2024屆高三數(shù)學二輪專題復習教案：立體幾

PAGE2024屆高三數(shù)學二輪專題復習教案――立體幾何一、本章知識結(jié)構(gòu)：二、重點知識回顧1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱、棱錐、棱臺和多面體棱柱是由滿足下列三個條件的面圍成的幾何體：①有兩個面互相平行；②其余各面都是四邊形；③每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行；棱柱按底面邊數(shù)可分為：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性質(zhì)：=1\*GB3①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；=2\*GB3②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.=3\*GB3③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.棱錐是由一個底面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形所圍成的幾何體．棱錐具有以下性質(zhì)：①底面是多邊形；②側(cè)面是以棱錐的頂點為公共點的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多邊形，相似比等于從頂點到截面和從頂點到底面距離的比．截面面積和底面面積的比等于上述相似比的平方．棱臺是棱錐被平行于底面的一個平面所截后，截面和底面之間的部分．由棱臺定義可知，所有側(cè)棱的延長線交于一點，繼而將棱臺還原成棱錐．多面體是由若干個多邊形圍成的幾何體．多面體有幾個面就稱為幾面體，如三棱錐是四面體．（2）圓柱、圓錐、圓臺、球分別以矩形的一邊，直角三角形的一直角邊，直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線，半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體叫做圓柱、圓錐、圓臺、球圓柱、圓錐和圓臺的性質(zhì)主要有：①平行于底面的截面都是圓；②過軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圓臺的上底變大到與下底相同時，可以得到圓柱；圓臺的上底變小為一點時，可以得到圓錐．2、空間幾何體的側(cè)面積、表面積（1）棱柱側(cè)面展開圖的面積就是棱柱的側(cè)面積，棱柱的表面積就是它的側(cè)面積與兩底面面積的和．因為直棱柱的各個側(cè)面都是等高的矩形，所以它的展開圖是以棱柱的底面周長與高分別為長和寬的矩形．如果設(shè)直棱柱底面周長為，高為，則側(cè)面積．若長方體的長、寬、高分別是a、b、c，則其表面積．（2）圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形．矩形的寬是圓柱母線的長，矩形的長為圓柱底面周長．如果設(shè)圓柱母線的長為，底面半徑為r，那么圓柱的側(cè)面積，此時圓柱底面面積.所以圓柱的表面積．（3）圓錐的側(cè)面展開圖是以其母線為半徑的扇形．如果設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為，則側(cè)面積，那么圓錐的表面積是由其側(cè)面積與底面面積的和構(gòu)成，即為．（4）正棱錐的側(cè)面展開圖是個全等的等腰三角形．如果正棱錐的周長為，斜高為，則它的側(cè)面積．（5）正棱臺的側(cè)面積就是它各個側(cè)面積的和．如果設(shè)正棱臺的上、下底面的周長是，斜高是，那么它的側(cè)面積是．（6）圓臺側(cè)面展開圖是以截得該圓臺的圓錐母線為大圓半徑，圓錐與圓臺的母線之差為小圓半徑的一個扇環(huán)．如果設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，母線長為，那么它的側(cè)面積是．圓臺的表面積等于它的側(cè)面積與上、下底面積的和，即．（7）球的表面積，即球的表面積等于其大圓面積的四倍．3、空間幾何體的體積（1）柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積和高的積，即．其中底面半徑是，高是的圓柱的體積是．（2）如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是，高是，那么它的體積是．其中底面半徑是，高是的圓錐的體積是，就是說，錐體的體積是與其同底等高柱體體積的．（3）如果臺體（棱臺、圓臺）的上、下底面積分別是，高是，那么它的體積是．其中上、下底半徑分別是，高是的圓臺的體積是．（4）球的體積公式：.4、中心投影和平行投影（1）中心投影：投射線均通過投影中心的投影。（2）平行投影：投射線相互平行的投影。（3）三視圖的位置關(guān)系與投影規(guī)律三視圖的位置關(guān)系為：俯視圖在主視圖的下方、左視圖在主視圖的右方．三視圖之間的投影規(guī)律為：主、俯視圖———長對正；主、左視圖———高平齊；俯、左視圖———寬相等．5、直觀圖畫法斜二測畫法的規(guī)則：（1）在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點，再取z軸，使90°，且90°．（2）畫直觀圖時把它們畫成對應(yīng)的軸、軸和軸，它們相交于，并使45°，90°。（3）已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸和軸的線段．（4）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中長度相等；平行于y軸的線段，長度取一半．6．平面（1）對平面的理解平面是一個不加定義、只須理解的最基本的原始概念．立體幾何中的平面是理想的、絕對平且無限延展的模型，平面是無大小、厚薄之分的．類似于我們以前學的直線，它可以無限延伸，它是不可度量的．（2）對公理的剖析（1）公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系，公理1的條件“線上不重合的兩點在平面內(nèi)”是公理的必要條件，結(jié)論是“線上所有點都在面內(nèi)”．這個結(jié)論闡述了兩個觀點：一是整條直線在平面內(nèi)；二是直線上所有點在平面內(nèi)．其作用是：可判定直線是否在平面內(nèi)、點是否在平面內(nèi)．（2）公理2中的“有且只有一個”的含義要準確理解．這里的“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一，確定一個平面中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和唯一性這兩方面．這個術(shù)語今后也會常常出現(xiàn)，要理解好．其作用是：一是確定平面；二是證明點、線共面．（3）公理3的內(nèi)容反映了平面與平面的位置關(guān)系,它的條件簡而言之是“兩面共一點”，結(jié)論是“兩面共一線，且過這一點，線唯一”．對于本公理應(yīng)強調(diào)對于不重合的兩個平面，只要它們有公共點，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線．其作用是：其一它是判定兩個平面是否相交的依據(jù)，只要兩個平面有一個公共點，就可以判定這兩個平面必相交于過這點的一條直線；其二它可以判定點在直線上，點是兩個平面的公共點，線是這兩個平面的公共交線，則這點在交線上．