專題07 平面向量（3大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）含答案及解析

專題07平面向量易錯點一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線性運算）1．向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算和向量共線定理（1）向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）（2）當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，共線向量定理向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)，使得.共線向量定理的主要應(yīng)用：(1)證明向量共線：對于非零向量，，若存在實數(shù)，使，則與共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．平面向量線性運算問題的求解策略：(1)進(jìn)行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點：(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談．(6)非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量．(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實數(shù)，故可以比較大小易錯提醒：（1）向量表達(dá)式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，.例．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算正確的是（

）

A． B．C． D．變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（）A．若，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段B．若，則可知C．若Q為的重心，則D．非零向量，，滿足與，與，與都是共面向量，則，，必共面變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．

(1)試用向量來表示;(2)AM交DN于O點，求的值．變式3：如圖所示，在矩形中，，，設(shè)，，，求.

1．已知、為不共線的向量，，，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是線段AE上靠近點A的三等分點，則等于（

）

A． B．C． D．3．在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形4．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋5．如果是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）①可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮多個；③若向量與共線，則④若實數(shù)λ、μ使得，則λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②6．給出下列各式：①，②，③，④，對這些式子進(jìn)行化簡，則其化簡結(jié)果為的式子的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則8．設(shè)與是兩個不共線的向量，，若A，B，D三點共線，則k的值為（

）A．－ B．－ C．－ D．－9．在中，已知，P是AB的垂直平分線l上的任一點，則（

）A．6 B． C．12 D．10．已知拋物線C：的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點，線段AF交拋物線C于點B，過點B作l的垂線，垂足為H，若，則（

）A． B．C． D．11．下列各式中結(jié)果為零向量的為（

）A． B．C． D．易錯點二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）1．平面向量基本定理和性質(zhì)（1）共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．（3）線段定比分點的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB（4）三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在，使得．（5）中線向量定理如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．DDACB2．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有向量向量點．（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)．3．平面向量的直角坐標(biāo)運算①已知點，，則，②已知，，則，，，．，向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1．利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為（），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3．三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線．4．利用向量共線的坐標(biāo)運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解．用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達(dá)式．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系．兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．易錯提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等。例．已知向量=（2，1），，則（

）A．若，則 B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．變式1．下列說法中錯誤的為（

）A．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．非零向量，，滿足且與同向，則D．非零向量和，滿足，則與的夾角為變式2．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若，且與共線，則B．若，且，則與不共線C．若A，B，C三點共線．則向量都是共線向量D．若向量，且，則變式3．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使1．在梯形中，，，，分別是，的中點，與交于，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．2．已知點，，向量，∥，則（

）A．時與方向相同B．時，與方向相同C．時與方向相反D．時，與方向相反3．已知點向量則（）A．時與方向相同B．時與方向相同C．時與方向相反D．時與方向相反4．如果是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是（

）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮個C．若向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使得D．若存在實數(shù)使得，則5．已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點則第四個頂點的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過下頂點A和右焦點的直線與E交于另一點B，與y軸交于點P，則（

）A． B．C．△的內(nèi)切圓半徑為 D．7．設(shè)，非零向量，，則（

）.A．若，則 B．若，則C．存在，使 D．若，則8．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．如圖，在中，是的三等分點，則（

）A．B．若，則在上的投影向量為C．若，則D．若10．已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則11．已知空間向量=（1，－1，2），則下列說法正確的是（

）A．B．向量與向量=（2，2，－4）共線C．向量關(guān)于x軸對稱的向量為（1，1，－2）D．向量關(guān)于yOz平面對稱的向量為（－1，1，－2）易錯點三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用）1．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．2．?dāng)?shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，．特別地，或．④．⑤．4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）1．平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式．（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡．2．平面向量數(shù)量積主要有兩個應(yīng)用：（1）求夾角的大?。喝?，為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角．3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：（1）向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．②基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解．（2）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．（2）求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．（4）解三角形．利用向量的坐標(biāo)運算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題．5．用向量法解決實際問題的步驟如下：第一步：抽象出實際問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；第三步：利用向量的線性運算或數(shù)量積運算，求解數(shù)學(xué)模型；第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問題．6．常見的向量表示形式：（1）重心．若點G是的重心，則或（其中P為平面內(nèi)任意一點）．反之，若，則點G是的重心．（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點H是的垂心．（3）內(nèi)心．若點I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點I是的內(nèi)心．（4）外心．若點O是的外心，則或．反之，若，則點是的外心．題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：（1）求向量的模．解決此類問題應(yīng)注意模的計算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解．（2）求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．（3）由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實質(zhì)是求向量模方法的逆運用．易錯提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）當(dāng)時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．當(dāng)時，且時，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項，一般都是錯誤選項．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且.例．下列說法中錯誤的是（

