2024-2025學年北師版八年級上冊數(shù)學期末專項復習：實數(shù)和勾股定理（壓軸30題）原卷版

壓軸真題必刷01：實數(shù)和勾股定理

【題型歸納】

題型一：實數(shù)新定義問題

1.（2023下?重慶沙坪壩?八年級重慶南開中學?？计谀τ趦蓚€實數(shù)x,y,我們定義：/（x,y）=q（D#0）,

孫

有下列說法：

①“2,3）=4

O

175

@/（1,3）+/（2,4）+/（3,5）+/（4,6）+...+/（10,12）=—;

③若W（4-c）=好（a,-c）+（/（a,詢,貝！|ab+ac=2bc.

其中說法正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

2.（2023下?重慶沙坪壩?八年級重慶八中校考期末）對于各個數(shù)位均不為0的三位數(shù)將f的各個數(shù)位中任取兩個

數(shù)位構成一個兩位數(shù)，這樣就可以得到六個兩位數(shù)，這六個兩位數(shù)叫做f的“強化數(shù)”，例如：t=253,貝心的強化數(shù)

字是25、52、23、32、53、35,t的所有“強化數(shù)”之和與11的商記為G?）,若"321,G（321）=；若相和"

__G（m）

是兩個三位數(shù)，它們都有“強化數(shù)”，機=麗（14a47,14647）n=21c（l<c<4,a、b、c均為整數(shù)），若

G⑺

的值能被5整除，記？=生，則。的最小值為

n

3.（2023下?重慶北培?八年級西南大學附中?？计谀┤绻粋€四位整數(shù)P能分解成兩個兩位數(shù)的乘積，且這兩個

兩位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和相等，把這樣的整數(shù)P稱為“可愛數(shù)”，把這樣的分解稱為“可愛分解"，即P=Ax3,

A=10a+b,B=10c+dCl<a<9,0<b<9,l<c<9,0<d<9S.a,b,c,d均為整數(shù)）.若2A+3恰好為完全平方數(shù)，

且A是5的倍數(shù)，則滿足條件的最大“可愛數(shù)”為—.

4.（2023下?重慶銅梁?八年級重慶市巴川中學校?？计谀τ谒奈粩?shù)正整數(shù)麗，若滿足a-b=c-d,則把

M叫做“友好數(shù)”.將“友好數(shù)”M的個位字去掉得到的三位數(shù)記為s,將千位數(shù)字去掉得到的三位數(shù)記為3并規(guī)定

F（M）=s-t-10b.貝!|尸（超）=；若四位正整數(shù)N=1000x+100y+30帆+,+1001（0Wy<xW8,0</?7<3,

0<n<8,x,?”為整數(shù)）是“友好數(shù)”，且*N）除以5余1,則滿足條件的N的最大值為.

5.（2022上?四川內江?八年級四川省內江市第六中學?？计谥校┤绻麩o理數(shù)機的值介于兩個連續(xù)正整數(shù)之間，即滿

定a〈m<b（其中a、6為連續(xù)正整數(shù)），我們則稱無理數(shù)機的“神奇區(qū)間”為（a，b）.例：2<75<3,所以君的“神

奇區(qū)間”為（2,3）.若某一無理數(shù)的“神奇區(qū)間”為（a，b）,且滿足6〈&+bW16,其中x=b,y=&是關于尤、y的

二元一次方程組云+世=。的一組正整數(shù)解，則。=

6.（2022上.湖南永州.八年級統(tǒng)考期末）某校數(shù)學課外小組利用數(shù)軸為學校門口的一條馬路設計植樹方案如下：第

k-2

左棵樹種植在點血處，其中占=1,當％?2時.x=x_+T,7（。）表示非負實數(shù)。的整數(shù)部分，例

kkx3

如7（3.5）=3,7（0.8）=0.按此方案，第2021棵樹種植在點々cm處,則％。21=

題型二：二次根式的化簡求值問題

7.（2023下?浙江?八年級階段練習）已知x=&-后,了=夜+石，則代數(shù)式J^+2盯+尸+*_,_4的值為（）

A.?

BC.73-1D,

2-12

2+J32+G2+g廠

8.（2022下.重慶開州.八年級統(tǒng)考期末）二次根式除法可以這樣做：如丁%=）一尸$—尸（=7+4g.像這樣

2-G（2-@（2+百）

通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或者把根號中的分母化去，叫做分母有理化.有下列結論:

①將式子布:0進行分母有理化,可以對其分子、分母同時乘以應+6；

3

②若。是近的小數(shù)部分，則2的值為立+1;

a

11

③比較兩個二次根式的大小:----->-------.

