A.(0,3)B.(3,+oo)C.[3,+oo)D.[0,3]

3.在復平面內(nèi)，復數(shù)z=（3+i）（l-i）對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.已矢口5由（戊+os(2a—；]二()

1--+COS6Z,貝Ue

113

A.——B.-c.ND.

2244

-X3+ax'-a+4,x>0,

5.函數(shù)/(x)=<3在R上單調(diào)，則a的取值范圍是()

ax+cosx,x<0,

A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)

6.若15嘀‘2/=6x10嘀貝1"=()

A.60B.45C.30D.15

［一一無］.則函數(shù)g（x）=asinx+cosx的圖象的

7.已知函數(shù)[(x)=sinx+acosx且=/

一個對稱軸可以為（）

71571一7兀

A.x=—B.x=-C.x=—D.x=兀

666

8.已知。為坐標原點，點尸為函數(shù)y=cosx圖象上一動點，當點尸的橫坐標分別為言,J

1286

時，對應的點分別為用6,則下列選項正確的是（）

試卷第1頁，共4頁

A.|。耳|>|沖|>|。號B.\OPX\>\OP3\>\OP2\

c.3i>3i>QWD.I。巴|>|?！陓>|。6I

二、多選題

9.設4，Z2為復數(shù)，且z,wO,則下列結論正確的是()

A.匕色卜團"IB.Zl+z2=Zl+z2

C.若團=團,則z；=z；D.z\'z2~Z\'z2

10.函數(shù)/(%)=然皿5：+9,4〉0心>0,囤<|^的部分圖象如圖所示，貝lj()

A.該圖像向右平移￡個單位長度可得V=3sin2x的圖象

6

函數(shù)的圖像關于點卜看,)對稱

B.y=f(x)0

C.函數(shù)y=/(%)的圖像關于直線％二-言對稱

2冗71

D.函數(shù)y=f(x)在上單調(diào)遞減

36

11.已知定義域為R的函數(shù)/(x),對任意x/eR,都有“2無)+/(2y)=-/(x+y)/(x-y),

且"2)=2,則()

A./(0)=0B.1(X)為偶函數(shù)

C./(x+1)為奇函數(shù)D.f(x+4)=f(x)

填空題

試卷第2頁，共4頁

12.集合/=中的所有元素中最小的元素為.

13.與曲線/(x)=ei和g(x)=e'-1都相切的直線I的方程為.

14.方程COS(3TU)=X2的根的個數(shù)是.

四、解答題

15.已矢口函數(shù)/(x)=-sin[；x]-6cos(卜).

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)〃x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的;(縱坐標不變)，再將所得的函數(shù)圖象

上所有點向左平移9個單位長度，得到函數(shù)g(M的圖象，求g(x)在區(qū)間卜,鼻上的最大值，

3L

并求出g(x)取得最大值時自變量X的值.

16.函數(shù)y=的導函數(shù)為數(shù)(X),函數(shù)/'(X)的導函數(shù)是/"(x),已知函數(shù)

f(x)=x3-4ax2—3a2x+2.

⑴若/"(4)=0,求。的值和函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若廣(優(yōu))=0(加>0),討論/(x)的零點個數(shù).

17.已知函數(shù)/(%)=cos2x+4sinx-cos2^-^.

jr2立

⑴若函數(shù)>=>0)在區(qū)間一萬,可上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

⑵集合/=卜匕4》^^13=刊/(勾一《|<2｝，若/U8=B,求實數(shù)加的取值范圍.

18.已知函數(shù)/'(x)=l。g2(2x+a+g1勺定義域為R.

(1)求“的取值范圍；

(2)當a=0時,判斷了(尤)的奇偶性,并解關于t的不等式+-2)

19.若函數(shù)/(X)在區(qū)間初上有定義，/(x)在區(qū)間M上的值域為N,且N=則稱M是

/(x)的一個“值域封閉區(qū)間”.

