2024-2025學(xué)年福建省福州某中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年福建省福州一中高三(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z+z=4,且z-z=2i,貝lj|z|=()

A.72B.<3C.2D.

2.已知集合A={x|2<x<4],B—{x\\x-4|>1],則An?B)=()

A.(2,3)B.(3,4)

C.[3,4)D.(-oo,4)U(5,+oo)

3.已知向量2,b,滿足|五+23|=2，九同=2,|山則向量2與5的夾角為()

B.JC.vD.^

o336

4.已知函數(shù)/(%)=在(1,2)上單調(diào)遞增，貝!Ja的取值范圍為()

A.(0,2]B.(-8,2]C.(2,4)D.[4,+oo)

5.已知a,。為銳角,且cosa=|,sin(a—￡)=亮，則cos夕=()

A16B.|f

ArD?嚏

65

6.設(shè)四棱臺(tái)ABCD-的上、下底面積分別為S「S2,側(cè)面積為S,若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面

都相切，貝1()

A.S2=B.S=Si+S2

C.S=2JS1S2D.TS=店+

7.如圖，將繪有函數(shù)f0)=Msingx+9)(M>0,0<9<兀)部分圖像的紙片沿x軸折成直二面角，止匕時(shí)

4B之間的距離為，彳弓則9=()

8.已知/(%)=2,+2-%+cos%+/,若。=/(4①兀3),6=/(九①43),c=/(4Zn37r),則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知數(shù)列｛&J、｛bn｝,下列說法正確的有()

A.若與=—(—2)"+3,則｛%｝為遞減數(shù)列

2

B.若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n+3n,則為等差數(shù)列

C.若數(shù)列｛an｝,｛%｝都是等差數(shù)列，貝式斯-.｝為等差數(shù)列

D.若數(shù)列｛即｝,伯?｝都是等比數(shù)列，貝式廝-%｝為等比數(shù)列

10.拋物線C：/=2py的焦點(diǎn)為F,P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到?,1)時(shí)，|PF|=2,直線I與拋物線相交

于4、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()

A.拋物線的方程為：x2=By

B.拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=-1

C.當(dāng)直線2過焦點(diǎn)F時(shí)，以力F為直徑的圓與％軸相切

D.AF+BF>4

11.已知函數(shù)/(%),g(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g'Q),且/(%)+g'(久)=5,/Q-1)一g'(5-

x)=5,若g。)為偶函數(shù)，則下列說法正確的是()

A./(0)=5

B.比腎/0)=10120

C.若存在而使/0)在(0,而)上單調(diào)遞增，在(久0,2)上單調(diào)遞減，則9。)的極小值點(diǎn)為4k(keZ)

D.若/(久)為偶函數(shù)，則滿足題意的f(x)唯一，滿足題意的g(x)不唯一

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知隨機(jī)變量X?N(〃42),y?B(6,p),且P(X>4)=I，E(X)=E(Y),則P=.

13.已知橢圓方程為冬+A=l(a>b>0),雙曲線方程為a—%=l(?n>0,71>0),若該雙曲線的兩條

漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)以及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率與雙曲線的

離心率之和為.

14.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(I)=1,且對任意％<0,均有(占)，貝I

萬腎募0)=

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數(shù)/(久)=登=.

(1)若函數(shù)/(?單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(x)=(/(%)+1)礦只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題12分)

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,ab=2acosC+2ccosA.

⑴求a；

(2)若tcmB+tanC—2,求△ABC面積的取值范圍.

17.(本小題12分)

如圖，四棱錐M-ABCD的底面是邊長為2的正方形，平面DMC!_平面4BCD,DM1MC.

(1)求四棱錐M-ABC。體積的最大值；

(2)若二面角M—BC—D為45。，設(shè)平面與平面MBC的交線為2,N為1上的點(diǎn)，且NB=/百，|MN|<

2,求MB與平面NA8所成角的正弦值.

18.(本小題12分)

已知雙曲線C：最一*1的中心為0,離心率點(diǎn)4在%軸上，|0*=6,點(diǎn)P是C上一定點(diǎn)，P到x軸的

距離為1,且|0P|=|P2|.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵求C上任一點(diǎn)和4的距離的最小值；

(3)若C上的點(diǎn)M,N滿足MN〃PA,求證：在C上存在定點(diǎn)Q(異于P)使得P,M,N,Q在同一個(gè)圓上.

19.(本小題12分)

有2九朵花圍繞在一個(gè)圓形花圃周圍，現(xiàn)要將其兩兩配對綁上緞帶作為裝飾，緞帶之間互不交叉，例如：

n=2時(shí)，共有4朵花，以1、2、3、4表示，綁上緞帶的兩朵用一條線連接，共有2種方式，如圖1、2所

示.