V6-2V5-V3；

2222

④計算------1----------1----------1---1-------------

3+g5石+367石+5近99A/97+97A/99J3

合比yjn+l—y/n

⑨右X=---——廣,y=~,且19Y+123孫+19^=1985,則整數(shù)“=2.

y/n+1+^JnX

以上結論正確的是（)

A.①③④B.①④⑤C.①②③⑤D.①③⑤

9.（2020上?河南洛陽?九年級?？茧A段練習）設a為小3+石-小3-石的小數(shù)部分，b為76+3百-46-30的小數(shù)

2I

部分，則七-一的值為（）

ba

A.V6+V2-1B.V6-V2+1C.A/6-A/2-1D.V6+V2+1

10.（2023上?湖南常德?八年級統(tǒng)考期末）觀察下列分母有理

____1___________________=W5/2T-1=J2-1

(應了.

72+71(V2+1).(V2-1)-12

]=6-0

6+四

1="-正,

s/~4+,\/3

從計算結果中找出規(guī)律

11

-I-----------------1-----------------1------1------------

G+血4+6J2023+

11.（2021下?廣西南寧.八年級南寧二中校聯(lián)考期末）已知:

=5后……按此規(guī)律，請表示出第2021個式子

12.（2023下?北京大興?八年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小華根據(jù)學習“二次根式“及”乘法公式“積累的經驗，通過“由

特殊到一般”的方法，探究”當a>0、b〉0時，9與的大小關系”.

下面是小單的深究過程：

①具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

當。>0、b>0時，

特例1：若a+b=2,則2族V2；

特例2：若a+》=3,貝|2疝V3；

特例3：若。+6=6,貝|2族W0.

②觀察、歸納，得出猜想：當。>0、8>0時，24ab<a+b.

③證明猜想:

當。>0、8>0時,

,.,（布-芯）=a-2\[ab+b>Q,a+b>2ab+a+b>2\[ab>2\[ab<a+b.

當且僅當。=6時，2?F=a+b.

請你利用小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題：

⑴當x>0時，x+■的最小值為（2）當x<0時，-x-2的最小值為；（3）當rCO時，求土土空攵的最大

XXX

值.

題型三：勾股定理在幾何在的應用

13.（2023下?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt^ABO中，AB=OB.頂點A的坐標為（2,0），以為邊向AABO

的外側作正方形ABCD.將組成的圖形繞點。逆時針旋轉，每次旋轉45。，則第98次旋轉結束時，點。的坐標為

A.(1,—3)B.(—1,3)C.(—1,—3)D.(1,3)

14.(2023下?遼寧朝陽?八年級統(tǒng)考期末)如圖，長方形A8CZ)中，Afi=4,BC=2,G是AD的中點，線段所在

邊A3上左右滑動，若EF=1,則GE+CF的最小值為()

A.273B.2應C.3亞D.373

15.(2023上?江蘇淮安?八年級?？计谀?如圖,在AABC中，ZABC=90°,BC=8,AC=10,點P、。分別是邊BC、AC

上的動點，則AP+尸。的最小值等于()

2448

C.5D.

TT

16.(2023上?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末)如圖，AABC中，AC=6,BC=8,NC=90。.點P從點C出發(fā)，沿折

線C4-AB運動，速度為2個單位長度/秒.點。為BC的中點，連接RD、PC.點P運動時間為f秒.

(l)AB的長度為.

⑵當t=7時，求線段AP的長.

(3)數(shù)學小組在探究“當f為何值時，APCD為等腰三角形”.

①小彤推斷：當點尸在C4邊上運動時，/DCP為直角，故若APCD為等腰三角形，只能是CD=CP.請你按照她

的思路，求出此時的r值.

②小園推斷：當點P在A3邊上運動時，。尸有可能等于CD.請你延續(xù)她的思路，直接寫出此時的/值.

③小南猜想：當點尸在邊上運動時，不可能出現(xiàn)CP=CD的情況.請你證明她的猜想是正確的.

17.（2023上?福建福州?八年級校聯(lián)考期末）如圖1,AABC,AC=9,AS=10,44c=30。.

⑴求AABC的面積；

（2）如圖2,點M在邊AC上，點N在邊A3上，求3M+MN的最小值；

（3）如圖3,點尸是在邊AC上，過點尸分別作直線AB、直線8C的對稱點。、E,當ADBE周長最小時，求線段CP

的長.

