2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第17講排列組合與二項(xiàng)式定理學(xué)案理含解析

PAGE第17講排列、組合與二項(xiàng)式定理高考年份全國卷Ⅰ全國卷Ⅱ全國卷Ⅲ2024利用二項(xiàng)式定理求綻開式中項(xiàng)的系數(shù)·T8計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用·T14利用二項(xiàng)式定理求綻開式中的常數(shù)項(xiàng)·T142024利用二項(xiàng)式定理求綻開式中項(xiàng)的系數(shù)·T42024組合的應(yīng)用·T15利用二項(xiàng)式定理求綻開式中項(xiàng)的系數(shù)·T51.[2024·全國卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的綻開式中x3的系數(shù)為 ()A.12 B.16 C.20 D.242.[2024·全國卷Ⅰ]x+y2x(x+y)5的綻開式中x3y3的系數(shù)為 ()A.5 B.10 C.15 D.203.[2024·全國新高考Ⅰ卷]6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者,每名同學(xué)只去1個(gè)場館,甲場館支配1名,乙場館支配2名,丙場館支配3名,則不同的支配方法共有 ()A.120種 B.90種C.60種 D.30種4.[2024·全國卷Ⅱ]4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參與垃圾分類宣揚(yáng)活動(dòng),每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū),每個(gè)小區(qū)至少支配1名同學(xué),則不同的支配方法共有種.

5.[2024·全國卷Ⅰ]從2位女生、4位男生中選3人參與科技競賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)

6.[2024·全國卷Ⅲ]x2+2x6的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

排列、組合的基本問題1(1)甲、乙等4人排成一排,則甲、乙兩人不相鄰的排法種數(shù)為 ()A.24 B.12 C.6 D.4(2)為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”,實(shí)現(xiàn)宏大復(fù)興的“中國夢”,某高校派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參與A,B,C三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作,每個(gè)縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣,則不同的派遣方案共有 ()A.24種 B.36種C.48種 D.64種(3)支配3名志愿者完成5項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的支配方式共有 ()A.60種 B.90種C.150種 D.300種(4)為抗擊某次疫情,我市某醫(yī)院從3名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、4名急診重癥科醫(yī)生和5名護(hù)士中選派5人組成一個(gè)抗擊疫情醫(yī)療小組,則呼吸內(nèi)科與急診重癥科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是.

【規(guī)律提煉】對(duì)于有限制條件、特別條件的排列、組合應(yīng)用題,要敏捷運(yùn)用干脆法、特別元素優(yōu)先法、捆綁法、插空法、定序法、間接法、隔板法等.對(duì)于“至少”或“至多”的問題必需非常重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與遺漏.用干脆法和間接法都可以求解,通常用干脆法求解而分類狀況困難時(shí),考慮逆向思維,用間接法求解.測題1.為抗擊新冠病毒,某部門支配甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導(dǎo)防疫工作.因工作須要,每地至少需支配一名專家,其中甲、乙兩名專家必需支配在同一地工作,丙、丁兩名專家不能支配在同一地工作,則不同的安排方法種數(shù)為 ()A.18 B.24 C.30 D.362.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學(xué)、英語各2節(jié),自習(xí)課1節(jié)的功課表,其中上午5節(jié)課,下午2節(jié)課,若要求2節(jié)語文課必需相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必需相鄰(留意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是 ()A.84 B.54 C.42 D.183.已知整數(shù)數(shù)列{an}共5項(xiàng),其中a1=1,a5=4,且對(duì)隨意i∈N*且1≤i≤4,都有|ai+1-ai|≤2,則符合條件的數(shù)列個(gè)數(shù)為.

二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用2(1)x2+2x6的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ()A.240 B.480 C.448 D.228(2)(1-x)x+1x+24的綻開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是 ()A.10 B.2 C.-14 D.34(3)已知(x2-x+a)(2x-1)5(a∈R)的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為-1,則綻開式中x的系數(shù)為.

(4)已知(x+a)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024(a>0),則綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng);若(a0+a2+…+a2024)2-(a1+a3+…+a2024)2=1,則a=.

