廣東省茂名市區(qū)域2024-2025學年高三年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

茂名市區(qū)域2024-2025學年高三上學期10月聯(lián)考

數(shù)學

注意事項：

1.答題前、考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用船筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.復數(shù)z=—+的虛部為()

A.2B，V2C.-V2D.-V21

2.已知集合川={M(x-a)2=1},N={1,3},若M匚N,則a=()

A.-lB.OC.lD.2

3.記水的質量為上口，則當S=7/=e3時，水的質量為()

Inn

A.2B.eC.2.1D.3

4.已知命題p：VxeR,G'=x，俞題4七》€(wěn)(0,兀)/21?=511?,貝1|()

A.2和夕都是真命題B.-!?利夕都是真命題

c.p和「q都是真命題D.~p和「q都是真命題

5.如圖，O為A48c內(nèi)一點，。為5c的中點，OA=a,OB=b,OC^c,則詬=()

A.a+-b+-cB.-a+-b+-s

2222

Q.a--b--ZD.-a--b--c

2222

o,則不等式工fcl”0的解集為

6.若定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(0,+")上單調遞增，且/

IX2-2

7.已知函數(shù)/⑴=/sin(ox+9)+q/〉0,0<G<10jd<?|J的部分圖象如圖所示，則①二()

A.lB.2C.3D.6

1e

8.已知曲線G:y=—e工在點尸處的切線與曲線G：V=———(X>0)在點。處的切線平行，且直線尸。垂

22x

直于X軸，則|P0|=()

A.eB.2eC.3eD.e或3e

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知單位向量萬萬，則()

A.“慳一可=121+4”是“g_LB”的必要條件

B.“悔-可=1”是“色〃B”的必要條件

C."怩一,=忸+中是”的充分條件

D.“慳一可=1"是"〃3”的充分條件：

10.設函數(shù)/(X)=X2(X-6),則()

A.x=4是/(x)的極小值點

C.當0<x<l時，/(x)>/(x2)

D.當0<x<l時，/（4+x）>/（4-x）

11.已知函數(shù)/（"=卜由2%卜（：054%，則（）

AJ（x）的最大值為1

B./（x）的最小正周期為5

C.曲線y=f（x）關于直線x=彳（左eZ）軸對稱

D.當xe［O,兀］時，函數(shù)g（x）=16/（x）-17有9個零點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

.（叫「

12.已知函數(shù)/（x）=J16J則/（/（一1））=.

2X+I.x?0.

13.己知a>l,則Iga+log“100的最小值為.

14.已知關于x的方程2sinx+cosx=l在［0,2兀）內(nèi)有2個不同的解a/,貝！|cos（a—夕）=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

在中,a,仇c分別是內(nèi)角4民。的對邊，Ma2+b2ab+c2,bcsinA=sinC.

⑴求C；

（2）求△NBC外接圓的面積的最小值.

16.（15分）

2222

已知橢圓q：二+二=1（。>6〉0）與雙曲線G：二—與=1（機>0/〉。）有公共焦點大，片,G與

abmn

c2在第一象限的交點為p,且戶周=J7+1,|尸用=J7—i,尸片，尸片.

（i）求&與。2的方程；

（2）記。的上頂點為4c2的左頂點為8,直線AB與G的另一個交點為。，求|幺。|.

17.（15分）

如圖，在六面體4BCD—48ICIA中，M//BBX//CCA//DDX,且底面48CD為菱形.

（1）證明：四邊形為平行四邊形.

（2）若幺4，平面ABCD,AAX=CCX,/BAD=60°,DDX=5,AB=BBX=2,求平面44CQ與平面

ABCD所成二面角的正弦值.

18.（17分）

甲、乙口袋都有3個小球（1個黑球和2個白球）.現(xiàn)從甲、乙口袋中各隨機取1個小球交換放入另外一個口

袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），重復〃次這樣的操作后，記甲口袋中

恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為外.

（1）求P1應1;

（2）求p?；

（3）求為.

19.（17分）

（1）證明：當時，x>sinx>xcosx.

（兀兀）

（2）當于萬）時，^sin2x-x2cosx...0,求〃的取值范圍.

茂名區(qū)域高三10月份聯(lián)考

數(shù)學參考答案

1.Cz=-,所以2的虛部為—J，.

（2+1=3,

2.D因為M={a+l,a-l},所以<[[解得a=2.

a-1=1,

當S=7/=e3時，水的質量為蕓=2.

