2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第6節(jié)二項(xiàng)分布超幾何分布與正態(tài)分布學(xué)案含解析新人教A版

PAGE第六節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)．將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．(2)二項(xiàng)分布設(shè)每次試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)．在n重伯努利試驗(yàn)中，用X表示事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的聯(lián)系由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)覺，兩點(diǎn)分布是一種特別的二項(xiàng)分布，即n＝1時(shí)的二項(xiàng)分布．2．超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，稱隨機(jī)變量X聽從超幾何分布．超幾何分布的特征(1)考察對(duì)象分兩類；(2)已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體數(shù)X的概率分布．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．3．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up8(－eq\f((x－μ)2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，我們稱函數(shù)f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).④曲線與x軸圍成的面積為1.⑤在參數(shù)σ取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的改變而沿x軸平移，如圖(1)所示．⑥當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形態(tài)由σ確定，σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖(2)所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up8(－eq\f((x－μ)2,2σ2))，x∈R，則稱隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．正態(tài)總體在三個(gè)特別區(qū)間內(nèi)取值的概率值．①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.若X聽從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X＝μ對(duì)稱和曲線與x軸之間的面積為1.二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．推斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)的概率分布． (√)(2)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X聽從超幾何分布． (×)(3)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X聽從超幾何分布． (√)(4)一個(gè)盒中裝有4個(gè)黑球、3個(gè)白球，從中任取一個(gè)球．若是白球，則取出來，若是黑球，則放回盒中，直到把白球全部取出來．設(shè)取到黑球的次數(shù)為X，則X聽從超幾何分布． (×)(5)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于二項(xiàng)式(a＋b)n綻開式的通項(xiàng)公式，其中a＝p，b＝1－p. (×)(6)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布密度函數(shù)，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差． (√)2．假如某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為eq\f(2,3)，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是()A．eq\f(80,243)B．eq\f(80,81)C．eq\f(163,243)D．eq\f(163,729)A解析：用X表示發(fā)芽的粒數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))，則P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up8(2)＝eq\f(80,243)，故播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率為eq\f(80,243).3．某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布，平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，則理論上在80分到90分的人數(shù)是()A．32B．16C．8D．20B解析：因?yàn)閿?shù)學(xué)成果近似地聽從正態(tài)分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，所以理論上在80分到90分的人數(shù)是eq\f(1,2)×0.6827×48≈16.4．設(shè)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)等于()A．eq\f(5,16)B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,8)D．eq\f(3,8)A解析：因?yàn)閄～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，所以由二項(xiàng)分布可得，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up8(3)＝eq\f(5,16).5．已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________.eq\f(4,3)解析：因?yàn)閄～N(3,1)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝2×3，所以c＝eq\f(4,3).6．已知隨機(jī)變量X～N(1，σ2)，若P(X>0)＝0.8，則P(X≥2)＝________.0.2解析：隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱，所以P(X≥2)＝P(X≤0)＝1－P(X>0)＝0.2.考點(diǎn)1n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布——綜合性考向1n重伯努利試驗(yàn)及其概率甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率．(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率．(3)假設(shè)每人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則終止其射擊．問：乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率為多少？解：(1)記“甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)”為事務(wù)A1，則事務(wù)A1的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)1為“甲射擊4次，全部擊中目標(biāo)”．由題意可知，射擊4次相當(dāng)于做了4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P(eq\x\to(A)1)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(4)＝eq\f(16,81).所以P(A1)＝1－P(eq\x\to(A)1)＝1－eq\f(16,81)＝eq\f(65,81).所以甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為eq\f(65,81).(2)記“甲射擊4次，恰好擊中目標(biāo)2次”為事務(wù)A2，“乙射擊4次，恰好擊中目標(biāo)3次”為事務(wù)B2，則P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up8(2)＝eq\f(8,27)，P(B2)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up8(1)＝eq\f(27,64).由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).所以兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為eq\f(1,8).(3)記“乙恰好射擊5次后，被終止射擊”為事務(wù)A3，“乙第i次射擊未擊中”為事務(wù)Di(i＝1,2,3,4,5)，則A3＝D5D4eq\x\to(D)3(eq\x\to(D)2eq\x\to(D)1∪eq\x\to(D)2D1∪D2eq\x\to(D)1)，且P(Di)＝eq\f(1,4).由于各事務(wù)相互獨(dú)立，故P(A3)＝P(D5)P(D4)P(eq\x\to(D)3)P(eq\x\to(D)2eq\x\to(D)1＋eq\x\to(D)2D1＋D2eq\x\to(D)1)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))＝eq\f(45,1024).所以乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率為eq\f(45,1024).n重伯努利試驗(yàn)概率求解的策略(1)首先推斷問題中涉及的試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)，推斷時(shí)留意各次試驗(yàn)之間是否相互獨(dú)立的，并且每次試驗(yàn)的結(jié)果是否只有兩種，在任何一次試驗(yàn)中，某一事務(wù)發(fā)生的概率是否都相等，全部滿意n重伯努利試驗(yàn)的要求才能用相關(guān)公式求解．(2)解此類題時(shí)常用互斥事務(wù)概率加法公式，相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式及對(duì)立事務(wù)的概率公式．考向2二項(xiàng)分布某公司聘請(qǐng)員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用；當(dāng)這兩位專家看法不一樣時(shí)，再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為eq\f(1,2)，復(fù)審能通過的概率為eq\f(3,10)，各專家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；(2)若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列．解：設(shè)“兩位專家都同意通過”為事務(wù)A，“只有一位專家同意通過”為事務(wù)B，“通過復(fù)審”為事務(wù)C．(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事務(wù)D，則D＝A∪BC．因?yàn)镻(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(B)＝2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(3,10)，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝eq\f(2,5).(2)依據(jù)題意，X＝0,1,2,3,4，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，Ai表示“應(yīng)聘的4人中恰有i人被錄用”(i＝0,1,2,3,4)．