【規(guī)律提煉】近幾年高考試題中二項(xiàng)式定理的內(nèi)容大多與綻開式的系數(shù)有關(guān),常考點(diǎn)有利用通項(xiàng)求xn的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)(無理項(xiàng))等,還有運(yùn)用賦值法求項(xiàng)的系數(shù)和,求系數(shù)的最大項(xiàng)或最小項(xiàng),總體難度不大.測題1.二項(xiàng)式x2-1xn綻開式中,只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則該綻開式的常數(shù)項(xiàng)是 ()A.-15 B.-20 C.15 D.202.在x·x-14x6的綻開式中,x52的系數(shù)為 (A.1532 B.1516 C.516 3.(1-x)2(1+y)5的綻開式中含xy2項(xiàng)的系數(shù)是.

4.若(2-x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a16(1+x)16+a17(1+x)17,則:①a0+a1+a2+…+a16=;

②a1+2a2+3a3+…+16a16=.

第17講排列、組合與二項(xiàng)式定理真知真題掃描1.A[解析]因?yàn)?1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,所以綻開式中x3的系數(shù)為C43+2C42.C[解析]由題知綻開式中含x3y3的項(xiàng)為xC53x2y3+y2xC51x4y=15x3y3,所以x3y3.C[解析]甲場館有C61種支配方法,乙場館有C52種支配方法,丙場館有C33種支配方法,總共有C614.36[解析]將4名同學(xué)按人數(shù)分為2,1,1三組,再全排列,則不同的支配方法共有C42A33=5.16[解析]方法一:分兩種狀況,即3人中1女2男的選法有C21C42種,3人中2女1男的選法有C22C41種.據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,方法二:從6人中任選3人有C63種選法,若3人均為男生有C43種選法,所以至少有1位女生入選的不同選法有C63-C6.240[解析]綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6r(x2)6-r2xr=C6r2rx12-3r,令12-3r=0,得r=4,所以綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為C64×24=6考點(diǎn)考法探究小題1例1(1)B(2)B(3)C(4)611[解析](1)方法一:先解除甲、乙外兩人有A22種排法,再插空排甲、乙有A32種排法,故共有A22A32=方法二:4人排成一排,共有A44=24(種)排法,甲、乙兩人相鄰有A22A33=12(種)排法,因此甲、乙兩人不相鄰的排法種數(shù)為A4(2)當(dāng)依據(jù)3∶1∶1進(jìn)行安排時(shí),有C31A33=18(種)不同的派遣方案;當(dāng)依據(jù)2∶2∶1進(jìn)行安排時(shí),有C32A33=18(種(3)按每個(gè)人工作的項(xiàng)數(shù),分成兩種狀況:第一種狀況,項(xiàng)數(shù)為1,1,3,有C53·C21·C11A其次種狀況,項(xiàng)數(shù)為2,2,1,有C52·C32·C11A故不同的支配方式共有150種.故選C.(4)選出1名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、1名急診重癥科醫(yī)生、3名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C31×C41×選出1名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、2名急診重癥科醫(yī)生、2名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C31×C42×選出2名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、1名急診重癥科醫(yī)生、2名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C32×C41×選出2名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、2名急診重癥科醫(yī)生、1名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C32×C42×選出1名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、3名急診重癥科醫(yī)生、1名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C31×C43×選出3名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、1名急診重癥科醫(yī)生、1名護(hù)士的選派方法種數(shù)是C33×C41×選出的5人中沒有護(hù)士的選派方法種數(shù)是C75=綜上所述,選派方法種數(shù)為120+180+120+90+60+20+21=611.【自測題】1.C[解析]由甲、乙兩名專家必需支配在同一地工作,可以將甲、乙兩名專家看成一個(gè)整體,所以相當(dāng)于只有四名專家.