2024-2025學年高一年級上冊期中模擬考試數(shù)學試題（新高考地區(qū)專用集合與邏輯、不等式、函數(shù)） （全解全析）

2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中模擬卷02

注意事項：

i.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版2019必修第一冊第一章?第三章。

5.難度系數(shù)：0.55。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合/={xeZ|-4<x<l},S=則的非空子集個數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【解析】因為/={xeZ|-4Vx<1}={-3,-2,-1,0},

XS=j-2,-l,0,||,所以“口8={-2,-1,0},

所以/C3的元素個數(shù)為3,其非空子集有2?一1=7個.

故選A.

2.不等式（尤-3乂5-尤）<0的解集為（）

A.{x|3<x<5}B.[x\x<3,或x>5}

C.{x|-5<x<-3}D.{x|x<-5,或x>-3}

【答案】B

【解析】由（計3）（5—x）<0可得（無一3）@一5）>0,解得x>5或x<3,

故不等式的解為卜,<3或無>5},故選B.

3.下列各組函數(shù)是同一組函數(shù)的是（）

2x+l,x>0

B.y=|x+l|+|x|與y

—2.x—1,x<一1

c.歹二k|與y=J^"

D.y=|x|與尸（石）2

【答案】C

【解析】對于A中，由函數(shù)戶土

的定義為(-8,1)。(L+00),

函數(shù)了=4X+]的定義域為（F,-l）U（-1,1）51,茁）

X-1

兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以A不符合題意;

2x+l,x>02x+l,x>0

對于B中，由函數(shù)V=|%+1|+周=<1,-1<x<0與函數(shù)y=Wx<0

—2.x—1,x<-1—lx-1,x<—1

其中兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以B不符合題意；

對于C中，函數(shù)y=國與y=」?=國，兩個函數(shù)的定義域與對應關系都相同，

所以兩個函數(shù)是同一組函數(shù)，所以C符合題意；

對于D中，函數(shù))=國的定義域為R,函數(shù)y=(&)2的定義域為[0,+與，

兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以D不符合題意.

故選C.

4.已知P：-2<x<10,l-7?<x<l+ffl(m>0),若。的充分不必要條件是4,則實數(shù)加的取值范圍為

()

A.0<m<3B.0<m<3

C.m<3D.m<3

【答案】A

【解析】設/=卜卜2(尤410},B={x\l-m<x<l+m],

因為。的充分不必要條件是4,所以8是A的真子集，

m>0

所以1-加2,且等號不同時成立，解得0〈加W3,

1+m<10

當機=3時，5={x|-2<x<4),成立，所以0〈冽<3.故選A.

5.若兩個正實數(shù)x,y滿足4x+y=2",且不等式尤+（〈療一加有解，則實數(shù)〃？的取值范圍是（）

A.(-1,2)B.—2)U(1,+00)C.(-2,1)D.(-co,-l)u(2,+oo)

【答案】D

14

【解析】由兩個正實數(shù)X—滿足4X+昨2X,,得亍=2,

4xv

當且僅當一=丁，即y=4x=4時取等號，

y4x

由不等式》+4＜加2-加有解，得病一m〉2，解得加＜T或加＞2,

4

所以實數(shù)機的取值范圍是（-哈-1）。（2,內(nèi)）.

故選D.

6.記實數(shù)項,尤2,…,毛的最小數(shù)為min{x/2,…再,}，若/（無尸min（x+l,尤2-2x+l,-x+8）,則函數(shù)的最大

值為（）

9

A.4B.-C.ID.5

2

【答案】B

【解析】

如圖所示，在同一個坐標系中，分別作出函數(shù)乂=x+l,%=--2x+l,%=-x+8的圖象,

而〃x）=min{x+l,x2-2x+l,r+8}的圖象即是圖中勾勒出的實線部分,

要求的函數(shù)/'（x）的最大值即圖中最高點A的縱坐標.

7

x=-

V=X+1故所求函數(shù)（）的最大值為，

由：…+8聯(lián)立解得，/X

y=—

2

故選B.

(3〃-l)x+4(2,(x<1)

7.已知函數(shù)/(%)=〃/在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)〃的取值范圍為()

一,021)

〔X

【答案】D

3a—1<0

【解析】因為/(X)在R上單調(diào)遞減，故。>0,

3a-l+4a>a

遼1,1

^-<a<-.

63

故選D.

