湖南省2024屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題（五）（解析版）

湖南省2024屆高三仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題（五）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合人"?},"邛…<0},則行汩（

A.(1,+8)B.(2,+oo)C.(0,1)D.(1,2)

K答案』D

K解析]由ei>l得e'T>e°，

又函數(shù)y=e，在R上單調(diào)遞增，則x—1>0,即河={工區(qū)>1},

又由V—2x<0得0<x<2,即〃={x|0<x<2},

所以McN={x[l<無<2}.

故選：D.

2.若復(fù)數(shù)z=--（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

1+1

11.

A.-D.——1

22

K答案XA

111+i11.

（解析X因?yàn)閕3=.i'所以2=177===(1_0(1++=5+51'

故復(fù)數(shù)Z的虛部為

2

故選：A.

3.九九重陽節(jié)期間，甲、乙兩名同學(xué)計(jì)劃去敬老院做志愿者，若甲同學(xué)在初八、初九、初

十這三天中隨機(jī)選一天，乙同學(xué)在初八、初九這兩天中隨機(jī)選一天，且兩名同學(xué)的選擇互

不影響，則他們在同一天去的概率為（）

1112

A.—B.—C.—D.一

6323

k答案》B

K解析》甲同學(xué)在三天中隨機(jī)選一天，共有3種情況，乙同學(xué)在兩天中隨機(jī)選一天，共有

2種情況，所以一共有3義2=6種情況，

他們在同一天去共有2種情況，所以他們在同一天去的概率為2=

63

故選：B.

4.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若邑=%，d=2,貝（）

A.4B.7C.8D.9

K答案1B

K解析H由83=%,d=2可得3%+3d=4+4d,解得％=1,

故%=4+3d=1+6=7

故選：B.

71

5.如圖，在直角梯形A3CD中，AB//CD,ZBAD=~,AB=AD=2,若分別

3

是邊AD,3C上的動(dòng)點(diǎn)，滿足麗=2而，的=（1—2）耳心，其中2e（O』），若

AN-BM=-2＞則％的值為（）

k解析U建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由題意可得A（—2,0）,。卜1,6）,5（0,0）,。（0,6）.

設(shè)”（無，））,由痂＞=%汨，即（x+2,y）=2（l,6），據(jù)此可得x=4—2,y="l,

故網(wǎng)4一2,后），同理可得N（0,73（1-2））,

據(jù)此可得AiV=（2,73（1-2））,W=（2-2,則,

則麗?麗=2（彳一2）+百（1-2）?反=一2,整理可得3^2—52+2=0,

2

由于彳￡（。,1）,故2二§.故選：D.

6.蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率》(每分鐘鳴叫的

次數(shù))與氣溫y(單位：。c)存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測人員根據(jù)如表的觀測數(shù)

據(jù)，建立了，關(guān)于“的線性回歸方程y=0.25x+左，則下列說法不正確的是()

X(次數(shù)/分鐘)2030405060

y(℃)2527.52932.536

A.左的值是20

B.變量尤，y呈正相關(guān)關(guān)系

C.若x的值增加1,則V的值約增加0.25

D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為33.5℃

K答案工D

_1

(解析工由題意，if#x=-(20+30+40+50+60)=40,

_1

y=-(25+27.5+29+32.5+36)=30,

則上=工一0.251=30—0.25x40=20,故A正確；

由線性回歸方程可知，務(wù)=0.25〉0，變量x，,呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確；

若無的值增加1,貝的值約增力口0.25,故C正確；

當(dāng)x=52時(shí)，y=0.25x52+20=33，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

7.設(shè)。=0.6°5，b=log060.4,c=log30.4,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

k答案1C

K解析U0<a=0.6°s<1，b=log060.4>log060.6=1,c=log30.4<log3l=0,故

c<a<b.

故選：C.