試卷第3頁，共4頁

⑴已知函數(shù)〃x)=31+2/,區(qū)間M=[0,4<>0)目葉是/(無)的一個，值域封閉區(qū)間”,求

/的取值范圍；

⑵已知函數(shù)8卜)=1!1卜+1)+73,設集合尸=卜|g(x)=x}.

(i)求集合?中元素的個數(shù)；

(ii)用表示區(qū)間可(。<6)的長度，設機為集合尸中的最大元素.證明：存在唯一長

度為優(yōu)的閉區(qū)間。，使得D是g(x)的一個“值域封閉區(qū)間”.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BBDACCBDABDABC

題號11

答案BCD

1.B

【分析】由全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結果.

【詳解】命題“VxeR,-sinx>0”的否定是FxeR,—x2-sinx<0,?.

22

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)集合間的基本運算可得.

【詳解】由題意可知，A={x\x>0},B={x\x<^\,

則的B={x|x>3},故/門(d可=(3,+s).

故選：B.

3.D

【分析】利用復數(shù)乘法運算可得z=4-2i,得出對應的點為(4,-2),可得結論.

【詳解】因為z=(3+D(l-i)=4-2i,所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為(4,-2),位于第四

象限.

故選：D.

4.A

【分析】根據(jù)題意整理可得sin(a-C[=蟲，以a-立為整體，結合倍角公式運算求解.

I6；26

整理可得——sina——cosa=sinla--

22I6

所以cos12a一；［=cos2(a一=1-2sin'=1-2x=一：

故選：A.

答案第1頁，共11頁

5.C

【分析】利用導數(shù)分別求解xVO和x>0時的單調(diào)性，再結合〃x)在R上遞增，可得

-a+4>1,即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當xWO時，fM=ax+cosx,依題需使

/''(X)=a-sinx20恒成立，貝

當x>0時，由+辦2-a+4在(0,+oo)上遞增，需使/'卜)=/+2axN0在(0,+oo)上

恒成立，則一a40,BPa>0；

又由〃x)在R上遞增，可得-a+421,解得。43.

綜上可得，。的取值范圍是口,3].

故選：C.

6.C

【分析】利用指數(shù)，對數(shù)的運算進行化簡求值即可.

【詳解】因為15嘀C1=6x10嘀”，

咐”6x10嘀力6x10喻，36xlO108153

所以"--------=--------------_3x]0bgi$3-1%2

15,og1-521.5嘀52x1()10122xIO108152

logl5-

=3x102=30-

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)g(x)的一個對稱軸，再由g(x)的周期為2兀，即可得到

結果.

【詳解】由題設有且可知

/(x)=g(T-x10717110兀

——工g------------\-x

23

故gX)=g[一中+X；所以g(x)的一個對稱軸為X=；[1■+]-一7兀

~6~

7IT57r

又g(X)的周期為2兀，故其另一個對稱軸為x=-?+2兀=?.

故選：B.

8.D

【分析】設P（x,cosx）,IJ1|J|OP|2=x2+cos2x,令y=/+cos2x,xe利用導數(shù)可得函

答案第2頁，共11頁

數(shù)為增函數(shù)，即得.

【詳解】設p(x,cosx),p1lj|(?p|2=X2+COS2X,

—則「…smx-X,

設g(x)=2x-sin2x,則g|x)=2-2cos2x>0,

所以g(x)=2x-sin2x在上為增函數(shù)，

故g(x)=2x-sin2x>g(0)=0,即y'=2x-sin2x>0,

/.y=/+cos2x在]0,?]上為增函數(shù)，

22

A|OP3|>|OP2F>[I,即|。6\>\OP2\>\OPX|.

故選：D.

9.ABD

【分析】根據(jù)題意，由復數(shù)的運算，代入計算，逐一判斷，即可得到結果.