3.A

Ine

當x<0時，J系=3=-x,所以）是假命題，一是真命題.因為tanx=2nt=sinx,所以

4.D

11COSX

cosx=1或sin%=0,當xe（O,兀）時，cosx1,sinx0,所以9是假命題，F(xiàn)是真命題.

—■1--1—-1--1--1--1--1-1

5.BAD=-AB+-AC=-AO+-OB+-AO+-OC=-a+-b+-c.

22222222

=。.由”,o,得</（X）”0,

6.D依題意可得/（0）=0,/（x）在（一。,0）上單調遞增，且/

\2-2>0或

（）

/x…0,貝|］》4-8,一百）1

2u--,0o

'X-2<0,33

4+6=3,4=2,/、,1

7.D因為/〉0,所以《—解得所以/（0）=2sin0+l=2,貝ijsin。=3.因為

1,2

,所以。=看，可得/（x）=2sin［0x+《）+l.因為/兀am兀）1~,

—2sm——+—+1=3,所以

618V186J

兀兀71

----1—=—卜2kjt,keZ,即①=6+36左，左￡Z.因為0<刃<10,所以口=6.

1862

8.A依題意可設尸［加,ge"1

，其中m>0.

1x號，則曲線G在點尸處的切線斜率為;e"‘，曲線。2在點。處的切線斜率為

=2C，

乙XN

——，，所以一e"=——7，即機26"'=6（機〉0）.設函數(shù)/（"=》2行卜〉0）,則

2m22m

f\x)=[x2+2X^QX>0,所以/(x)為增函數(shù)，又/⑴=e,所以加=1,所以尸Q[1,—

故|P0|=e.

9.ACD由慳—同=悔+可,得4片+廬—4晨[㈠+浸+前方，解得展3=0，即〃3，反之

亦成立，故“忸一,=忸+.”是“A_LB”的充要條件.若'一,=1,貝U4片+/—4限3=1，解

得鼠3=1，貝”cos<a,b〉=,=l,所以<扇人〉=0,即之〃5,若]〃B，則

心很=1或—1,所以網(wǎng)一可=1或3,故“慳―4=1”是〃廠的充分不必要條件.

10.ABD/r(x)=2x(x-6)+x2=3x(x-4),當xe(0,4)時，/,(x)<0,當xe(-e,0)34,+e)

時，r(x)>0,所以〃x)在(-8,0)和(4,+e)上單調遞增,在(0,4)上單調遞減，故x=4是/(X)的

極小值點，A正確.

/(x)+/(-x)=x2(x-6)+x2(-x-6)=-12x2?0,B正確.

當0<x<l時，0</<%<1，又/(X)在(0,1)上單調遞減，所以/(x)</(x2),c錯誤.當0<x<l

時，/(4+x)-/(4-x)=(4+x)2(4+x-6)-(4-x)2(4-x-6)=2x3>0,所以

/(4+x)>/(4-x),D正確.

11.BCf(x)=|sin2x|+l-2|sin2x|2=-21sin2x|-+g,當卜山2司二；時，/(x)取得最大值，

且最大值為2,A錯誤.因為y=Mn2x|/=cos4x的最小正周期均為四，所以/⑴的最小正周期為工,

822

+cos4---x)=|sin2x|+cos4x(A:GZ),所以曲線二=f(x)

jiI-J

關于直線x=T(keZ)軸對稱，C正確.令g(x)=16/(x)-17=0,得/(力=而，則

|sin2x|=^±^，結合函數(shù)y=|sin2x|(0,,%,兀)的圖象(圖略)，可知方程卜in2x|=；±骼在［。,兀］

上有8個不同的實根，D錯誤.

12.—1/(-1)=2-'+1-71

=-cos—=

62

2

13.2V2lg?+logfl100=lg（2+--...2V2,當且僅當。=1（）0時，等號成立.

IgQ

3V^sin（x+0）=11tan。=—,所以sin（x+0）=.

14.--因為2sinx+cosx

由題意可得sin（a+0）=]>sin（尸+0）=

因為aw尸,”e[0,2兀），尸e[0,2兀），所以a+0+〃+0=7i,即二兀-2（尸+。）.

cos一尸）=cos［兀一2（/+/）］=—COS2（/?+9）=2sin2（/7+0）—1=——.

272_21

15.解：（1）因為Q2+/=ab+c2,所以cosC="—c=?