8.已知函數(shù)/(%)=以2-4?！?2(4<0),則關(guān)于x的不等式/(x)〉log2X的解集是

()

A.(-oo,4)B.(0,1)

C.(0,4)D.(4,+00)

K答案』C

k解析X由題設(shè)，/(%)對稱軸為x=2且圖象開口向下,

則于(X)在(0,2)上遞增，(2,+8)上遞減，

由/(x)=ax2-4ax+2-ax(x-4)+2,HPf(龍)恒過(4,2)且/(0)=2,

所以(0,4)上>2,(4,+a))±/(x)<2,

而y=log2X在(0,+8)上遞增，且(0,4)上y<2,(4,+8)上y>2,

所以/(x)〉log2X的解集為(0,4).

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知雙曲線C:右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,

6為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于〃，N兩點(diǎn)，則有()

B.漸近線方程為y=±立x

A.漸近線方程為y=±氐

3

C.ZMAN=60°D.ZMAN=120°

(答案1BC

k解析男雙曲線=l的漸近線方程為y=±2x,離心率為￡=空,

abaa3

則9=二￡=]+[=士則與」。=±烏故漸近線方程為近1

a2a2a23a23a33

取MN的中點(diǎn)P,連接AP,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得2=AP=—,

c

ab2i

—aI

則APca，所以COSNMANMCOSZNPAA^ZXF—1=—，則

cosZPAN===—27

ANbcr

10.將函數(shù)y=3sin12x+1J的圖象向右平移;個(gè)單位長度，對于所得圖象對應(yīng)的函數(shù),

下列說法正確的是（）

jr77171771

A.在區(qū)間—上單調(diào)遞減B.在區(qū)間—上單調(diào)遞增

L1212J11212J

5717157171

C.在區(qū)間-二，二上單調(diào)遞減D.在區(qū)間-二，二上單調(diào)遞增

L1212jL1212J

［答案』BC

K解析工將函數(shù)y=3sin（2x+$TT的圖象向右平移一TT個(gè)單位長度,

32

/Dc?兀、兀rc?/c2兀、

倚y—3sin[2(x——)+—]—3sin(2x——),

717兀71,2兀71

■:—WxV—，1.——<2%----<-,

1212232

9jrjr7jr

???函數(shù)y=3sin（2x——）在［一,一］上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確;

31212

.一,.57T7T一廣,3兀否27r7T

因?yàn)?---—，所以----------K2x-----K---

1212232

27r5兀TC

所以函數(shù)y=3sin（2x——）在一不，不上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確，

3_1212_

故選：BC.

11.已知均為正實(shí)數(shù)，且4。+/??！?。）=0,則下列不等式正確的是（）

A.ab..16B.2a+b..6+4y/2

,c1161

C.a—b<口D.——H——...—

a2b22

［答案XABD

K解析H因?yàn)閍>0,b〉0,aZ?=4a+，..2d4ab=4y［ab,當(dāng)且僅當(dāng)4。二》時(shí)等號成立,

所以他..16,故A正確；

4〃

由4a+/?=〃/?得匕=---->0,6Z>1,

a—1

同理?！?,2。+6=2。+胃=2（。一1）+告+6..2^2（03）^^+6=4近+6,

當(dāng)且僅當(dāng)2（a—1）=/一，即。=1+正時(shí)等號成立，故B正確；

a-1

。=5力=5滿足題意，但。―6=0,故C錯(cuò)誤；

由4“+》="得工+3=1,所以212+學(xué)［(工+3］=1,當(dāng)且僅當(dāng)二r=或即

abUb2)Ub)a-b-

6=4。時(shí)等號成立，所以一yH---y...—，故D正確

a2b22

故選：ABD.