【詳解】設馬=。+4，z2=c+di(a,b9c,dGR),

對于選項A,因為zv=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)if

所以匕2[=y](ac-bd)2+(ad+bc)2=-\la2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

且㈤目|=G7kH尹=歷行/7瓦尸7鏟，所以區(qū)zj=k|"|,故A正確;

對于選項B,因為4+Z2=(〃+c)+(b+d)i,Zj=a-bi,z2=c-di,

則馬+z2=(。+c)—(6+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i,

所以Zi+z2=Z]+4，故B正確；

對于選項C若㈤=㈤，例如%=1+1,z2=l-i,滿足㈤=n=亞,

但z；=(l+i)2=2i,zf=(l-i)2=-2i,即z；wz；,故C錯誤；

對于選項D,因為Z]?z2=(。+6i)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

所以Z1?Z2=(ac-bd)-(ad+bc)i,zi-z2=(a—Z7i)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i，

所以為丁2=馬,故D正確.

故選：ABD.

答案第3頁，共11頁

10.ABC

【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可判斷A選項.利用正弦型函

數(shù)的對稱性可判斷BC選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項；

【詳解】由圖象知，A=3,函數(shù)的周期7=44口=兀，則0=^=2,貝

/(x)=3sin(2x+^>),由=3得2x2+0=g+2E,4eZ,而|同<1,貝!|太=0,夕=m，

因此/3=3$112》+5.對于人，函數(shù)y=/(x)圖象向右平移1個單位長度，得

/1x-[]=3sin2x,即y=3sin2x的圖象，故A正確，

對于B,/|^-^=3sin^+^=0,則/(x)的圖象關于點卜寸稱，故B正確；

對于C,/f-^=3sinf-^+^=-3,則函數(shù)/(x)的圖象關于直線x=對稱，故C

I12J163J12

正確；

對于D,當時，2x+fe[-匹0],當2X+2=-R即x=_.時，仆)取得

最小值，所以函數(shù)y=/(x)在-事，-[上不單調(diào)，故D錯誤.

故選:ABC.

11.BCD

【分析】利用賦值法計算可得/(0)=-2,即A錯誤；令y=-x可得〃-2x)=〃2x)滿足偶

函數(shù)定義，即B正確；取尤=1/=0可得/'(x+l)=-/(-尤+1),可得/(x+1)為奇函數(shù)，即

C正確；利用奇函數(shù)性質(zhì)可得/(x+2)=-/(x),可得D正確.

【詳解】令》=>=1,得〃2)+/(2)=-*2)/(0),又八2)=2工0,所以/⑼=一2,故A錯

誤；

令廣一無得，〃2x)+/(-2x)=-/(2x)/@)=2/紅)，所以/(-2x)=/(2x),故〃x)為

偶函數(shù)，故B正確；

令x=l,y=0,得/(2)+/⑼=-/⑴=o,所以〃1)=0,

又X1-X)+〃1+X)=-〃1)/(T)=0,所以〃x+l)=-〃-x+l),

而/(x+1)的定義域是全體實數(shù)，所以/(x+1)為奇函數(shù)，故C正確;

答案第4頁，共11頁

由c可得〃x+l)+〃r+l)=o,也即y(x+2)+/(x)=0,所以〃x+2)=-所以

/(x+4)=-/(x+2)=/(x),故D正確.

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：在求解抽象函數(shù)問題時，經(jīng)常利用賦值法求出函數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)的奇

偶性進行周期、對稱性等性質(zhì)的判斷.

12.26

【分析】由—3+》之3巳+巧再結合基本不等式即可求解.

xx

【詳解】—y——Hx>2^/3,當x=y=6時，最小兀素N=26.

尤尤

故答案為：26.

13.y=x

【分析】設出切點，根據(jù)點斜式求解直線方程，即可得,,，進而

11%2

[e』'-x/=e*-x2e-1,

求解遍=0,占=1,代入即可求解.

【詳解】設直線/：/=區(qū)+6與/(x)的圖象相切于點8(王,“)，與g(x)的圖象相切于點

P](尤2,%)，

又/'(x)=e*g'(x)=e)且"=砂~,%=e*2-l.