18.（2023上?浙江嘉興?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，8的一個動點，作點A關于CP的對稱

點A,AC,交直線A2于點。.

（1）若AC=8,BC=6,CE是邊AB上的高線.

①求線段CE的長；

②當NPQA=90。，求線段AQ的長；

⑵在/A=35。的情況下，當△APQ是等腰三角形時，直接寫出，AG4'的度數(shù).

題型四：勾股定理的實際應用

19.（2022下?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的高為6cm,底面周長為16cm,螞蟻在圓柱側面爬行，從點

A爬到點B的最短路程是cm.

20.（2021上?重慶?七年級校聯(lián)考期末）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8加7、3dm、2dm,A和B是

這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最

短路程為dm.

21.（2021下?浙江?八年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學綜合實踐課中，小明和同學對類似八下教科書25頁例2的問題進行拓

展探索:

如圖1,一根長為5米的木棍斜靠在一豎直的墻上，4。為4米，如果木棍的頂端A沿墻下滑x米，底端向外移

動》米，下滑后的木棍記為8,則x與y滿足的等式（4-xY+（3+y）2=25,即》關于尤的函數(shù)解析式為

y=^25-（4-x）2-3,小明利用畫圖軟件畫出了該函數(shù)圖象如圖2,

（1）請寫出圖象上點尸的坐標（1,）

（2）根據(jù)圖象，當x的取值范圍為時，的周長大于AAOB的周長.

22.（2021上.山東青島.八年級統(tǒng)考期中）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們

對它的證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者.向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.

【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形△A8C和AOAE如圖1放置，其三邊長分別為a,b,c.顯然，/DAB=NB

=90°,AC±DE.iWffla,b,c分別表示出梯形ABC。，四邊形AEC。，AEBC的面積:

S梯彩ABCD=,

SAEBC=,

S四邊mAECD=,

再探究這三個圖形面積之間的關系，它們滿足的關系式為，化簡后，可得到勾股定理.

【知識運用】

如圖2,河道上A,8兩點（看作直線上的兩點）相距200米，C,。為兩個菜園（看作兩個點），AD±AB,BC±AB,

垂足分別為A,B,AO=80米，8C=70米，現(xiàn)在菜農要在AB上確定一個抽水點P,使得抽水點尸到兩個菜園C,

。的距離和最短，則該最短距離為米.

【知識遷移】

借助上面的思考過程，請直接寫出當0<x<15時，代數(shù)式甲§+“15-x)?+25的最小值=

23.(2021.江蘇蘇州?蘇州市立達中學校?？级?上午8點，某臺風中心在A島正南方向100km處由南向北勻速移

動，同時在A島正西方向40Am處有一艘補給船向A島勻速駛來，補給完后改變速度立即向A島正北方向的C港勻

速駛去，如圖所示是臺風中心、補給船與A島的距離S和時間f的圖象.已知臺風影響的半徑是100初？(包含邊界)，

請結合圖象解答下列問題：

北

A

(1)臺風的速度是km/h,補給船在到達A島前的速度是km/h,圖中點P的實際意義是

(2)從幾點開始，補給船將受到臺風的影響？

(3)設補給船駛出A島到駛到C港之前受到臺風影響的時間為a小時，出于安全考慮，補給船速度不超過lOOAm//?、

a<1.求出圖中補給船航行時間機的正整數(shù)值及此時補給船在駛入C港之前受臺風影響的總時間.

24.(2020上?四川達州?八年級校考階段練習)如圖所示，A、8兩塊試驗田相距200m,C為水源地，AC=160帆,

BC^UQm,為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠.

甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；

乙方案；過點C作42的垂線，垂足為"，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的8處，再從〃分別向4

8進行修筑.

（1）請判斷AABC的形狀（要求寫出推理過程）；

（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明.

題型五：勾股定理與其他知識交匯

25.（2022上.北京海淀?八年級?？计谀┰谥?，ZACB=90°,。為AABC內一點，連接8。，DC,延長OC

到點E,使得CE=DC.

（1）如圖1,延長3C到點尸，使得CF=3C,連接AF,EF.若AF_LEF,求證：BD1AF-,

（2）連接AE,交3。的延長線于點連接S,依題意補全圖2.^AB2=AE-+BD2,試探究A8,AH,BH這

三條線段之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

26.（2022上?福建漳州?八年級福建省長泰縣第一中學校考期末）如圖1,長方形ABC。，AB=1,點E是線段上

一動點（不與B,C重合），點廠是線段5