“2,"⑷一""西)<2,且

8.已知函數(shù)/'(x)為定義在R上的偶函數(shù)，Vx15x2e(0,+oo),無]<

X2-Xy

/⑼=0,則不等式的解集為()

A.[-1,1]B.(-l,0)U(0,l)

C.(-1,0)31，+*D.(-1,1)

【答案】D

【解析】由題意，Vx15x2e(0,+oo),不<9，則%-再>0，

f(x2)+21(xJ+2

2<0

2-再

，〃士)+2

因為苫2-占>0,Xlx2>0,得小)+2_〃網(wǎng))+2<0,即〃9)+2<

x2x1x2

設g(x)="?+2,(x>0),則函數(shù)g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減，

X/(l)=-2,則g⑴J(?+2=0,

因為不等式〃x)>-2,/(x)+2>0,

則g(x)>g⑴，

所以0<x<l,

又函數(shù)y(x)為定義在R上的偶函數(shù),

所以當％<0時，一l<x<0,

又"0)=0，

所以不等式/(X)>-2的解集為(-1,1).

故選D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知正數(shù)x,V滿足x+y=2,則下列選項正確的是()

A.1+'的最小值是2

B.刈的最小值是1

xy

的最大值是:

C./+/的最小值是4D.x(y+l)

【答案】AD

11/4+y_1y%1Vx

【解析】A.=2,當且僅當宗=丁，即x=y=l時

xyyJ222x2y?2.x2y

等號成立，故選項A正確.

B.孫字］=1,當且僅當x=y=l時等號成立，故選項B錯誤.

C.X2+j2=(x+.y)2-2xy>(x+y)2-2=2，當且僅當天=了=1時等號成立，故選項C

錯誤.

D.因為x+y=2,所以x(y+l)V3+；+l：=g,當且僅當苫=>+1=：時等號成立，故選項D正確.

故選AD.

10.集合/=｛#-1)/+3》-2=0｝有且僅有兩個子集，貝匹的值為()

11

A.1B.-C.-1D.——

88

【答案】AD

【解析】集合/=卜|(。-1)—+3、-2=0｝表示關于％的方程(Q—l)/+3x—2=0的解集，

又集合A有且僅有兩個子集，所以集合A有且僅有一個元素，

當。-1=0,即。=1時，由3x-2=0,解得x=g,即/=，?!，，符合題意;

當”1片0,即awl時，則A=32+8（a-l）=0,解得。=-1止匕時/=

綜上可得，“=1或a=-；

O

故選AD.

11.7（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當xNO時，f（x）=4x-f,則下列說法中簿送的是（）

A./（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一叫一2]u[0,2]B./（-7t）</（5）

C.f（x）的最大值為4D./（力>0的解集為（T,4）

【答案】ABD

【解析】A.兩個單調(diào)區(qū)間中間要用“和”分開，故A錯誤；

B.因為/（力是定義在R上的偶函數(shù),所以/（一兀）=/（兀）,

又在[2,E）上單調(diào)遞減,貝1]/（-兀）=/（兀）>/（5）,故B錯誤;

C.當x20時，/（x）=4x-x2=-（x-2）2+4,7（x）最大值為4,

又因為/（x）是偶函數(shù)，所以/（x）的最大值為4,故C正確；

D.如圖所示：/（耳>0的解集為（-4,0）"0,4）,故D錯誤.

1-4-2O

故選ABD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.命題。：3%0>1,君-/<0,則命題。的否定為.

【答案】Vx>l,x2-x>0

【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：

命題。：*21,尤；-無。<0的否定為VxNl,%2-x>0.

故答案為：Vx>l,x2-x>0.

13.若函數(shù)=且/⑷=8,則實數(shù)a的值為

Vx)x

【答案】土戈

【解析】???函數(shù)=+2,又y=的值域為R,

<X)X\X)X

/./(x)=%2+2(xeR),

:./(a)=8,可得/+2=8，解得”土指.

故答案為：士瓜.

14.函數(shù)/(x)=J-d+5x+6在區(qū)間［1,5］的最大值為.

【答案】4/3.5

2

【解析】(1)由一*+5x+620=>——5%—6K0n—1KxK6,

所以/卜)的定義域為［T6］

令"(1)=-工2+5x+6=-(工一||十^，開口向下，對稱軸為x=g,

根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，

/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是-1,1；單調(diào)遞減區(qū)間是1,6

/(X)在區(qū)間［1,5］的最大值為d￡|=(.

7

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知集合/=lxeR|ax2-3x+l=0,aeR^.