曲線發(fā)/(%)在點8(須,必)處的切線方程為了一(x-xj,

曲線N=g(x)在點呂優(yōu),為)處的切線方程為V-鏟+1=e*(x-%.

故《一,；解得再f=l,e*(再-％)=1,

1122

[e-^e=e-x2e-1,

=

故x20,Xy=1

V-Vex,-1-eX2+1

故左=江上=^―t——=1,故直線/的方程為＞=x.

-x21

故答案為：y=x.

14.6

答案第5頁，共11頁

【分析】方程COS(3口)=x2的根的個數(shù)即函數(shù)〃(無)=X2和g(x)=cos(3口)圖象交點的個數(shù),

分別在同一直角坐標系下作出兩個函數(shù)的圖象即可求解.

【詳解】設函數(shù)和g(x)=cos(3?),

由g(x)=cos(3m)為偶函數(shù)，周期？=三27T=；7,

3兀3

2

g(0)=1-g=cos2K=1,

可作出函數(shù)%(x)=尤2和g(x)=COS(3口)的大致圖象，如圖,

由圖可得，兩個函數(shù)的圖象共有6個交點，即方程cos(3亦)=/的根有6個,

故答案為：6.

7T.,771,

15.(1)—+4^71,——■F4左兀,kEZJ.

(2)最大值為2,x=：

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式可得/(x)=2sin]：x-即可利用整體法求解單調(diào)性,

(2)根據(jù)函數(shù)圖象的變換可得g(x)=2sin2x,即可求解，

【詳解】(1)/(x)=-sin(gx]-6cos]gx]=2sin1$-斗,

jr127rjrjr77r

令---1-2kn<—x----<—+2kji,左EZ,解得一+---b4E,keZ,

223233

冗77r

所以函數(shù)〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間為-+4/at,—+4kji,yteZ.

(2)將函數(shù)〃x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的;(縱坐標不變)，得到

再將所得的函數(shù)圖象上所有點向左平移三個單位長度,

答案第6頁，共11頁

得到g(x)=2sin2L+|j-y=2sin2x,

TT

因為0,—,則2XE[0,7I],可得sin2x￡[0,1],BPg(x)=2sin2xe[0,2],

所以g(x)在區(qū)間[0,0上的最大值為2,此時2x=W，即X=：

L2」24

16.(l)a=3,單調(diào)遞減區(qū)間為(T9),單調(diào)遞增區(qū)間為(-鞏-1)和(9,+s).

(2)當0>好時，/(x)有三個零點；當°=理時，/(x)有兩個零點；當0<°<貴時，f(x)

333

有一個零點.

【分析】(1)先得/'(x)=3x2-84x-3/,f"(x)=6x-8a,根據(jù)廣(4)=0得a=3,進而利

用導函數(shù)求單調(diào)區(qū)間；

(2)先由/(田)=0(」>0)得加=3>0,進而得函數(shù)/'(x)的極小值為〃3a)=2-18/,

極大值為d=2+*3>o,進而根據(jù)極小值與零比較可判斷零點個數(shù).

【詳解】(1)由題可知，f'(x)=3x2-8ax-3a2,f"(x)=6x-8a,

r(4)=6x4-8a=0,解得a=3.

所以=丁-12/-27x+2,fr(x)=3x2-24x-27.

令/'(x)>0，得尤<-1或尤>9；令/'(x)<0,得一l<x<9,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(T9),單調(diào)遞增區(qū)間為(-巴-1)和(9,+8).

,f,f

(2)由(1)可知，f(x)=6x-8a,f(m)=6m-8a=0fm=—>0,所以Q>0.

令/'(x)>0,解得或尤>3。；令(卜)<0,解得__|<x<3a.

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和(3a,+8),

所以/(x)的極小值為"3。)=2-18/,/(%)的極大值為/(-￡|=2+23>o.