7.空間直線.（1）空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線—共面有且有一個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內(nèi)。（2）異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）（3）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.（4）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.8.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).（2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）（3）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）（4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.直線與平面垂直判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直。推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.9.平面平行與平面垂直.（1）空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.（3）兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）（4）兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）（5）兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.10.空間向量.（1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.（2）空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使(這里隱含x+y+z≠1).（3）a.空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標）.①令=(a1,a2,a3),，則，，，∥。。(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩個向量的夾角公式（a＝，b＝）。=2\*GB3②空間兩點的距離公式：.b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.c.用向量的常用方法：=1\*GB3①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.=2\*GB3②.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).=3\*GB3③.點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.=4\*GB3④直線與平面所成角(為平面的法向量).=5\*GB3⑤利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。ǚ较蛳嗤瑒t為補角，反方，則為其夾角）.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.三、考點剖析考點一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀圖【內(nèi)容解讀】了解柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中的簡單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡單空間幾何體的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會畫某建筑物的視圖與直觀圖。空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力、歸納能力和空間想象能力，能通過觀察幾何體的模型和實物，總結(jié)出柱、錐、臺、球等幾何體的結(jié)構(gòu)特征；能識別三視圖所表示的空間幾何體，會用材料制作模型，培養(yǎng)動手能力?！久}規(guī)律】柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征在舊教材中出現(xiàn)過，而三視圖為新增內(nèi)容，一般情況下，新增內(nèi)容會重點考查，從2007年、2008年廣東、山東、海南的高考題來看，三視圖是出題的熱點，題型多以選擇題、填空題為主，也有出現(xiàn)在解答題里，如2007年廣東高考就出現(xiàn)在解答題里，屬中等偏易題。例１、（2008廣東）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）EEFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEA．BEB．BEC．BED．解：在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A點評：本題主要考查三視圖中的左視圖，要有一定的空間想象能力。例2、（2008江蘇模擬）由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個數(shù)是．左視圖主視圖左視圖主視圖俯視圖俯視圖解：以俯視圖為主，因為主視圖左邊有兩層，表示俯視圖中左邊最多有兩個木塊，再看左視圖，可得木塊數(shù)如右圖所示，因此這個幾何體的正方體木塊數(shù)的個數(shù)為5個。點評：考點二：空間幾何體的表面積和體積【內(nèi)容解讀】理解柱、錐、臺的側(cè)面積、表面積、體積的計算方法，了解它們的側(cè)面展開圖，及其對計算側(cè)面積的作用，會根據(jù)條件計算表面積和體積。理解球的表面積和體積的計算方法。把握平面圖形與立體圖形間的相互轉(zhuǎn)化方法，并能綜合運用立體幾何中所學知識解決有關(guān)問題?！久}規(guī)律】柱、錐、臺、球的表面積和體積以公式為主，按照新課標的要求，體積公式不要求記憶，只要掌握表面積的計算方法和體積的計算方法即可。因此，題目從難度上講屬于中檔偏易題。例3、（2007廣東）已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S解:由已知可得該幾何體是一個底面為矩形,高為4,頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD。(1)(2)該四棱錐有兩個側(cè)面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為,另兩個側(cè)面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,AB邊上的高為因此俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖2322例4、（2008山東）右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）A． B． C． D．