2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》第2節(jié) 常用邏輯用語

第二節(jié)常用邏輯用語課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確使用存在(或全稱)量詞對全稱(或存在)量詞命題進(jìn)行否定.新高考對常用邏輯用語直接考查的頻率比較低，一般與其他知識交匯考查，難度為中等偏易.2025年備考仍以選擇題為主訓(xùn)練，主要涉及與函數(shù)、數(shù)列、三角的有關(guān)性質(zhì)、不等式的解法及直線與平面位置關(guān)系的判定等相關(guān)知識結(jié)合考查.必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)1．充分條件、必要條件與充要條件的概念p與q的關(guān)系結(jié)論p?qp是q的eq\x(\s\up1(01))充分條件，q是p的eq\x(\s\up1(02))必要條件p?q且qpp是q的eq\x(\s\up1(03))充分不必要條件pq且q?pp是q的eq\x(\s\up1(04))必要不充分條件p?qp是q的eq\x(\s\up1(05))充要條件pq且qpp是q的eq\x(\s\up1(06))既不充分也不必要條件2.充分、必要條件與集合的子集之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的eq\x(\s\up1(07))充分條件；(2)若A?B，則p是q的eq\x(\s\up1(08))必要條件；(3)若A＝B，則p是q的eq\x(\s\up1(09))充要條件；(4)若AB，則p是q的eq\x(\s\up1(10))充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的eq\x(\s\up1(11))必要不充分條件．3．全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定名稱形式全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中eq\x(\s\up1(12))任意一個x，p(x)成立eq\x(\s\up1(13))存在M中的元素x，p(x)成立簡記eq\x(\s\up1(14))?x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(15))?x∈M，p(x)否定eq\x(\s\up1(16))?x∈M，?p(x)eq\x(\s\up1(17))?x∈M，?p(x)1．在判斷充分、必要條件時，小范圍可以推大范圍，大范圍不可以推小范圍．2．含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件．()(2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.()(3)“?x∈M，p(x)”與“?x∈M，?p(x)”的真假性相反．()答案(1)√(2)√(3)√2．小題熱身(1)(2024·四川綿陽南山中學(xué)模擬)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________條件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)答案必要不充分解析若α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(5π,6)，則滿足sinα＝sinβ，而不滿足α＝β；當(dāng)α＝β時，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ”是“α＝β”的必要不充分條件．(2)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，2]解析由已知可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.(3)(人教A必修第一冊習(xí)題1.5T6改編)已知“若x＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，則實數(shù)λ的取值范圍是________．答案(3，＋∞)解析因為“若x＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，所以“?x＞1，使2x＋1≤λ”是真命題．因為當(dāng)x＞1時，2x＋1＞3，所以實數(shù)λ的取值范圍是(3，＋∞)．(4)設(shè)命題p：?x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命題q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，4))解析若命題p：?x∈R，x2－2x＋m－3＝0為真命題，則Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命題q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0為真命題，則Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，＋∞)).又p，q均為真命題，所以實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤4}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m>\f(3,5)))))＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，4)).考點探究——提素養(yǎng)考點一充分條件、必要條件的判斷例1(1)(2023·全國甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件答案B解析當(dāng)sin2α＋sin2β＝1時，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；當(dāng)sinα＋cosβ＝0時，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.綜上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要條件但不是充分條件．故選B.(2)(2023·河北石家莊模擬)已知a，b，c∈R，則“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析若a＝b＝c，則a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋bc＋ac＝3a2，即a＝b＝c?a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，滿足充分性；若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，則2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，則a＝b＝c，滿足必要性．故選C.(3)(多選)下列四個條件中，能成為x>y的充分不必要條件的是()A．xc2>yc2 B.eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0C．|x|>|y| D．lnx>lny答案ABD解析對于A，若xc2>yc2，則c2≠0，則x>y，反之x>y，當(dāng)c＝0時得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要條件，故A符合題意．對于B，由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0可得y<x<0，即能推出x>y，但x>y不能推出eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0(因為x，y的正負(fù)不確定)，所以“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0”是“x>y”的充分不必要條件，故B符合題意．