(1)若集合/中僅含有一個元素，求實數(shù)。的值；

(2)若集合/中含有兩個元素，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)當。=0時，x=j,符合題意；

,Q

當awO時，A=(-3)--4a=0,得.=“

9

綜上，4=0或"一.

4

（2）集合力中含有兩個元素，即關于x的方程如2_3%+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,

9

所以awO,且八=（一3）9-4?！?,解得且awO,

所以實數(shù)a的取值范圍為同。<^且。70}.

16.（15分）

已知函數(shù)/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/（x）=--x2.

⑴求「（X）的解析式；

⑵用定義證明在（-叫-1）上為增函數(shù).

【解析】（1）因為函數(shù)f（x）是定義在肚的奇函數(shù)，所以/（0）=0,〃_幻=_/（0

2

又當％<0時，/(x)=——%2,

2?

所以當1〉0時，_%<0,/(—X)=----(―X)9=----X2=-f(X),

—XX

2

所以當1>0時，/(%)=—+/,

22

—x，工<0

x

故/(%)=]06=0

2

--FX9,X>0

a

（2）證明：設再<工2<-1，

則/(%)-/(%)=+

2（%2一西）1

X

(x2-Xj)(x2+xi)=(%2-1

XxX2

因為項<%2<-1,所以％-玉>0，x2+^<-2,xxx2>1,貝！JO<---<2,

2

故一+x2+x1<0,所以/(%)一/(,)<0,即〃再)</(切,

所以「（X）在（一雙T）上為增函數(shù).

17.(15分)

設函數(shù)g（x）=2x2+bx+c.已知關于尤的不等式g（x）<20的解集為（-4,1）.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)若關于》的方程85)-"覆=0在區(qū)間(2,4)內(nèi)有解，求實數(shù)機的取值范圍.

【解析】(1)因為2/+6x+c<0的解集為(-4,1),

所以一4和1是方程2/+法+。-20=0的兩個根，

-4+1=(,A

7\b=6

由根與系數(shù)的關系可得“，解得』，

,yc-20\c=12

-4x1=-----i

I2

所以g(x)=2/+6x+12.

(2)因為關于x的方程g(x)-MX=0在區(qū)間(2,4)內(nèi)有解，

12

所以加=2%+—+6在區(qū)間(2,4)內(nèi)有解，

x

1?

令力(x)=2x+—+6,函數(shù)人(x)在(2,6)上遞減，在(庭,4)上遞增，

又〃(迷)=4指+6,〃(2)=16,〃(4)=17,

所以4痛+6(機<17.

18.(17分)

定義在(0,+句上的函數(shù)/(x)滿足：①/(2)=1,②/(盯)=/(x)+/Q),其中'J為任意正實數(shù)：③

任意正實數(shù)無，唾滿足xwy時,(x-y)[/(x)-/3]>0恒成立.

⑴求/⑴，/(4)；

⑵試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性：

(3)如果/口)+/6-3)42,試求》的取值范圍.

【解析】⑴取x=1=l得,/(1)=/(1)+/(1),.-./(1)=0；

/(4)=/(2)+/(2)=2;

(2)令x=X[,y=X2，可得(不一工2)[/(不)一102)]>0，

設七>%>0,則網(wǎng)_/>0,所以/(否)_/(工2)>0，即/(西)>/(馬)，

/(x)S(0,+8)±單調(diào)遞增；

(3)根據(jù)/⑺滿足的條件②及"4)=2,

/(x)+/(x-3)42得，/[x(x-3)]</(4);

根據(jù)/'(x)為增函數(shù)得X(X-3)44；

x>0

再由“X)的定義域得到不等式組<x-3>0,

x(x-3)<4

解得3<》44,.”的取值范圍為(3,4].

19.(17分)

若函數(shù)G在加上的最大值記為>2，最小值記為Wn，且滿足/max-Wn=1，則稱函數(shù)G

是在m<x<n上的“美好函數(shù)

(1)函數(shù)①>=x+l;②了=|2x|；③了=x2,哪個函數(shù)是在l〈xW2上的“美好函數(shù)”，并說明理由；

(2)已知函數(shù)G:y=ax2-2ax-3Maw0).

①函數(shù)G是在14x42上的“美好函數(shù)”，求。的值；

②當。=1時，函數(shù)G是在+l上的“美好函數(shù)”，求I的值.

【解析】⑴①因為1WXV2,所以2VX+1V3,所以幾ax=3,ymin=2,

得Baxn=1，故>=》+I是在14X