12.己知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足—3d為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，當(dāng)

xe0,1時(shí)，/f(%)>0,則下列說法正確的是()

A./(0)=0B.函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x)為R上的偶函數(shù)

(答案》AB

K解析》因?yàn)?x］為偶函數(shù),

o/(x)=/(l—x)，故函數(shù)圖象關(guān)于直線X=1■對稱,

f(2x+l)為奇函數(shù)，/(-2x+l)=-/(2x+l)<^/(-x+l)=-/(x+l),函數(shù)圖象關(guān)于

(1,0)對稱，

對于B,/(x)=/(l-x)=-/(l+x),/(x+2)=-/(x+l)=/(x),故2是函數(shù)的周

期，函數(shù)為周期函數(shù)，故B正確；

對于A,/(-2^+1)=-/(2%+1),令％=故-1)=0,

又/(0)=/(1—1)=/(1)=0,故A正確;

對于C,萬］=/(J［=一/1］1當(dāng)xe］。,］］時(shí)，((%)>0,即函數(shù)在上

遞增,

工,工上遞增,

函數(shù)圖象關(guān)于(1,0)對稱，故函數(shù)在上遞減，故函數(shù)在

22

所以故函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對于D,4)=佃＞佃,故D錯(cuò)誤，

故選：AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知A(—1,0),B(l,0),C為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|4。|=拒忸。|,則點(diǎn)C的

軌跡方程為.

k答案》x2+y2-6x+l=0

K解析』依題意,設(shè)c(x,y),由|AC|=0忸q,

得^(x+1)2+y1=A/2x—+丁,

即(x+1)+y2=21(x—1)+，［'整得得12+y2_6x+］=0,

所以點(diǎn)C的軌跡方程為爐+V—6x+1=o.

14.在12x2-工］的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,則常數(shù)項(xiàng)為.

k答案U60

(解析U由題可知：2"=64，所以〃=6,

2

展開式通項(xiàng)為Tr+l=G(2x廠(――)'=(-1)'26-C"12-3r,

令12—3r=0,得廠=4,常數(shù)項(xiàng)為22￡=60.

15.點(diǎn)尸是拋物線V=4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸到點(diǎn)4(0,—1)的距離與到直線尤=—1的距離

之和的最小值是.

(答粒及

K解析工因?yàn)閽佄锞€方程為＞2=4%,

所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為歹(1,0)準(zhǔn)線方程為：x=-1,

如圖所示:

由拋物線的定義得：點(diǎn)p到的焦點(diǎn)F(1,O)的距離與到準(zhǔn)線x=-1的距離相等，

所以當(dāng)A,P,尸三點(diǎn)共線時(shí)，尸到點(diǎn)4(0,—1)的距離與到直線工=—1的距離之和最小，

最小值為卜同=行.

16.己知關(guān)于無的方程(In%)?—3odn尤+24爐=0有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍

是.

k答案U0<a<

2e

K解析X由(in%)?-3?xln尤+2<?無?=。得(inx-ox)(lnx-2ax)=0.

InVInV

由于x>0,所以問題轉(zhuǎn)化為。=——和2〃二——共有4個(gè)不同的實(shí)根，

XX

記了(無)=則，則#^)=出單，當(dāng)％〉e時(shí)，/(%)<0,當(dāng)0<x<e時(shí)，

XX

r(x)>0,所以〃尤)在(e,+8)單調(diào)遞減，在(0,e)單調(diào)遞增，

故/("max="e)=L又/'(1)=0,因此，當(dāng)0<%<1時(shí)，/(%)<0,當(dāng)％〉0時(shí)，

e

xxee

解得0<a<看

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinB=6sin[A+]

⑴求A；

⑵若a=幣,VABC的面積為主叵，求VA3C的周長.

2

ah

解：(1)由正弦定理-----=-----,可得asini5=bsinA,

sinAsinB

故asinB=Z?sin1A+；j=Z?sinA,即sin(A+1)=sinA,

—sinA+^-cosA=sinA?化簡得tanA=J§\

22

又入￡(0,兀)，故A=g.

(2)由s=J_bcsinA=得hc=6,

△A￡>c22

又tr=b2+c2—2bccos—,BP7=/?2+c2—bc^b2+c2=13>

則A+C=[S+C)27b2+C1+2bc=5，故VABC周長為，7+5.