對于C，由|x|>|y|可得x2>y2，則(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故C不符合題意．對于D，若lnx>lny，則x>y>0，反之x>y得不出lnx>lny，所以“l(fā)nx>lny”是“x>y”的充分不必要條件，故D符合題意．【通性通法】充分、必要條件的兩種常用判斷方法【鞏固遷移】1．(2023·北京高考)若xy≠0，則“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析因為xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要條件．故選C.2．(多選)(2023·廣東廣州華南師大附中模擬)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,6)))為偶函數(shù)的一個充分條件是()A．φ＝－eq\f(5π,6) B．φ＝－eq\f(2π,3)C．φ＝eq\f(π,6) D．φ＝eq\f(π,3)答案BD解析由題意得φ＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得φ＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，令k＝－1，則φ＝－eq\f(2π,3)；令k＝0，則φ＝eq\f(π,3).故選BD.考點二根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．(1)若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________；(2)若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案(1)(0，3](2)[9，＋∞)解析(1)因為p是q的必要不充分條件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3，又m>0，所以實數(shù)m的取值范圍為(0，3]．(2)因為p是q的充分不必要條件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，即實數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)．【通性通法】由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價變形端點值慎取舍在求參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍注意：考慮空集的情況．【鞏固遷移】3．(2023·福建福州四校聯(lián)考)已知p：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,1－x)≤0))))，q：B＝{x|x－a<0}，若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]答案D解析由題意得A＝{x|(x－2)(x－1)≥0且x≠1}＝{x|x≥2或x<1}，B＝{x|x<a}，∵p是q的必要不充分條件，∴BA，∴a≤1.故選D.考點三含有量詞的命題的否定及真假判斷例3(1)設(shè)命題p：平行四邊形對角線相等，則?p為()A．平行四邊形對角線不相等B．有的平行四邊形對角線相等C．有的平行四邊形對角線不相等D．不是平行四邊形對角線就不相等答案C解析因為命題p為省略了全稱量詞“所有”的全稱量詞命題，所以?p：有的平行四邊形對角線不相等．故選C.(2)(2024·湖北百校高三聯(lián)考)設(shè)命題p：?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)＝18；命題q：每個三角形都有內(nèi)切圓，則()A．命題p的否定：?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)＝18B．命題p是真命題C．命題q的否定：存在一個三角形沒有內(nèi)切圓D．命題q是假命題答案C解析命題p的否定應(yīng)為“?x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)≠18”，所以A錯誤；因為f(x)＝2x＋eq\r(x)在x∈(0，4)上單調(diào)遞增，所以f(x)<f(4)＝18，所以當(dāng)x∈(0，4)時，2x＋eq\r(x)<18，所以命題p為假命題，所以B錯誤；命題q的否定為“存在一個三角形沒有內(nèi)切圓”，所以C正確；任何三角形都有內(nèi)切圓，所以命題q為真命題，所以D錯誤．故選C.【通性通法】1．含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定有一定的區(qū)別，含有量詞命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定；而不含量詞命題的否定需先將量詞加上再按照含有量詞命題的否定解答即可．2．含有量詞命題真假判斷的策略判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當(dāng)一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．【鞏固遷移】4．(多選)(2024·河北滄州部分學(xué)校高三聯(lián)考)命題p：?x∈(0，2)，x3>x6；命題q：每個大于2的素數(shù)都是奇數(shù)．關(guān)于這兩個命題，下列判斷正確的是()A．p是真命題B．?p：?x∈(0，2)，x3<x6C．q是真命題D．?q：存在一個大于2的素數(shù)不是奇數(shù)答案ACD解析若x＝eq\f(1,2)，則x3>x6，所以p是真命題，A正確；?p：?x∈(0，2)，x3≤x6，B錯誤；每個大于2的素數(shù)都是奇數(shù)，q是真命題，C正確；?q：存在一個大于2的素數(shù)不是奇數(shù)，D正確．故選ACD.5．(2024·湖北部分學(xué)校高三聯(lián)考)已知p：?m∈{m|－2<m<3}，使關(guān)于x的方程2x2－m＝0有解，則?p：________．答案?m∈{m|－2<m<3}，使關(guān)于x的方程2x2－m＝0無解解析根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，可得?p：?m∈{m|－2<m<3}，使關(guān)于x的方程2x2－m＝0無解．考點四根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍例4(1)已知p：?x∈[3，4)，x2－a≥0，則p成立的一個充分不必要條件可以是()A．a(chǎn)<9 B．a(chǎn)>9C．a(chǎn)<16 D．a(chǎn)>16答案A解析若p為真命題，則a≤x2在區(qū)間[3，4)上恒成立，所以a≤9，所以p成立的一個充分不必要條件可以是a<9.故選A.(2)(2024·山東聊城一中高三期中)若命題“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－2，1)解析因為命題“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，所以命題“?x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命題，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.【通性通法】由命題真假求參數(shù)范圍的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是利用等價命題，即p與?p的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成?p的真假求參數(shù)的范圍．【鞏固遷移】6．若命題“?x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍是()A．[－4，－3] B．(－∞，－4)C．[－4，＋∞) D．