）A．單位向量都相等B．向量與是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上C．兩個非零向量，若，則與共線且反向D．已知向量，若與的夾角為銳角，則變式1．給出下列命題,其中正確的有（

）A．已知向量,則B．若向量共線,則向量所在直線平行或重合C．已知向量,則向量與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底D．為空間四點,若構(gòu)成空間的一個基底,則共面變式2．設(shè)均為單位向量，對任意的實數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為變式3．已知拋物線的焦點為，在拋物線上，延長交拋物線于點，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點，則下列敘述正確的是（

）A．B．點的坐標(biāo)為C．D．在軸上存在點，使得為鈍角1．如圖，在三棱柱中，M，N分別是，上的點，且，．設(shè)，，，若，，，則（

）

A． B．C． D．2．設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．3．（多選）下列各命題中，正確的命題為（

）A． B．C． D．4．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對空間中任意一點，有，則、、、四點共面C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為5．設(shè)向量，，則下列敘述錯誤的是(

)A．若時，則與的夾角為鈍角 B．的最小值為C．與共線的單位向量只有一個為 D．若，則或6．設(shè)F為拋物線C：的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則（

）A． B．C． D．7．已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（

）A．與的夾角為鈍角B．向量在方向上的投影為C．D．的最大值為28．已知所在平面內(nèi)有三點O，N，P，則下列說法正確的是（

）A．若，則點O是的外心B．若，則點N是的重心C．若，則點P是的垂心D．若，且，則為直角三角形9．如圖，在平行六面體中，與交于點，且，，.則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．10．(多選)下列說法中正確的是（

）A．若非零向量滿足，則與的夾角為30°B．若，則的夾角為銳角C．若，則ABC一定是直角三角形D．ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若=2，且||=||，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為11．下列說法中正確的是（

）A．若是內(nèi)一點，且，則為的垂心B．若是內(nèi)一點，且，則為的外心C．在四邊形中，若，則四邊形為菱形D．若是內(nèi)一點，且，則為的內(nèi)心

專題07平面向量易錯點一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線性運算）1．向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算和向量共線定理（1）向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）（2）當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，共線向量定理向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)，使得.共線向量定理的主要應(yīng)用：(1)證明向量共線：對于非零向量，，若存在實數(shù)，使，則與共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．平面向量線性運算問題的求解策略：(1)進(jìn)行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點：(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談．(6)非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量．(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實數(shù)，故可以比較大小易錯提醒：（1）向量表達(dá)式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，.例．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算正確的是（

）

A． B．C． D．【詳解】對于A，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，則，故A正確；對于B，在平行四邊形中，，則，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，在平行四邊形中，，，故D正確.故選：ACD.變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（）A．若，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段B．若，則可知C．若Q為的重心，則D．非零向量，，滿足與，與，與都是共面向量，則，，必共面【詳解】在平行四邊形ABDC中，滿足，但不滿足A與C重合，B與D重合，AB與CD不為同一線段，A不正確.因為，所以，所以，所以，所以，即，B正確.若Q為的重心，則，所以，所以，即，C正確.在三棱柱中，令，，，滿足與，與，與都是共面向量，但，，不共面，D不正確.故選：BC.變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．

(1)試用向量來表示;(2)AM交DN于O點，求的值．【詳解】（1）因為，所以，所以，因為，所以，所以；（2）設(shè)，則，因為三點共線，所以存在實數(shù)使，由于向量不共線，則，，解得，所以.變式3：如圖所示，在矩形中，，，設(shè)，，，求.