當X——00時，f(X)—>—00,當％f+8時，f(x)—>+oo,

故當2-18/<0,即〃〉火時，/⑸有三個零點；

3

當2-18/=0,即0='時,當x)有兩個零點;

3

答案第7頁，共11頁

當2-18/〉0,即0＜〃＜更時，/（%）有一個零點.

3

17.

⑵。，4）

7T27r

【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡/（X）,利用/（0X）的單調(diào)增區(qū)間與-了可的包含關

系得解；

（2）由并集運算結果轉(zhuǎn)化為/=8,再由在/上不等式/（司-2＜機＜/（司+2恒成立求解

即可.

【詳解】（1）/（x）=cos2x+4sinx-cos21—|=cos2x+2sinx-1+cos|--x|

=cos2x+2sinx(l+sinx)=2sinx+1,

jrOjr

由/'(?x)=2sin0x+l在-了彳上單調(diào)遞增,

712兀7171

所以CZ

25T五'五

兀、兀

貝r.（t一,L27r丁7T，

22。32G

又切〉0,解得口￡（Oq-

(2)由|/(工)一加|<2,/(x)-2<m</(x)+2.

5LA\JB=B,則即當生4x4二時，不等式/(尤)一2<根</(尤)+2恒成立,

63

所以(/3-2).<加<(/(x)+2)11m.

因為失X4,，故/?ln=/^=2,/(%=/曰=3,

所以％€(1,4).

18.(1)(-2,+oo)

⑵偶函數(shù)，（0,2）.

【分析】（1）由題意知2工+。+4＞。恒成立，利用換元法將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)恒

2工

成立問題，再利用分離參數(shù)求最值即可求解；

答案第8頁，共11頁

(2)求出函數(shù)的定義域，根據(jù)/(-%)=/(￡)即可判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，換元法求出

函數(shù)尤)在(0,+8)上的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)/(x)在定義域上的單調(diào)性,

從而根據(jù)單調(diào)性判斷f+1與1-2/的關系.

【詳解】(1)因為函數(shù)/(x)=log(2，+a+1］的定義域為R,

所以2*+。+上>0恒成立，所以4，+a?2*+l>0恒成立，

令才=2",則f>0,所以r+m+1>0在(0,+8)上恒成立，

即00時，4>-卜+；］恒成立，令>=-1+；］，，e(0,+s),

由/=_11_口=_(+久6(0,1)時，y'>0,x6(1,+8)時，y'<0,

因此y=-，+，在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,+◎上單調(diào)遞減，所以九叫=-2,

故〃>-2,即。的取值范圍為(-2,+??)；

(2)當“=0時，/(x)=log^2I+^^,

因為/'(x)的定義域為R，定義域關于原點對稱，

又因為/(-x)=log2*t+±J=log2］1+2J=/(x)，

所以/'(X)為偶函數(shù).

當x>0時，/(x)=k)g2(2'+：),令777=2*>1,

,

^h［m)=m+—,6(l,+oo),/z(m)=l-^Y=——”〃+1),

mmm

又冽￡(1,+8)時，h'(m)>Q,所以〃(加)=冽+工在加￡0,+8)上單調(diào)遞增，

m

即y=2、+*在(0,+8)上單調(diào)遞增，又尸log2x在定義域上為增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又函數(shù)/(尤)在定義域上為偶函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為/(+l)>〃l_2f),所以卜+1|>)-24,

即(:+1)2>(1-2/『，解得0</<2,

故原不等式解集為(0,2).

答案第9頁，共11頁

19.(1)|^0,1

(2)(i)2；(ii)證明見解析

【分析】(1)求導，確定/'(X)在［0,4上單調(diào)遞增，求得值域，再由集合間的關系構造不等

式求解即可.

(2)(i)構造〃(x)=g(x)-x,求導，確定其單調(diào)性，再結合零點存在性定理即可求解；(ii)

由(i)得加=%,再通過討論-。>0和。=0即可求證.

【詳解】(1)由題意，/(X)=3X3+2X2,當時,

r(x)=27尤2+4x20恒成立，所以/(X)在［0,4上單調(diào)遞增，