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“,3S〃+I=S〃+l,a2=；，正項(xiàng)等差數(shù)列也｝滿足

仿=2,且々也—1也成等比數(shù)列.

(1)求｛。,｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

3

(2)證明：ah+%+L+abn<—.

(1)證明：由3s"M=S”+1得3S〃=S“_1+1(〃>2),

兩式相減可得3a?+1=a“,即—=；22).

an3

當(dāng)〃=1時(shí)，3s2=S]+1,即3(q+〃2)=卬+1，

121

則2q=]—3a2—1—,解得。]二§,

a1,、11

且y?=W，可知｛?｝是首項(xiàng)為公比為三的等比數(shù)列，

%。33

設(shè)等差數(shù)列｛d｝的公差為d20,

因?yàn)?也-1也成等比數(shù)列，則她=。2—1)2，

即2(2+2d)=(l+d)2,解得d=3或d=—1(舍去),

所以4=2+(/7-1)X3=3?-1.

(2)解：由(1)得％=43“_1=，則y

可知｛為“｝是以首項(xiàng)a餌=,公比為的等比數(shù)列,

則%+%+.?.+%=&]+[3+.??+&]

J口26[⑴J26

3

所以%+ab2+L+旬<—.

19.為落實(shí)教育部的雙減政策，義務(wù)教育階段充分開展課后特色服務(wù).某校初中部的籃球特

色課深受學(xué)生喜愛，該校期末將進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測試，規(guī)則為：每人至多投3次，先在

M處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)不得分，以后均在N處投兩分球，每投進(jìn)一次得

2分，未投進(jìn)不得分.測試者累計(jì)得分高于3分即通過測試，并終止投籃.甲、乙兩位同學(xué)為

了通過測試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每人每輪在M處和N處各投10次，根據(jù)他們每輪兩

分球和三分球的命中次數(shù)情況分別得到如下圖表：

甲乙

8

7

6

5

4

3

2

1

0

若以每人五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測試時(shí)每次投籃命中的概率.

（1）已知該校有300名學(xué)生的投籃水平與甲同學(xué)相當(dāng)，求這300名學(xué)生通過測試人數(shù)的數(shù)

學(xué)期望;

（2）在甲、乙兩位同學(xué)均通過測試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.

54367

解：（1）甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為歷+歷+歷+歷+歷十

-U.3

5

甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為ioip+ip+io=0],

5一,

設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為X,

則p（X=4）=0.9X0.5X0.5=0.225,P（X=5）=0.1x0.5+0.1x0.5x0.5=0.075

則尸（X..4）=P（X=4）+P（X=5）=0.3,

所以甲同學(xué)通過測試的概率為0.3.

設(shè)這300名學(xué)生通過測試的人數(shù)為Y,由題設(shè)丫?3（300,0.3）,

所以E（y）=300x0.3=90.

2當(dāng)3』g

（2）乙同學(xué)兩分球投籃命中率為歷+歷+歷+歷+歷—。.，

-U.4

5

j_23J_3

乙同學(xué)三分球投籃命中率為10+10+10+10+100.

-U.Z

5

設(shè)乙同學(xué)累計(jì)得分為y,則P（y=4）=0.8x0.4x0.4=0.128,

p（y=5）=0.2x0.4+0.2x0.6x0.4=0.128.

設(shè)“甲得分比乙得分高”為事件A,“甲、乙兩位同學(xué)均通過了測試”為事件8,

則P（AB）=P（X=5）-P（Y=4）=0.075x0.128=0.0096,

P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]-[P(r=4)+P(Y=5)]=0.0768,

由條件概率公式可將0=需=端=，

20.已知平行四邊形A3CD中，NC=60°，點(diǎn)E在A。上，且滿足

BC^2AB=4AE=4,將△A3E沿班折起至△PBE的位置，得到四棱錐P—BCDE.