因?yàn)镻(A0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up8(4)＝eq\f(81,625)，P(A1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up8(3)＝eq\f(216,625)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up8(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up8(2)＝eq\f(216,625)，P(A3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up8(3)×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，P(A4)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up8(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up8(0)＝eq\f(16,625).所以X的分布列為X01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)二項(xiàng)分布概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過程，但須要留意檢查該概率模型是否滿意公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事務(wù)A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的狀況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事務(wù)A恰好發(fā)生了k次的概率．為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必需進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售．已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為eq\f(1,6)，其次輪檢測(cè)不合格的概率為eq\f(1,10)，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒有影響．若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元．已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則P(X≥－80)＝________.eq\f(243,256)解析：由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))＝eq\f(3,4).易知X的全部可能取值為－320，－200，－80,40,160.設(shè)ξ表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,4)))，所以P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(4－k).所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(2)＝eq\f(27,128)，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(1)＝eq\f(27,64)，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(0)＝eq\f(81,256).故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝eq\f(243,256).考點(diǎn)2超幾何分布——綜合性在心理學(xué)探討中，常采納對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理示意對(duì)人的影響，詳細(xì)方法如下：將參與試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理示意的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．解：(1)記接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事務(wù)為M，則P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征：①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．1．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ.已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為()A．10%B．20%C．30%D．40%B解析：設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,x)C\o\al(1,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(x(10－x),45)＝eq\f(16,45)，所以x＝2或x＝8.因?yàn)榇纹仿什怀^40%，所以x＝2，所以次品率為eq\f(2,10)＝20%.2．(2024·貴陽市四校高三聯(lián)考)高新區(qū)某中學(xué)德育處為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“國安法”的關(guān)注狀況，在全校組織了“國家平安知多少”的學(xué)問問卷測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了12份問卷，得到其測(cè)試成果(百分制)如下：52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.(1)寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計(jì)該校測(cè)試成果在70分以上的人數(shù)；(2)從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人，記ξ表示測(cè)試成果在80分以上的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)由已知數(shù)據(jù)可得中位數(shù)為76，樣本中70分以上的所占比例為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，故可估計(jì)該校測(cè)試成果在70分以上的約為3000×eq\f(2,3)＝2000(人)．(2)由題意可得ξ的可能取值為0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(4,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(16,70)＝eq\f(8,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(36,70)＝eq\f(18,35)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(16,70)＝eq\f(8,35)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70).所以ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70)E(ξ)＝0×eq\f(1,70)＋1×eq\f(8,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(8,35)＋4×eq\f(1,70)＝2.考點(diǎn)3正態(tài)分布——應(yīng)用性(1)(多選題)(2024·本溪高級(jí)中學(xué)期末)若隨機(jī)變量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0.下列等式成立的有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)AC解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，所以正態(tài)曲線關(guān)于ξ＝0對(duì)稱，如圖．φ(－x)＝φ(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A項(xiàng)正確；φ(2x)＝φ(ξ≤2x)，2φ(x)＝2φ(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，所以C項(xiàng)正確；P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選AC．(2)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X，且X～N(800,502)，則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為()A．0.97725 B．0.84135C．0.9973 D．0.9545A解析：因?yàn)閄～N(800,502)，所以P(700≤X≤900)≈0.9545，所以P(X>900)≈eq\f(1－0.9545,2)＝0.02275，所以P(X≤900)≈1－0.02275＝0.97725.(3)“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2024年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，所得頻率分布直方圖如下：①求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；②由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在[14.55,38.45]內(nèi)的概率．附：計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差為σ＝eq\r(142.75)≈11.95.解：①所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)eq\x\to(x)＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.②因?yàn)閆聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，所以P(14.55≤Z≤38.45)＝P(26.5－11.95≤Z≤26.5＋11.95)≈0.6827，所以Z落在[14.55,38.45]內(nèi)的概率是0.6827.(1)利用3σ原則求概率問題時(shí)，要留意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一個(gè)．(2)利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性探討相關(guān)概率問題，涉及的學(xué)問主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1.留意活用下面兩個(gè)結(jié)論：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X>μ＋σ)．(2024·安慶二模)為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值的范圍內(nèi)，某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中，檢驗(yàn)員在一天中依據(jù)規(guī)定每間隔2小時(shí)對(duì)該藥品進(jìn)行檢測(cè)，每天檢測(cè)4次，每次檢測(cè)由檢驗(yàn)員從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其主要藥理成分含量(單位：mg)．依據(jù)生產(chǎn)閱歷，可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品中其主要藥理成分含量聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示某次抽取的20件產(chǎn)品中其主要藥理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的藥品件數(shù)，求P(X＝1)(精確到0.001)及X的數(shù)學(xué)期望．(2)在一天內(nèi)的四次檢測(cè)中，假如有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的藥品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查；假如在一天中，有連續(xù)兩次檢