[－4，0]答案D解析若“?x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則“?x∈[1，4]，x2－4x－m＝0”是真命題，即m＝x2－4x，設(shè)y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因為y＝x2－4x在[1，2)上單調(diào)遞減，在(2，4]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝2時，ymin＝－4；當(dāng)x＝4時，ymax＝0，故當(dāng)1≤x≤4時，－4≤y≤0，則－4≤m≤0.7．已知命題p：?x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是________．答案[1，＋∞)解析因為p為假命題，所以命題p的否定：?x>0，x＋a－1≠0是真命題，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件答案B解析解法一：若a2＝b2，則當(dāng)a＝－b≠0時，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，則有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，則有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab?a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.解法二：因為a2＝b2?a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab?a＝b，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷a＝－b或a＝b與a＝b的關(guān)系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.2．(2024·浙江名校協(xié)作體高三上學(xué)期開學(xué)考試)設(shè)命題p：?n∈N，n2<3n＋4，則p的否定為()A．?n∈N，n2>3n＋4B．?n∈N，n2≤3n＋4C．?n∈N，n2≥3n＋4D．?n∈N，n2>3n＋4答案C解析因為命題p：?n∈N，n2<3n＋4，所以p的否定為?n∈N，n2≥3n＋4.故選C.3．下列各項中是“四邊形是矩形”的充分條件的是()A．四邊形的對角線相等B．四邊形的兩組對邊分別相等C．四邊形有兩個內(nèi)角都為直角D．四邊形的兩組對邊分別平行且有一組對角互補(bǔ)答案D解析對于A，四邊形的對角線相等且平分才是矩形，故A不符合題意；對于B，四邊形的兩組對邊分別相等為平行四邊形，故B不符合題意；對于C，四邊形有三個內(nèi)角為直角才是矩形，故C不符合題意；對于D，四邊形的兩組對邊分別平行則為平行四邊形，則相鄰兩角互補(bǔ)，又有一組對角互補(bǔ)，故相鄰兩角相等，又相鄰兩角之和為180°，故相鄰兩角均為直角，故該平行四邊形是矩形，故D符合題意．故選D.4．(2024·福建百校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)命題“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”的否定是()A．?x∈Q，eq\r(x2＋1)?QB．?x?Q，eq\r(x2＋1)∈QC．?x∈Q，eq\r(x2＋1)?QD．?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q答案A解析因為命題“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”為存在量詞命題，所以命題“?x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”的否定是“?x∈Q，eq\r(x2＋1)?Q”．故選A.5．(2023·湖南邵陽高三二模)已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則m的取值范圍是()A．(－∞，3] B．(2，3]C．? D．[2，3]答案B解析因為“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，所以BA，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1<5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1>－2，,2m－1≤5，))則2<m≤3，即m的取值范圍是(2，3]．故選B.6．(2024·湖南長郡中學(xué)高三月考)若命題p：“?x∈R，ax2＋2ax－4≥0”為假命題，則a的取值范圍是()A．(－4，0] B．[－4，0)C．[－3，0] D．[－4，0]答案A解析命題p：“?x∈R，ax2＋2ax－4≥0”為假命題，即命題?p：“?x∈R，ax2＋2ax－4<0”為真命題．當(dāng)a＝0時，－4<0恒成立，符合題意；當(dāng)a≠0時，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.綜上可知，－4<a≤0.故選A.7．命題“?1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命題的一個必要不充分條件是()A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥3C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≤4答案A解析因為命題“?1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命題，所以a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))eq\s\do7(max)＝2，則一個必要不充分條件是a≥1.故選A.8．(2023·山東濟(jì)南模擬)若“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則k的取值范圍為()A．(－∞，－2] B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，2)答案A解析由題意，知“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”為真命題，所以2sinxcosx≥ksinx，則k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范圍為(－∞，－2]．故選A.二、多項選擇題9．(2024·安徽六安實驗中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測)下列命題正確的是()A．命題“?x∈R，y＞1”的否定是“?x∈R，y≤1”B．“至少有一個x，使x2＋2x＋1＝0成立”是全稱量詞命題C．“?x∈R，x－2>eq\r(x)”是真命題D．“?x∈R，x2>0”的否定是真命題答案ACD解析對于A，因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“?x∈R，y＞1”的否定是“?x∈R，y≤1”，故A正確；對于B，“至少有一個x，使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量詞命題，故B錯誤；對于C，當(dāng)x＝9時，9－2＝7>eq\r(9)＝3，所以“?x∈R，x－2>eq\r(x)”是真命題，故C正確；對于D，因為當(dāng)x＝0時，x2＝0，所以“?x∈R，x2>0”是假命題，其否定是真命題，故D正確．故選ACD.10．(2024·廣東東莞東華高級中學(xué)高三模擬)若“?x∈M，|x|>x”為真命題，“?x∈M，x>3”為假命題，則集合M可以是()A．{x|x<－5} B．{x|－3<x<－1}C．{x|x>3} D．{x|0≤x≤3}答案AB解析因為“?x∈M，x>3”為假命題，所以“?x∈M，x≤3”為真命題，可得M?{x|x≤3}，又“?x∈M，|x|>x”為真命題，可得M?{x|x<0}，所以M?{x|x<0}．故選AB.11．(2024·江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬)設(shè)a，b，c都是實數(shù)，則下列說法正確的是()A．“ac2>bc2”是“a>b”的充要條件B．“l(fā)na>lnb”是“a2>b2”的充分不必要條件C．