(1)當(dāng)n=3時(shí)，求滿足要求的綁緞帶方法總數(shù)；

(2)已知滿足要求的每一種綁法出現(xiàn)的概率都相等，如n=2時(shí)，出現(xiàn)圖1和圖2所示方法的概率均為去記一

次綁法中，共有y對相鄰的兩朵花綁在一起.

①當(dāng)幾=4時(shí)，求丫的分布列和期望;

(ii)已知:對任意隨機(jī)變量Xg=1,2，…,m,m€N*),有E已之］2)=(X)

記滿足條件的綁緞帶方法總數(shù)為。2小y的期望為E2".求%-E4??…E2式用n和a2n表示)?

參考答案

l.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.D

l.D

8.D

9.BC

10.BC

11.ABD

13./3+1

92022

14-——

?2023!

15.解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)〃乃=嗅，xeR,則/(久)=

2ax—ax24-1

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)單調(diào)遞增，

所以/'(%)>0,即a/_2ax—1<0,

當(dāng)a=0時(shí)，—140恒成立，

當(dāng)a#0時(shí)，則有If?”/n，解得—lWa<0,

綜上，即a的取值范圍為{a|-l〈a<0}.

(2)gQ)=(/(%)+l)ex=ax2—1+ex,

因?yàn)間(%)只有一個(gè)極值點(diǎn)，

則“(%)=2ax+e%只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

顯然％=0不是g(%)的零點(diǎn)，

所以2a%+u*=0=—2a=幺有一個(gè)變號(hào)交點(diǎn),

x

.pXvpX_pXpX

令h(x)=7Q"(x)=-^2—=7(久一1)，

所以函數(shù)似乃在(-8,0)和(0,1)分別單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

如圖象所示，可得：/i(l)=e,所以一2a<0,所以Q>0,即。的取值范圍是(0,+8).

16.解：(1)由ab=2acosC+2ccos4及正弦定理，

可得asinB=IsinAcosC+IsinCcosA,

BPasinB=2si?i(Z+C),又/+C=n—B,

則有asinB=2sinB,又BEsinBW0,

所以a=2；

(2)由(1)知a=2,即BC=2,

xx

則CD=2—y,tanB=tanC=了彳，

故;+啟=2，即久=y(2-y),

又ye(0,2),所以y(2-y)=-y2+2y=-(y-l)2+1G(0,1],

1i

三角形ABC的面積S=BC?AD=々x2x=x,

所以△ABC的面積取值范圍是(0,1].

17J?：(1)在平面“CD中過M作M。1CD,

因?yàn)?MlMC,故：*M。XVMD?+MC2=3MDXMC,且VM"+MC2=2,

nsMDXMC1

故MO=/MDXMC,

JMDZ+MCZ

22

因?yàn)锳/M￡)2+MC2=2,^LMD+MC=4,故422MDxMC,

即MDXMC<2,當(dāng)且僅當(dāng)MD=MC=時(shí)等號(hào)成立，故M。的最大值為1,

因?yàn)槠矫鍰MC1平面ABCD,MO1CD,平面DMCn平面4BCD=CD,

MOu平面。MC,

故M。1平面4BCD,

而正方形4BCD的面積為4,

故四棱錐M-ABCD體積的最大值為爭X1X4=|.

(2)由正方形2BCD可得BC7/4D,而BCu平面MCB,2。C平面MCB,

故A。〃平面MCB,而力。u平面ZDM,平面MCBC平面4DM=I,

故Z〃4D,

由正方形4BCD可得BC1CD,而面DMCC平面力BCD=CD,

BCu平面ABC。，平面DMC_L平面ABC。，

故BUL平面MCD,而MCu平面MCD,

故3clMC,

故NDCM為二面角M-BC-D的平面角，故NDCM=45。，

故AMCD為等腰直角三角形，故M01CD,

由(1)可得M。1平面2BCD,取48的中點(diǎn)T,連接。7,則。T1CD,

故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(2,-1,0),5(2,1,0),D(0,-l,0),M(0,0,l),

則而=(-2,0,0),故而=2(-2,0,0)=(—24,0,0)，

故N(-24,0,l),故前=(-24-2,-1,1)，

而|BN|=故(—24—2產(chǎn)+1+1=3,

即24+2=±1,

即a=一^或入=一|，

而I而1<2,故a=-g,即N(1,O,1),

又麗=(-2,-1,1)，通=(0,2,0)，麗=(-1,1,1)，

設(shè)平面/NB的法向量為沅=(%,y,z),

則由區(qū)巫=0,可得代：：

故可取沅=(1,0,1),

設(shè)48與平直M48所成角為氏

則SMI=g

18.解:(1)因?yàn)閨OP|=|P2|,故點(diǎn)P在。4的垂直平分線上，

且點(diǎn)力在x軸上，\OA\=6,故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)|冷|=3,