【詳解】解：在矩形中，，，則，因為，，，則，因此，.1．已知、為不共線的向量，，，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.【詳解】因為、為不共線的向量，所以、可以作為一組基底，對于A：，，若存在實數(shù)使得，則，所以，方程組無解，所以與不共線，故、、三點不共線，即A錯誤；對于B：因為，，所以，同理可以說明不存在實數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點不共線，即B錯誤；對于C：因為，，所以，又，所以，故、、三點共線，即C正確；對于D：，，同理可以說明不存在實數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點不共線，即D錯誤；故選：C2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是線段AE上靠近點A的三等分點，則等于（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的線性運算求解.【詳解】解：，，，，故選：C3．在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形【答案】A【分析】由推出，再根據(jù)向量相等的定義得且，從而可得答案.【詳解】因為，故，即，故且，故四邊形一定是平行四邊形，不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.故選：A.4．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算即可聯(lián)立方程求解.【詳解】分別為的邊上的中線,則,,由于，，所以,故解得故選：B5．如果是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）①可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮多個；③若向量與共線，則④若實數(shù)λ、μ使得，則λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②【答案】B【分析】由平面向量基本定理判斷①④②，由共線向量定理判斷③.【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的，故錯誤；對于③，當(dāng)λ1λ2＝0或μ1μ2＝0時不一定成立，應(yīng)為λ1μ2－λ2μ1＝0，故錯誤.故選：B.6．給出下列各式：①，②，③，④，對這些式子進(jìn)行化簡，則其化簡結(jié)果為的式子的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用向量的加減法法則逐個分析判斷即可.【詳解】對于①，，對于②，，對于③，，對于④，，所以其化簡結(jié)果為的式子的個數(shù)是4，故選：A7．已知平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.【詳解】A：若為非零向量，為零向量時，有但不成立，錯誤；B：時，，不一定相等，錯誤；C：若為零向量時，，不一定有，錯誤；D：說明，同向或至少有一個零向量，故，正確.故選：D.8．設(shè)與是兩個不共線的向量，，若A，B，D三點共線，則k的值為（

）A．－ B．－ C．－ D．－【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合向量的線性運算求解.【詳解】由題意可得：，若A，B，D三點共線，所有必存在一個實數(shù)λ，使得，即，可得，解得.故選：B.9．在中，已知，P是AB的垂直平分線l上的任一點，則（

）A．6 B． C．12 D．【答案】B【分析】設(shè)為的中點，結(jié)合為線段垂直平分線上的任意一點，則有，再將都用表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】設(shè)為的中點，則，因為為線段垂直平分線上的任意一點，所以，則.

故選：.10．已知拋物線C：的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點，線段AF交拋物線C于點B，過點B作l的垂線，垂足為H，若，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.【詳解】拋物線C：的焦點，準(zhǔn)線為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點，∵，由與△相似得：，∵，∴，即，故A錯誤；由拋物線定義得，∴，即，，故BC正確，D錯誤．故選：BC．11．下列各式中結(jié)果為零向量的為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)平面線向量加法和減法的運算法則逐一判斷即可.【詳解】因為，所以選項A不符合題意；因為，所以選項B符合題意；因為，所以選項C符合題意；因為，所以選項D不符合題意，故選：BC易錯點二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）1．平面向量基本定理和性質(zhì)（1）共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．（3）線段定比分點的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB（4）三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在，使得．（5）中線向量定理如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．DDACB2．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有向量向量點．（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)．3．平面向量的直角坐標(biāo)運算①已知點，，則，②已知，，則，，，．，向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1．利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為（），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3．三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線．4．利用向量共線的坐標(biāo)運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解．用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達(dá)式．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系．兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．易錯提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等。例．已知向量=（2，1），，則（

）A．若，則 B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．【詳解】對于A選項，若，則，所以，A正確；對于B選項，設(shè)向量在向量上的投影向量為，則，即，解得，故向量在向量上的投影向量為，B選項正確；對于C選項，，，C選項正確；對于D選項，，，所以與不共線，D選項錯誤.故選：ABC.變式1．下列說法中錯誤的為（

）A．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．非零向量，，滿足且與同向，則D．非零向量和，滿足，則與的夾角為【詳解】對于A，，，且與的夾角為銳角，，且（時，與的夾角為），所以且，故A錯誤；對于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對于C，向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯誤；對于D，因為，兩邊平方得，，又，則，，故，而向量的夾角范圍為，所以和的夾角為，故D正確．故選：AC．變式2．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若，且與共線，則B．若，且，則與不共線C．若A，B，C三點共線．則向量都是共線向量D．若向量，且，則【詳解】對選項A，或時，比例式無意義，故錯誤；對選項B，若，與共線，則一定有，故正確；對選項C，若A，B，C三點共線，則在一條直線上，則都是共線向量，故正確；對選項D，若向量，且，則，即，故正確；故選：BCD變式3．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；對于C，對于m，，在該平面內(nèi)，故C錯誤；對于D，m，n是唯一的，故D錯誤.故選:AB.1．在梯形中，，，，分別是，的中點，與交于，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對各選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】由題意可得，，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確．故選：ABD．2．已知點，，向量，∥，則（

）A．時與方向相同B．時，與方向相同C．時與方向相反D．時，與方向相反【答案】BD【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求出，再回代驗證方向相同或相反.【詳解】，，可得，又，，可得，解得，當(dāng)時，與方向相反，當(dāng)時，與方向相同.故選：BD3．已知點向量則（）A．時與方向相同B．時與方向相同C．時與方向相反D．時與方向相反【答案】BD【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算求解.【詳解】可得又可得解得當(dāng)時，，則，所以與方向相反，當(dāng)時，，，則，與方向相同.故選:BD.4．如果是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是（

