角平分線的性質(zhì)教案

第十一章角平分線的性質(zhì)一學習目標1.知識與技能：了解角是軸對稱圖形和角平分線的定義，會用尺規(guī)作一個角的平分線；掌握角平分線的性質(zhì)和判定；綜合應用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題。2.過程與方法：通過觀察，歸納作圖，總結(jié)出角平分線的性質(zhì)，提高學生的動手操作能力和實踐能力3.情感，態(tài)度和價值觀：提高學生對數(shù)學學習的興趣，體驗數(shù)學作圖的樂趣。二重點、難點重點：角平分線的性質(zhì)和判定。難點：角平分線的性質(zhì)和判定的綜合應用。三教學工具圓規(guī)，直尺，三角板四教學方法探究歸納法，實踐法六教學過程1.知識梳理1）角平分線的定義2）角平分線的尺規(guī)作法3）角平分線的性質(zhì)4）角平分線的判定2.新授知識點一作角平分線例1：如圖，已知點為直線上一點，過作直線，使于。思路分析：由于AB是直線，要求作，實際上就是要作平角的平分線。根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖法就可以作出直線CM。解答過程：作法：1、以C為圓心，適當?shù)拈L為半徑畫弧，與CA、CB分別交于點D、E；2、分別以D、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，使兩弧交于點M；3、作直線CM。所以，直線CM即為所求。解題后的思考：此題要求“大于的長為半徑”的理由是：半徑如果小于，則兩弧無法相交；而半徑如果等于，則兩弧交點位于C點處，無法作出直線CM。在數(shù)學學習中，不光要知道怎么做題，還要知道為什么要這樣做。小結(jié)：本題屬于作圖題。在解決作圖題時要求做到規(guī)范地使用尺規(guī)，規(guī)范地使用作圖語言，規(guī)范地按照步驟作出圖形，并且作圖的痕跡要保留，不能擦掉。知識點二角平分線的性質(zhì)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線性質(zhì)的符號語言：在的平分線上于，于例2：如圖，是的角平分線，，，垂足分別是。連接，交于點。說出與之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。思路分析：兩條線段之間的關(guān)系有長度和位置兩種關(guān)系，因此我們可以從這兩方面去猜測判斷。角是以其平分線為對稱軸的軸對稱圖形，此題可以利用這一點進行判斷。解答過程：，且證明：平分，，垂足分別是在和中（HL）在△DGE和△DGF中（SAS），，且。解題后的思考：通過此題我們知道，證明兩條線段相等，除了利用全等三角形的性質(zhì)外，還可以利用角平分線的性質(zhì)。這樣我們又多了一種證明線段相等的辦法。在利用角平分線的性質(zhì)時，“角平分線”和“兩個垂直”這兩個條件缺一不可。例3：如圖，是的外角的平分線上一點，于，于，且交的延長線于。求證：。思路分析：由已知條件，可以利用角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF。而要證明CE＝CF，只要證明以它們?yōu)檫叺膬蓚€三角形全等即可。將兩者結(jié)合起來分析就不難找到思路。解答過程：CD是的平分線，于，于，在和中（HL）解題后的思考：利用角平分線的性質(zhì)可以證明線段相等，而線段相等可能又是證明其他結(jié)論所需要的條件。小結(jié)：運用角平分線的性質(zhì)時應注意以下三個問題：（1）這里的距離指的是點到角的兩邊的垂線段的長；（2）該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形的性質(zhì)；（3）使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有兩個垂直。知識點三角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。角平分線判定的符號語言：于，于且在的平分線上（或?qū)懗墒堑钠椒志€）例4：如圖，，于，于，和交于點。求證：平分。思路分析：要證平分，已知條件中已經(jīng)有兩個垂直，即已經(jīng)有點到角的兩邊的距離了，只要證明這兩個距離相等即可。而要證明兩條線段相等，可利用全等三角形的性質(zhì)來證明。解答過程：于，于在和中（AAS）又于，于平分。解題后的思考：判定角的平分線時若題目中只給出一個條件或，，那么得出平分這一結(jié)論是錯誤的。例5：如圖，是上兩點，是上兩點，且，，試問點是否在的平分線上？思路分析：一方面，要判斷點是否在的平分線上，只要判斷點P到角的兩邊距離是否相等即可；另一方面，由已知條件中三角形面積和底邊相等可以推導出高相等。這樣已知和結(jié)論就聯(lián)系起來了。解答過程：證明：過點P作于D，于E，，而又又于D，于E在的平分線上。解題后的思考：利用面積證明相關(guān)結(jié)論是一種常見方法。面積法有著其他方法所不具有的優(yōu)勢，比如它不要求考慮線段的位置關(guān)系。小結(jié)：角平分線的判定與角平分線的性質(zhì)是互逆的。判定角的平分線要滿足兩個條件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”則設法證明“相等”，若已知“相等”則設法證明“垂直”。知識點四角平分線的綜合應用例6：如圖，在中，，平分，于，在上，。求證：。思路分析：由已知條件很容易得到DC＝DE；要證明CF＝EB，只要證明其所在三角形全等即可，再由此去找全等條件。解答過程：平分，，在與中（HL）。解題后的思考：掌握角平分線的性質(zhì)和判定固然重要，但學會分析題目所給條件更是解決問題的關(guān)鍵。例7：如圖，已知在中，，。求證：平分。思路分析：有兩種方法證明平分：一是直接利用定義證明；二是利用角平分線的判定，證明點D到角的兩邊距離相等。仔細觀察，前者需要證明三角形全等，但此題使用全等條件中的“邊邊角”，無法證明兩個三角形全等。后者通過作垂線構(gòu)造出三角形，其條件足以證明兩個三角形全等。解答過程：過點D作于E，于F故，在與中（AAS）又于E，于F平分。解題后的思考：當題目中有角平分線這一條件時，解題時常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線；當有垂線這一條件時，常作輔助線得到角的平分線。小結(jié)：用角平分線證明線段相等或角相等時，常常與證明三角形全等配合使用，證明時要先觀察需證明的線段或角（或通過等量代換得到的線段或角）在哪兩個可能全等的三角形中。提分技巧本節(jié)課我們主要學習了角平分線的性質(zhì)和判定，它們都可以通過三角形全等得出證明；這樣，我們又得到了證明線段相等或角相等的一種方法。在解題中若能用它們直接得出線段或角相等時，就不需要再通過證明三角形全等來間接證明，這樣可以減少這一條件麻煩。在利用角平分線的性質(zhì)時，可由“角平分線”和“距離”這兩個條件得出