P到x軸的距離為1,故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)|"|=1,

將點(diǎn)P代入雙曲線的方程得：=

且離心率e=(=結(jié)合c2=a2+b2,

解得：a=b=2y/-2fc=4,

故雙曲線C的方程為=1；

88

(2)點(diǎn)力在x軸上，|0*=6,由對稱性可知，

點(diǎn)a在久軸正半軸或者負(fù)半軸上，雙曲線上任一點(diǎn)和a的距離的最小值都一樣，

不妨設(shè)力(6,0),設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)B(x,y),則網(wǎng)=J(K—6)2+y2,

1，Sfcy2=x2—8,xe(—oo,-2-\/-2]U+oo),

88

所以1ABi2=(%-6)2+y2=(x-6)2+x2-8=2x2-12x+28=2(久-3)2+10>10,

即MBI2CU，當(dāng)點(diǎn)B為(3,1)時(shí)，|4B|取最小值，而，

故c上任一點(diǎn)和a的距離的最小值為YIU；

(3)證明:當(dāng)點(diǎn)力在x軸正半軸，P在第一象限時(shí),易得4(6,0),P(3,l),

故凝4=-：，設(shè)直線PQ，MN的傾斜角分別為a,0,

由MN〃P4得tcm/7=七4=一全

若a=0,則PQ〃MN,且P,M,N,Q都在雙曲線上,

易知此時(shí)四邊形PQMN非等腰梯形，

故一定不滿足P，M,N,Q四點(diǎn)共圓，所以

故直線PQ,MN一定有交點(diǎn)，設(shè)直線PQ,MN的交點(diǎn)為T(x,y),

x=x0+tcosa叱—/y2_

設(shè)直線PQ的方程為:f

y=y0+tsina聯(lián)"滔一7=1'

22222222222

化簡得:(asina—bcosa)t+(2ay0sina—2bxQcosa)t+ayg—bx^+ab=0,

?次%―廬弓+02b2

^\PT\.\QT\=|tlt2|=|

a2sin2a—Z72cos2aI,

口2光—/無價(jià)a2b2

同理可得|MT|?=|

a2sin2j&—d2cos2j&b

又P,M,N,Q四點(diǎn)共圓等價(jià)于|PT|?|QT|=?|NT|,

BP|a2sin2a—b2cos2a\=|a2sin2jff—b2cos2/?|,即a+￡=TT,

故kpQ=tana=tan(7r-/?)=-,且P(3,l),

1

X

故直線PQ的方程為y3-聯(lián)立雙曲線"―「=1，有Q(—3,—1),

OO

此時(shí)在C上存在定點(diǎn)Q(-3,-l)使得P,M,N,Q在同一個(gè)圓上，

由對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)4在久軸負(fù)半軸，或者點(diǎn)P在其他象限時(shí)，

在C上同樣存在定點(diǎn)Q(異于P)使得P,M,N,Q在同一個(gè)圓上.

19.解：(1)當(dāng)n=3時(shí)，有6朵花圍繞在一個(gè)圓形花圃周圍，以1、2、3、4、5、6表示，

由題意可知，滿足要求的綁緞帶方法，任意一條緞帶綁后，其同側(cè)不能剩余奇數(shù)個(gè)點(diǎn)，

故1必不與奇數(shù)3、5配對，

按花朵1的配對情況，分為三類：

①1與2配對：另4朵3、4、5、6的配對情況，同n=2時(shí)共有4朵花的配對方法數(shù)相同，故有2種方法;

②1與6配對：由對稱性可知同1與2配對的方法數(shù)，故有2種方法；

③1與4配對：2必與3配對，6必與5配對，故只有1種方法.

綜上，完成這件事的方法數(shù)共有2+2+1=5種方法，

列舉如下：(12)(34)(56)；(12)(36)(45)；(16)(23)(45)；(16)(25)(34)；(14)(23)(56),

即滿足要求的綁緞帶方法總數(shù)為5.

(2)(。當(dāng)n=4時(shí)，有8朵花圍繞在一個(gè)圓形花圃周圍.以1、2、3、4、5、6、7、8表示，

由題意可知，滿足要求的綁緞帶方法，任意一條級(jí)帶綁后，其同側(cè)不能剩余奇數(shù)個(gè)點(diǎn)，故1不能與3、5、7

配對，

故按花朵1的配對情況，可分為兩類：

①12或18配對：

若12配對，則另6朵3、4、5、6、7、8的配對情況，

同n=3時(shí)共有6朵花的配對方法數(shù)相同，故有5種方法；

若18配對，由對稱性可知與12配對方法相同，故也有5種方法；

故有2X5=10種方法;

②14或16配對：由對稱性，這兩類配對方法也相同，

不妨設(shè)14配對，由題意，23必配對，而另外5、6、7、8的配對情況,

即同n=2時(shí)共有4朵花的配對方法數(shù)，有2種方法；

故有2X2=4種方法；

綜上，完成這件事的方法數(shù)共有10+4=14種方法.

已知滿足要求的每一種綁法出現(xiàn)的概率都相等，則每一種