）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮個C．若向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使得D．若存在實數(shù)使得，則【答案】AD【分析】由平面向量基本定理可確定AD正確，B錯誤；通過反例可說明C錯誤.【詳解】是平面內(nèi)兩個不共線的向量，可以作為平面的一組基底；對于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面內(nèi)的所有向量，A正確；對于B，對于平面內(nèi)任意向量，有且僅有一個實數(shù)對，使得，B錯誤；對于C，當(dāng)時，與均為零向量，滿足兩向量共線，此時使得成立的有無數(shù)個，C錯誤；對于D，由得：，又不共線，，即，D正確.故選：AD.5．已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點則第四個頂點的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對角線，設(shè)，則由中點也是中點，利用線段的中點公式求得．同理可求得，構(gòu)成以為對角線的平行四邊形，和以為對角線的平行四邊形，對應(yīng)的的坐標(biāo)．【詳解】若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對角線，設(shè)，則由中點也是中點，可得，解得，所以；同理可得，若構(gòu)成以為對角線的平行四邊形，則；以為對角線的平行四邊形，則；所以第四個頂點的坐標(biāo)為可以為：或或．故選：ABC．6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過下頂點A和右焦點的直線與E交于另一點B，與y軸交于點P，則（

）A． B．C．△的內(nèi)切圓半徑為 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點及下頂點坐標(biāo)，畫出圖形，再逐項分析計算、判斷作答.【詳解】依題意，橢圓的焦點，下頂點，如圖，對于A，，因此，A正確；對于B，直線，由消去y得：，則點，于是，B正確；對于C，的周長為，令其內(nèi)切圓半徑為，，因此，解得，C錯誤；對于D，，設(shè)點，則，而，即有，因此，D正確.故選：ABD7．設(shè)，非零向量，，則（

）.A．若，則 B．若，則C．存在，使 D．若，則【答案】ABD【分析】A選項，驗證即可；B選項，驗證；C選項，由題可得，，據(jù)此可判斷選項正誤；D選項，由題可得，據(jù)此可判斷選項【詳解】A選項，，則，故A正確；B選項，，則，故，故B正確；C選項，假設(shè)存在，使，則，，則可得，故可得，則假設(shè)不成立，故C錯誤；D選項，因，則，又由題可得，則，故D正確.故選：ABD8．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷C，D.【詳解】對于A，因為，所以，所以，A正確；對于B，因為，所以，所以，B正確；對于C，因為，所以，所以，C錯誤；對于D，因為，所以，所以或，D錯誤；故選：AB.9．如圖，在中，是的三等分點，則（

）A．B．若，則在上的投影向量為C．若，則D．若【答案】AD【分析】根據(jù)平面向量線性運算的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義、平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為，所以，由題意得為的一個三等分點（靠點更近），所以在上的投影向量為，故B不正確；對于C，，，故，又，所以，故，故C錯誤；對于D，，而，代入得，故選項D正確，故選：AD10．已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則【答案】AD【分析】由向量平行和垂直的坐標(biāo)表示可得AB正誤；利用向量模長運算可知，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，知C錯誤；利用向量夾角為鈍角，則數(shù)量積必定小于0，可判斷D.【詳解】對于A，若，則，解得：，A正確；對于B，若，則，解得：，B錯誤；對于C，因為，所以，則當(dāng)時，，，C錯誤；對于D，若向量與向量的夾角為鈍角，則，解得，由上可知，此時兩向量不共線，D正確.故選：AD.11．已知空間向量=（1，－1，2），則下列說法正確的是（