解：從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱組合而成的簡單幾何體，其表面及為：，故選D。點評：本小題主要考查三視圖與幾何體的表面積。既要能識別簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，又要掌握基本幾何體的表面積的計算方法。例5、（湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（）A.B.C.D.解：截面面積為截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是，所以根據(jù)球的體積公式知，故B為正確答案．點評：本題考查球的一些相關(guān)概念，球的體積公式的運用?？键c三：點、線、面的位置關(guān)系【內(nèi)容解讀】理解空間中點、線、面的位置關(guān)系，了解四個公理及其推論；空間兩直線的三種位置關(guān)系及其判定；異面直線的定義及其所成角的求法。通過大量圖形的觀察、實驗，實現(xiàn)平面圖形到立體圖形的飛躍，培養(yǎng)空間想象能力。會用平面的基本性質(zhì)證明共點、共線、共面的問題?！久}規(guī)律】主要考查平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題為主，難度不大。圖1例6、如圖1，在空間四邊形ABCD中，點E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且＝＝，則（）圖1（A）EF與GH互相平行（B）EF與GH異面（C）EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上（D）EF與GH的交點M一定在直線AC上解：依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因為EH＝BD，＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點為M，因為點M在EF上，故點M在平面ACB上，同理，點M在平面ACD上，即點M是平面ACB與平面ACD的交點，而AC是這兩個平面的交線，由公理3可知，點M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上。選（D）。點評：本題主要考查公理2和公理3的應(yīng)用，證明共線問題。利用四個公理來證明共點、共線的問題是立體幾何中的一個難點。例7、（2008全國二10）已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．解：連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD.所以∠AEO為異面直線SD與AE所成的角。設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=，于是，故選C。點評：求異面直線所成的角，一般是平移異面直線中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形，再用三角函數(shù)的方法或正、余弦定理求解?？键c四：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)【內(nèi)容解讀】掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線面平行、面面平行，會用性質(zhì)定理解決線面平行、面面平行的問題。通過線面平行、面面平行的證明，培養(yǎng)學生空間觀念及及觀察、操作、實驗、探索、合情推理的能力?！久}規(guī)律】主要考查線線、面面平行的判定與性質(zhì)，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線面平行、面面平行為主，屬中檔題。例8、（2008安徽）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，,,,為的中點，為的中點（Ⅰ）證明：直線；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大??；（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。方法一：（1）證明：取OB中點E，連接ME，NE又 （2）為異面直線與所成的角（或其補角） 作連接 ， 所以與所成角的大小為 （3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作于點Q， 又,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離 ， ，所以點B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,則即取,解得(2)設(shè)與所成的角為,,與所成角的大小為(3)設(shè)點B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對值,由,得.所以點B到平面OCD的距離為點評：線面平行的證明、異面直線所成的角，點到直線的距離，既可以用綜合方法求解，也可以用向量方法求解，后者較簡便，但新課標地區(qū)文科沒學空間向量。例9、（2008江蘇模擬）一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點.（1）求證：（2）當FG=GD時，在棱AD上確定一點P，使得GP//平面FMC,并給出證明.證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC(1)連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN又FD⊥ADFD⊥CD，F(xiàn)D⊥面ABCDFD⊥ACAC⊥面FDNGN⊥AC（2）點P在A點處證明：取DC中點S，連接AS、GS、GAG是DF的中點，GS//FC,AS//CM面GSA//面FMCGA//面FMC即GP//面FMC點評：證明線面平行，在平面內(nèi)找一條直線與平面外的直線平行，是證明線面平行的關(guān)鍵?？键c五：直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【內(nèi)容解讀】掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線線垂直、線面垂直、面面垂直，會用性質(zhì)定理解決線面垂直、面面垂直的問題。通過線面垂直、面面垂直的證明，培養(yǎng)學生空間觀念及及觀察、操作、實驗、探索、合情推理的能力?！久}規(guī)律】主要考查線線、面面垂直的判定與性質(zhì)，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線線垂直、線面垂直、面面垂直為主，屬中檔題。例10、（2008廣東五校聯(lián)考）正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：（1）D1O//平面A1BC1;（2）D1O⊥平面MAC.