2ab2

因為Ce(O,兀)，所以C=：

(2)因為bcsiih4=sinC,所以Q6C=C,

所以仍=1.

由Q?+〃=+。2,得/=。2+力2_ab...lab-ab-ab-\則?！璍

當且僅當。=6=1時，等號成立.

2R=c_1_=_2_1

設△ZBC外接圓的半徑為R,則一Sin?！璼in二一6，則夫-國，

71

所以“BC外接圓的面積的最小值為—.

3

16.解：⑴因為忸制=e+1,|尸用=療-1,尸片，尸片，所以陽月|=J尸引『+|尸67=4,

記耳(—c,0),工(c,0),則c=2.

222

由橢圓的定義可得,2a=附|+\PF21=2A/7,a=Jl,b=a-c=3.

由雙曲線的定義可得，2m=\PF^\-\PFj\=2,m=\,n-=c2-m2=3.

22

2

所以G的方程為y+^-=l,C2的方程為X

3

(2)由題意得/(0,G),5(—l,0),則直線4s的方程為y=氐+JL設。(x"J.

7

聯(lián)立<工22得4f+7x=0所以玉二_7

—=1,

._______r

\AD\=\l+k2|x(-=Jl+3x———0=—.

17.(1)證明：因為四邊形/BCD為菱形，所以8c

又u平面AXADDX,8C<z平面AXADDX,

所以8c〃平面z/QR.

又BB]//AA},AAXu平面AXADDVBBX?平面AXADDX,所以BB]〃平面AAXDDV

因為84cBe=8,所以平面BCC[B]//平面AXADDX.

因為平面n平面BCCXBX=Bg,平面A}BXCXDXn平面AXADDX=AR,

所以4。//4R,

同理可得4耳//GD，所以四邊形44CQ]為平行四邊形.

(2)解：由題意得RD=2,NC=2G.以菱形48CQ的中心O為坐標原點，礪，反的方向分別為演歹

軸的正方向，建立空間直角坐標系。孫z,如圖所示.設44]=〃，則4(0,

-V3,好片(1,0,2),G(0,G,力)Q(T0,5).

因為四邊形44GR為平行四邊形，所以4瓦=萬而，

r-i

則(1,6,2—/z)=(l,G,/z—5),所以2—/z=/z—5,得/1=萬,

所以福=1,6,_|),苑.

設平面44GQ1的法向量為4=(x,y,z),

則44?4=o,42,4=o,

X+yfiy--z=0,

即《

-X+y/iy~t~~z=0,

令z=2,得％=(3,0,2).

易知平面48CQ的一個法向量為&=(0,0,1),

n-n_22V13

則cos〈4,萬%A2

同同V13xl13

所以平面481GA與平面ABCD所成二面角的正弦值為獨3.

13

18.解：(1)第1次換球后甲口袋有2個黑球，即從甲口袋取出的球為白球且從乙口袋取出的球為黑球,

212

則P\=-x-=—

339

第1次換球后甲口袋有1個黑球，即從甲、乙口袋取出的球同為白球或同為黑球，則

22115

q.=—x——I——X—=—

33339

(2)若第2次換球后甲口袋有2個黑球，則分2種情況：

①當?shù)?次換球后甲口袋有1個黑球時，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球;

②當?shù)?次換球后甲口袋有2個黑球時，第2次甲、乙口袋同取白球.

…211522116

所以22+2]X§=—X—+—X—

999381

若第2次換球后甲口袋有1個黑球，則分3種情況：

①當?shù)?次換球后甲口袋有0個黑球時，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；

②當?shù)?次換球后甲口袋有1個黑球時，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球;

③當?shù)?次換球后甲口袋有2個黑球時，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球.

2(2211)249

所以％=(1-%—0)Xz+/x-X-+-X-+AXT=-?

Jy3J35J3o1

(3)第〃次換球后，甲口袋黑球的個數(shù)為1的情況：

①若第M-1次換球后甲口袋有2個黑球，則第九次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第次換球后甲口袋有1個黑球，則第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球;

③若第M-1次換球后甲口袋有0個黑球，則第〃次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2122]221

所以=P?-ixy+^,-ixljx-+yxjl+(l_A.-1_^-i)xj=

3If3

即/

32321

又因為外一一=一一，所以外—二是以———為首項，一一為公比的等比數(shù)列,

545I51459

所以縱-：3=

19.(1)證明：令函數(shù)〃(x)=x—sinx,則l(x)=l-cosx>0,

所以〃(%