△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，則“sinA>sinB”是“a>b”的充要條件D．“tanθ＝eq\f(\r(3),3)”是“sin2θ＝eq\f(\r(3),2)”的必要不充分條件答案BC解析對于A，由ac2>bc2可得a>b，當(dāng)c＝0時，由a>b，得ac2＝bc2，所以“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要條件，故A錯誤；對于B，因為lna>lnb，所以a>b>0，則a2>b2，由a2>b2，得|a|>|b|，若a>0>b，則lnb無意義，即推不出lna>lnb，所以“l(fā)na>lnb”是“a2>b2”的充分不必要條件，故B正確；對于C，根據(jù)正弦定理，得sinA>sinB?eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)?a>b，所以“sinA>sinB”是“a>b”的充要條件，故C正確；對于D，由tanθ＝eq\f(\r(3),3)，得θ＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，故sin2θ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ))＝eq\f(\r(3),2)，由sin2θ＝eq\f(\r(3),2)，得2θ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)或2θ＝eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，即θ＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)或θ＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，故tanθ＝eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)，所以“tanθ＝eq\f(\r(3),3)”是“sin2θ＝eq\f(\r(3),2)”的充分不必要條件，故D錯誤．故選BC.三、填空題12．(2023·山東濰坊高三二模)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，則α的一個可能值是________．答案eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(只需滿足α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)即可))解析由sinx＋cosx>1，得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>eq\f(\r(2),2)，所以2kπ＋eq\f(π,4)<x＋eq\f(π,4)<2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，解得2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，因為“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，所以α的一個可能值為eq\f(π,4).13．(2024·福建廈門第六中學(xué)高三檢測)已知命題“?x∈R，x2－2x＋m>0”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案(－∞，1]解析因為命題“?x∈R，x2－2x＋m>0”為假命題，所以命題“?x∈R，x2－2x＋m≤0”為真命題，所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1.故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，1]．14．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1，2]，?x2∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x2)，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析問題等價于函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)值域的子集．因為f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]，所以f(x)∈[－1，3]，即函數(shù)f(x)的值域是[－1，3]，因為a>0，所以函數(shù)g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，則2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq\f(1,2).故實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).15．(2024·江蘇揚州中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試)若“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則實數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，2eq\r(2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(9,2)))C．(－∞，3] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))答案C解析若“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則“?x∈[1，2]，使2x2－λx＋1≥0成立”是真命題，即?x∈[1，2]，λ≤2x＋eq\f(1,x)，令f(x)＝2x＋eq\f(1,x)，x∈[1，2]，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝3，則λ≤3.故選C.16．(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案B解析當(dāng)a1＝－1，q＝2時，{Sn}是遞減數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件；當(dāng){Sn}是遞增數(shù)列時，有an＋1＝Sn＋1－Sn＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，這樣的q不存在，所以甲是乙的必要條件．故選B.17．(2024·華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三期中)在△ABC中，“tanBtanC>1”是“△ABC為銳角三角形”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析若△ABC為銳角三角形，則B＋C>eq\f(π,2)，即B>eq\f(π,2)－C，又0<B<eq\f(π,2)，0<C<eq\f(π,2)，則0<eq\f(π,2)－C<eq\f(π,2)，所以tanB>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))，則tanB>eq\f(cosC,sinC)>0，所以tanBtanC>1；在△ABC中，若tanBtanC>1，則tanB>0，tanC>0，即B，C均為銳角，所以tanB>eq\f(1,tanC)，即tanB>eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))，所以B>eq\f(π,2)－C，則B＋C>eq\f(π,2)，即A<eq\f(π,2)，所以△ABC為銳角三角形，故“tanBtanC>1”是“△ABC為銳角三角形”的充要條件．故選C.18．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案C解析解法一：甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－(n＋1)Sn,n(n＋1)