先計(jì)算四名專家中有兩名在同一地工作的安排方法種數(shù),即從四名專家中選兩名作為一個(gè)整體和其余兩名看成三個(gè)元素的全排列,有C42·A33種安排方法.又因?yàn)楸⒍擅麑＜也荒苤湓谕坏毓ぷ?所以再去掉丙、丁兩名專家在同一地工作的安排方法種數(shù)A33,所以不同的安排方法種數(shù)有C42·A33-A2.C[解析]依據(jù)題意,分兩種狀況進(jìn)行探討:①語文課和數(shù)學(xué)課都支配在上午,要求2節(jié)語文課必需相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必需相鄰,將2節(jié)語文課和2節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余3節(jié)課中選1節(jié)到上午,由于2節(jié)英語課不加以區(qū)分,因此排法種數(shù)為C31A②語文課和數(shù)學(xué)課一個(gè)支配在上午,一個(gè)支配在下午,2節(jié)語文課不加以區(qū)分,2節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,2節(jié)英語課也不加以區(qū)分,因此排法種數(shù)為C21A綜上所述,共有18+24=42(種)不同的排法.故選C.3.52[解析]因?yàn)閍1=1,a5=4,所以設(shè)x1=a2-a1,x2=a3-a2,x3=a4-a3,x4=a5-a4,所以x1+x2+x3+x4=a5-a1=3,可設(shè)x1≤x2≤x3≤x4,因?yàn)閍i+1-ai∈{-2,-1,0,1,2},所以x1,x2,x3,x4的全部可能組合為{-2,1,2,2},{-1,1,1,2},{-1,0,2,2},{0,0,1,2},{0,1,1,1},共五組,所以符合條件的數(shù)列個(gè)數(shù)為C42C21+C42C2小題2例2(1)A(2)C(3)-9(4)10112[解析](1)x2+2x6綻開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(x2)6-k2xk=2kC6kx12-3k,令12-3k=0,解得k=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T5=24C64=16×15=240(2)由題意得(1-x)x+1x+24=(1-x)x2+1+2xx4=(1-x)(又(x+1)8的綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=C8rx8所以(x+1)8x4的綻開式中含x-(x+1)8x3的綻開式中含x的項(xiàng)為所以(1-x)x+1x+24的綻開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是C83-C84=-14.(3)令x=1,可得(x2-x+a)(2x-1)5綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為a·15=-1,∴a=-1,∴(x2-x+a)(2x-1)5=(x2-x-1)(2x-1)5=x2·(2x-1)5-x·(2x-1)5-(2x-1)5,故(x2-x-1)(2x-1)5綻開式中含x的項(xiàng)為(-x)·(-1)5-C54·2x·(-1)4=-9x.故綻開式中x的系數(shù)為-(4)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得,C20201010最大,所以綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第1011令x=1,得(1+a)2024=a0+a1+a2+…+a2024,令x=-1,得(-1+a)2024=a0-a1+a2-a3+…+a2024,而(a0+a2+…+a2024)2-(a1+a3+…+a2024)2=(a0+a1+a2+…+a2024)(a0-a1+a2-a3+…+a2024)=(1+a)2024(-1+a)2024=[(1+a)(-1+a)]2024=(a2-1)2024=1,解得a=2.【自測題】1.C[解析]因?yàn)槎?xiàng)綻開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以n=6,所以綻開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(x2)6-k-1xk=(-1)kC6kx12-令12-3k=0得k=4,所以綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是(-1)4C64=15.故選2.B[解析]由題意可知,要求x52的系數(shù),只需求x-14x6的綻開式中x2因?yàn)閤-14x6綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6rx6-r-14xr=C6r-14rx6-所以當(dāng)r=2時(shí),T3=C62-142x2=1516x2,故x53.-20[解析](1-x)2的綻開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為-2.(1+y)5的綻開式中含y2項(xiàng)的系數(shù)為C5故(1-x)2(1+y)5的綻開式中含xy2項(xiàng)的系數(shù)是-20.4.①217+1②17(1-216)[解析]①(2-x)17=[3-(1+x)]17的綻開式的通項(xiàng)為Tr+1=C17r·317-r·(-1)r·(1+x)由T18=C1717[-(1+x)]17=-(1+x)17,可得a17=-令1+x=1,即x=0,可得a0+a1+a2+