(1)求證：平面aDE_L平面3CDE；

(2)若二面角尸一面一。的大小為120°，求直線PB與平面尸8所成角的正弦值.

(1)證明：在△ABE中，AB=2,AE=1,NA=60°，

由余弦定理得BE-=AB2+AE2-2AB-AE-cos600=3，

所以5E2+AE2=452,由勾股定理知BE

折疊后，則有BELPE1,BE±DE,因?yàn)镻ECDE=E,所以BE_L平面P￡)E,

又3石匚平面3?！晔?，所以平面PDE1，平面BCDE；

(2)解：:BELDE,BE±PE,則NPED即為二面角尸一8后一￡)的平面角.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED，麗所在的方向分別作為X、,軸的正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系E一盯z.

所以尸3=工區(qū)

(2

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量〃=(%,%,4),

有「匹=0

，令％=G,則％=T,Z]=7.

[n-PD=o

所以3=（6,-1,7）即為平面R2D的一個(gè)法向量.

n-PB_-4yf3_2^/159

cos<n,PB>=-

F|.阿「礪=―53-

同〈五麗〉卜冬黑,

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為。，貝i|sin6=

所以直線與平面PCD所成角的正弦值為口叵.

53

21.己知橢圓C：￡+]=19〉人〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)為E（2,0）,離心率為當(dāng).過焦點(diǎn)

E的直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，線段A8中點(diǎn)為。，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過O,。的直線

交橢圓于M,N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）求四邊形AM3N面積的最大值.

c=2

（1）解：由題意可得|二=如，解得a=庭力=0,

a3

a2=b2+c2

故橢圓的方程為三+匕=1.

62

（2）當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，A,3的坐標(biāo)分別為⑵當(dāng)）（2,一半）,同=2而

四邊形AMBN面積為5AMBN=^\MN\-\AB\=4,

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為V=左（%-2，點(diǎn)4（網(wǎng),乂）,8區(qū),%）,加（七，為），

N（—七,—為），點(diǎn)"，N到直線/的距離分別為4,右，

則四邊形AMBN面積為梟颯=JAB|(4+4),

[22

Ui

<62^(l+3k2)x-12k2x+12k2-6=0,

y=k(x—2)

12k212k2-1

則玉+%=1+342，再尤2_]+3.

所以I4網(wǎng)=｛（1+42）[（<+土）2—4%4]

j（l+3）(舟2指（1+公）

1+342

因?yàn)?+%=—玉+元2-4)=下記,

所以A5中點(diǎn)。(一J6k2-2k

1+3V1+3V,

當(dāng)上wO時(shí)，直線OD方程為x+36=O,

x-\-3ky=0,

2

</2解得退=_3佻,

162’

1^2y/6（1+k2）\kx-y-2k\\-kx+y-2k\

（4+1/,）=3333

所以AMBN=-^|AB|2Xi+3k22+口+,7T7F

2222

46\ll+k\2kXj-2y3|2\/6\ll+k1-3^j3-y3|_l3k+3

-l+3k2~l+3k2N1+3k2

=4/+^4Tz<4百.

當(dāng)左=0時(shí)，四邊形AWBN面積的最大值梟S=2幾乂血=4后

綜上四邊形AMBN面積的最大值為473.

22.已知函數(shù)/'(x)=av+liiv+L

⑴若a=—1,求函數(shù)/(%)的最大值；

(2)若/(%)—/'(x)W0恒成立，求。的值；

(3)令/(x)=/(x)—④―1,過點(diǎn)？(毛,%)作曲線丁=網(wǎng)光)的兩條切線，若兩切點(diǎn)橫

坐標(biāo)互為倒數(shù)，求證：點(diǎn)尸一定在第一象限內(nèi).

11—Y

⑴解：當(dāng)a=—1時(shí)，/■(*)=-》+原+1的定義域?yàn)?0,+8),/(%)