2024-2025學年高中數(shù)學第三章統(tǒng)計案例3.1回歸分析的基本思想及其初步應用跟蹤訓練含解析新人教A版選修2-3

PAGE回來分析的基本思想及其初步應用[A組學業(yè)達標]1．下列兩個變量之間的關系不是函數(shù)關系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的邊長和面積C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和D．人的年齡和身高解析：函數(shù)關系就是一種變量之間的確定性的關系．A，B，C三項中的兩個變量之間都是函數(shù)關系，可以寫出相應的函數(shù)表達式，分別為f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π.D選項中的兩個變量之間不是函數(shù)關系，對于年齡確定的人群，仍可以有不同的身高．故選D.答案：D2．設一個線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2－1.5x，則變量x增加一個單位時()A.eq\o(y,\s\up6(^))平均增加1.5個單位B.eq\o(y,\s\up6(^))平均增加2個單位C.eq\o(y,\s\up6(^))平均削減1.5個單位D.eq\o(y,\s\up6(^))平均削減2個單位解析：由線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2－1.5x中x的系數(shù)為－1.5，知C項正確．答案：C3．有下列數(shù)據(jù)：x123y35.9912.01下列四個函數(shù)中，模擬效果最好的為()A．y＝3×2x－1 B．y＝log2xC．y＝3x D．y＝x2解析：當x＝1,2,3時，分別代入求y值，離y最近的值模擬效果最好，可知A模擬效果最好．答案：A4．四名同學依據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)探討變量x，y之間的相關關系，并求得回來直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.756x＋7.325.②y與x負相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝3.476x＋5.648③y與x正相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.226x－6.578④y與x正相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝8.967x＋8.163其中肯定不正確的結(jié)論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：依據(jù)題意，依次分析4個結(jié)論：對于①，y與x負相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.756x＋7.325，此結(jié)論正確，線性回來方程符合負相關的特征；對于②，y與x負相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝3.476x＋5.648，此結(jié)論錯誤，由線性回來方程知，此兩變量的關系是正相關；對于③，y與x正相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.226x－6.578，此結(jié)論錯誤，由線性回來方程知，此兩變量的關系是負相關；對于④，y與x正相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝8.967x＋8.163，此結(jié)論正確，線性回來方程符合正相關的特征；故②③肯定錯誤．答案：B5．對具有線性相關關系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如下表：x24568y2040607080依據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型來預料當x＝20時，y的估計值為________．解析：由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝54，則(5,54)滿意回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝1.5，因此eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋1.5，當x＝20時eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5×20＋1.5＝211.5.答案：211.56．如圖是x和y的一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖，去掉一組數(shù)據(jù)________后，剩下的4組數(shù)據(jù)的相關指數(shù)最大．解析：去掉D(3,10)這一組數(shù)據(jù)后，其他4組數(shù)據(jù)對應的點都集中在某一條直線旁邊，即兩變量的線性相關性最強，此時相關指數(shù)最大．答案：D(3,10)7．在探討兩個變量的相關關系時，視察散點圖發(fā)覺樣本點集中于某一條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的四周，令z＝lny，求得回來直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.25x－2.58，則該模型的回來方程為____________________．解析：由z＝lny，eq\o(z,\s\up6(^))＝0.25x－2.58，得lneq\o(y,\s\up6(^))＝0.25x－2.58，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.25x－2.58.故該模型的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.25x－2.58.答案：eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.25x－2.588．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x/萬元8.28.610.011.311.9支出y/萬元6.27.58.08.59.8依據(jù)上表可得回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).據(jù)此估計，求社區(qū)一戶年收入為15萬元的家庭的年支出．解析：由題意可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，可得eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4.∴回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76x＋0.4.把x＝15代入可得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8.故社區(qū)一戶年收入為15萬元的家庭的年支出為11.8萬元．9．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；(2)預料在今后的銷售中，銷量與單價仍舊聽從(1)中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)解析：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9,6)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，∵eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝80＋20×8.5＝250，∴線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250；(2)設工廠獲得的利潤為L元，則L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(33,4)))2＋361.25，∴該產(chǎn)品的單價應定為8.25元，工廠獲得的利潤最大．[B組實力提升]10．對于給定的樣本點所建立的模型A和模型B，它們的殘差平方和分別是a1，a2，R2的值分別為b1，b2，下列說法正確的是()A．若a1＜a2，則b1＜b2，A的擬合效果更好B．若a1＜a2，則b1＜b2，B的擬合效果更好C．若a1＜a2，則b1＞b2，A的擬合效果更好D．若a1＜a2，則b1＞b2，B的擬合效果更好解析：由殘差平方和以及R2的定義式可得若a1＜a2，則b1＞b2，A的擬合效果更好．答案：C11．近10年來，某市社會商品零售總額與職工工資總額(單位：億元)數(shù)據(jù)如下：工資總額x/億元23.827.631.632.433.734.943.252.863.873.4社會商品零售總額y/億元41.451.861.767.968.777.595.9137.4155.0175.0建立社會商品零售總額y與職工工資總額x的線性回來方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.7991x－27.248552B.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.7991x－23.548452C.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.6992x－23.749352D.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.8992x－23.749452解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝41.72，eq\o(y,\s\up6(－))＝93.23，代入驗證可知B選項正確．答案：B12．已知方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71是依據(jù)女高校生的身高預報她的體重的回來方程，其中x的單位是cm，eq\o(y,\s\up6(^))的單位是kg，那么針對某個體(160,53)的殘差是________．解析：將x＝160代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×160－82.71＝53.29，所以殘差eq\o(e,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(y,\s\up6(^))＝53－53.29＝－0.29.答案：－0.2913．已知一個線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1,5,7,13,19}，則eq\o(y,\s\up6(－))＝________.解析：∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋5＋7＋13＋19,5)＝9，且eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，∴eq\o(y,\s\up6(－))＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.514．假設關于某種設備的運用年限x(年)與所支出的修理費用y(萬元)有如表統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)).(2)x與y具有線性相關關系，求出線性回來方程．(3)估計運用年限為10年時，修理費用約是多少？解析：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝5.(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝1.23，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08.所以線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.(3)當x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)，即估計運用年限為10年時，修理費用約為12.38萬元．15．菜農(nóng)定期運用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥，食用時須要用清水清洗干凈，下表是用清水x(單位：千克)清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y(單位：微克)的統(tǒng)計表：x12345y5854392910(1)令w＝x2，利用給出的參考數(shù)據(jù)求出y關于w的回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))w＋eq\o(a,\s\up6(^)).(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,w)i＝55，eq\i\su(i＝1,5,)(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝－751，eq\i\su(i＝1,5,)(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))2＝374，其中wi＝xeq\o\al(2,i)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,w)i.(2)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當它的殘留量不高于20微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜，請估計至少須要用多少千克的清水清洗1千克蔬菜？(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)eq\r(5)≈2.24)附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小