）A．B．向量與向量=（2，2，－4）共線C．向量關(guān)于x軸對稱的向量為（1，1，－2）D．向量關(guān)于yOz平面對稱的向量為（－1，1，－2）【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量的模、共線、對稱等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確選項.【詳解】，A選項正確.，所以不共線，B選項錯誤.向量關(guān)于x軸對稱的向量，不變，和變?yōu)橄喾磾?shù)，即向量關(guān)于x軸對稱的向量為，C選項正確.向量關(guān)于yOz平面對稱的向量，和不變，變?yōu)橄喾磾?shù)，即向量關(guān)于yOz平面對稱的向量為，D選項錯誤.故選：AC易錯點三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用）1．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．2．?dāng)?shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，．特別地，或．④．⑤．4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）1．平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式．（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡．2．平面向量數(shù)量積主要有兩個應(yīng)用：（1）求夾角的大小：若，為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角．3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：（1）向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．②基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解．（2）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．（2）求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．（4）解三角形．利用向量的坐標(biāo)運算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題．5．用向量法解決實際問題的步驟如下：第一步：抽象出實際問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；第三步：利用向量的線性運算或數(shù)量積運算，求解數(shù)學(xué)模型；第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問題．6．常見的向量表示形式：（1）重心．若點G是的重心，則或（其中P為平面內(nèi)任意一點）．反之，若，則點G是的重心．（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點H是的垂心．（3）內(nèi)心．若點I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點I是的內(nèi)心．（4）外心．若點O是的外心，則或．反之，若，則點是的外心．題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：（1）求向量的模．解決此類問題應(yīng)注意模的計算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解．（2）求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．（3）由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實質(zhì)是求向量模方法的逆運用．易錯提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）當(dāng)時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．當(dāng)時，且時，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項，一般都是錯誤選項．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且.例．下列說法中錯誤的是（

）A．單位向量都相等B．向量與是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上C．兩個非零向量，若，則與共線且反向D．已知向量，若與的夾角為銳角，則【詳解】解：對于A選項，單位向量方向不同，則不相等，故A錯誤；對于B選項，向量與是共線向量，也可能是，故B錯誤；對于C選項，兩個非零向量，若，則與共線且反向，故C正確；對于D選項，向量，若與的夾角為銳角，則且與不共線，故，解得且，故D錯誤；故選：ABD變式1．給出下列命題,其中正確的有（

）A．已知向量,則B．若向量共線,則向量所在直線平行或重合C．已知向量,則向量與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底D．為空間四點,若構(gòu)成空間的一個基底,則共面【詳解】對于選項A,若,則,故,故選項A正確;對于選項B,根據(jù)向量共線的定義可得其成立,故選項B正確;對于選項C,當(dāng)時,若與不共面,根據(jù)空間向量基本定理可知,可構(gòu)成空間的一個基底,故選項C不正確;對于選項D,若構(gòu)成空間的一個基底,則不共面,故A,B,M,N不共面,故選項D不正確.故選:AB變式2．設(shè)均為單位向量，對任意的實數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為【詳解】對：設(shè)的夾角為，，兩邊平方可得：，即對任意的恒成立，故可得：，即，則，又，故，故錯誤；對：，故正確；對：，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故錯誤；對：，對，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，故的最小值為，故正確.故選：.變式3．已知拋物線的焦點為，在拋物線上，延長交拋物線于點，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點，則下列敘述正確的是（

）A．B．點的坐標(biāo)為C．D．在軸上存在點，使得為鈍角【詳解】由拋物線方程知：焦點，準(zhǔn)線為；對于A，在拋物線上，，，A錯誤；對于B，，直線，由得：或，又，，B正確；對于C，，，，，C正確；對于D，設(shè)，則，，，不能為鈍角，D錯誤.故選：BC.1．如圖，在三棱柱中，M，N分別是，上的點，且，．設(shè)，，，若，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的加減法則，以為基底可得，可得A錯誤；由計算可得，可知B正確；分別表示出可得不為零，可得C錯誤；利用C中結(jié)論，分別求出，即可得，即D正確.【詳解】對于A，根據(jù)題意可得，又，，所以可得，即，可知A錯誤；對于B，由（1）知，所以，所以，即可知B正確；對于C，易知，此時，所以與不垂直，即C錯誤；對于D，由選項C可得，且，即；，即；所以可得，即D正確.故選：BD2．設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義與數(shù)量積的運算律逐一判斷即可.【詳解】由是任意的非零向量，對于A，，故A錯誤；對于B，表示與共線的向量，表示與共線的向量，而不一定共線，故B錯誤；對于C，因為非零向量，若，則，故C正確；對于D，，故D正確.故選：AB.3．（多選）下列各命題中，正確的命題為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律以及數(shù)乘的運算律，結(jié)合共線定理，可得答案.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，根據(jù)向量數(shù)乘滿足交換律和結(jié)合律，可得B正確；對于C，根據(jù)數(shù)量積滿足交換律，可得C正確；對于D，當(dāng)，則向量與共線，當(dāng)時，則向量與共線，而向量不一定共線，故D錯誤.故選：ABC.4．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對空間中任意一點，有，則、、、四點共面C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為【答案】BCD【分析】利用線面位置關(guān)系與向量的關(guān)系可判斷A選項；利用空間向量共面的基本定理可判斷B選項；利用空間向量基底的概念可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，直線的方向向量為，平面的法向量為，則，則，所以，或，A錯；對于B選項，對空間中任意一點，有，則