證明:(1)連結(jié)分別交于在正方體中,對角面為矩形分別是的中點四邊形為平行四邊形平面,平面平面（2）連結(jié),設(shè)正方體的棱長為,在正方體中,對角面為矩形且分別是的中點在中，，即在正方體中平面又，平面平面又平面點評：證明線面垂直，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直，由線線垂直推出線面垂直，證明線線垂直有時要用勾股定理的逆定理．例11、（2008廣東中山模擬）如圖，四棱錐P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點．ABCDEP(=1\*ROMANI)求證：平面PDCABCDEP(=2\*ROMANII)求證：BE//平面PAD．證明：（1）由PA平面ABCDABCDABCDEPF平面PDC平面PAD；（2）取PD中點為F，連結(jié)EF、AF，由E為PC中點，得EF為△PDC的中位線，則EF//CD，CD=2EF．又CD=2AB，則EF=AB．由AB//CD，則EF∥AB．所以四邊形ABEF為平行四邊形，則EF//AF．由AF面PAD，則EF//面PAD．點評：證明面面垂直，先證明線面垂直，要證線面垂直，先證明線線垂直．例12、（2008廣東深圳模擬）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，，求點到平面的距離；(1)證明：底面且平面平面(2)解：因為，且，可求得點到平面的距離為點評：求點到面的距離，經(jīng)常采用等體積法，利用同一個幾何體，體積相等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．考點六：空間向量【內(nèi)容解讀】用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題（幾何問題向量化）；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾我有等問題（進行向量運算）；（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義（回歸幾何問題）．【命題規(guī)律】空間向量的問題一般出現(xiàn)在立體幾何的解答題中，難度為中等偏難．例１３、如圖1，直三棱柱中，，，棱分別是的中點．求的長；求的值．解：如圖1，建立空間直角坐標系．（1）依題意，得，．（2）依題意，得，．．．點評：本題主要考查了空間向量的概念及坐標運算的基本知識，考查了空間兩向量的夾角、長度的計算公式．解題的關(guān)鍵是恰當?shù)亟⒖臻g直角坐標系和準確地表示點的坐標例１４、如圖2，在四棱錐，底面為矩形，底面，是上一點，．已知．求：異面直線與的距離；二面角的大?。猓阂詾樽鴺嗽c，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，并設(shè)，則．（1），，解得．，即，又，故是異面直線與的公垂線．而，即異面直線與的距離為1．（2）作，并設(shè)，，且，則，可取．再作于，并設(shè)，，且，則，又?。?，，可知與的夾角就是所求二面角的大小，，即所求二面角為．點評：向量法求二面角是一種獨特的方法，因為它不但是傳統(tǒng)方法的有力補充，而且還可以另辟溪徑，解決傳統(tǒng)方法難以解決的求二面角問題．向量法求二面角通常有以下三種轉(zhuǎn)化方式：①先作、證二面角的平面角，再求得二面角的大小為；②先求二面角兩個半平面的法向量（注意法向量的方向要分布在二面角的內(nèi)外），再求得二面角的大小為或其補角；③先分別在二面角兩個半平面內(nèi)作棱的垂線（垂足不重合），又可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線的夾角．例１５、如圖，已知正三棱柱，是的中點，求證：平面．證明：建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，則，，．設(shè)平面的一個法向量為，則所以不妨令，則．由于，得．又平面，平面．點評：平面的法向量是空間向量的一個重要概念，它在解決立體幾何的許多問題中都有很好的應(yīng)用.四、方法總結(jié)與2009年高考預測（一）方法總結(jié)1．位置關(guān)系：（1）兩條異面直線相互垂直證明方法：①證明兩條異面直線所成角為90o；②證明線面垂直，得到線線垂直；③證明兩條異面直線的方向量相互垂直。（2）直線和平面相互平行證明方法：①證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；②證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；③證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。（3）直線和平面垂直證明方法：①證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，②證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；③證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直證明方法：①證明這兩個平面所成二面角的平面角為90o；②證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；③證明兩個平面的法向量相互垂直。2．求距離：求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。（1）兩條異面直線的距離求法：利用公式法。（2）點到平面的距離求法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。②等體積法。③向量法。3．求角（1）兩條異面直線所成的角求法：①先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；②通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）直線和平面所成的角求法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。②向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為或。（3）平面與平面所成的角求法：①“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。②向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為α，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π－α。（二）2009年高考預測從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是一個解答題，1至3個填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點是考查空間想象能力和推理運算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解．

高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力

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近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直