高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：隱圓、蒙日?qǐng)A與阿基米德三角形-學(xué)案講義

培優(yōu)點(diǎn)7隱圓、蒙日?qǐng)A與阿基米德三角形

在近幾年全國(guó)各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到隱圓、蒙日?qǐng)A與阿基米德

三角形，這些問(wèn)題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長(zhǎng)、面積等解析幾何的核心問(wèn)題，難度

為中高檔.

考點(diǎn)一隱圓(阿波羅尼斯圓)

【核心提煉】

“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)4(一。,0),B(cz,0)(o>0)的距離之比為正數(shù)〃;IW1)

的點(diǎn)的軌跡是以q尸77，°)為圓心，尸二T為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓.

例1(多選)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“若A,B為平面上相異的兩點(diǎn)，則所有滿足:

犒=小>0,且2W1)的點(diǎn)尸的軌跡是圓，后來(lái)人們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.在平面直角

坐標(biāo)系中，4—2,0),8(4,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足糕=今則下列關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的結(jié)論正確的是()

I廠力I乙

A.點(diǎn)P的軌跡方程為^+/+8%=0

B.△AP8面積的最大值為6

C.在x軸上必存在異于A,2的兩定點(diǎn)M,N,使得牌

\rly\乙

D.若點(diǎn)0(—3,1),則2照+|PQ的最小值為5小

答案ACD

解析對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)P(x,y),

因?yàn)椤笣M足髭=3,

yj(x+2)2+y21

所以，

'N(x-4)2+y22'

化簡(jiǎn)得x1+y2+Sx=0,故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,由選項(xiàng)A可知，

點(diǎn)P的軌跡方程為爐+丫2+8尤=0,

即(x+4)2+y2=i6,所以點(diǎn)P的軌跡是以(一4,0)為圓心，4為半徑的圓，

又|AB|=6,且點(diǎn)A,8在直徑所在直線上，

故當(dāng)點(diǎn)P到圓的直徑所在直線的距離最大時(shí)，△AP8的面積取得最大值,

因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直徑的最大距離為半徑，即AAPB的高的最大值為4,

所以△AP8面積的最大值為3x6X4=12,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C,假設(shè)在x軸上存在異于A,5的兩定點(diǎn)M,N,使得加徜=]，設(shè)N(H,O),

^/(X-/W)2+p_1

■\j(x—ri)2+y22，

即H(X—〃)2+尸=77?)2+y2,

化簡(jiǎn)可得f+y2—也寧十加尹=。

又點(diǎn)P的軌跡方程為/+9+8苫=0,

8m—2n

~~3-=8

可得，

4m2—n2

-3—=0,

m=-6m=-2

解得，〃=-12或(舍去),

〃=4

故存在異于AB的兩定點(diǎn)M(—6,0),M-12,0),

使得牌=3,故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)樗?3,所以2|明=|PB|,

所以2|E4|+|PQ=|P2|十|PQ,

又點(diǎn)尸在圓V+V+SxuO上，如圖所示,

所以當(dāng)尸,Q,8三點(diǎn)共線時(shí)，2|B4|+|PQ取得最小值,此時(shí)(2|R1|+|PQ)1n^=|8。|

='[4—(―3)]2+(0—1)2=5地,故D正確.

規(guī)律方法對(duì)于動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，一是利用曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義識(shí)別

動(dòng)點(diǎn)的軌跡，二是利用直接法求出方程，通過(guò)方程識(shí)別軌跡.

跟蹤演練1(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，4—1,0),3(2,0),動(dòng)點(diǎn)C滿足糕(=/直線I：

1=0,貝(j()

A.動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為(x+2)2+y2=4

B.直線/與動(dòng)點(diǎn)。的軌跡一定相交

C.動(dòng)點(diǎn)C到直線/距離的最大值為吸+1

D.若直線/與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡交于P,。兩點(diǎn)，且|PQ=26，則加=—1

答案ABD

解析對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)C(x,y).

因?yàn)榫稚?/p>

y（x+l）2+y-1

所以

4（龍-2）2+/T

所以^+^^+以=。，即(尤+2>+y2=4,

動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以N(-2,0)為圓心，2為半徑的圓，故A正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€/過(guò)定點(diǎn)/(—1,1),而點(diǎn)M(—1,1)在圓N內(nèi)，所以直線/與圓N相交,

故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)直線/與M0垂直時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C到直線/的距離最大，且最大值為r+|NM=2

+小,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，記圓心N到直線/的距離為乩

e,\m—l\

=

則d-I

yjm2+1

因?yàn)閨尸。F=4(戶一心)=8.

又r=2,所以d=y[2.

由%半=2,得加=—1,故D正確.

考點(diǎn)二蒙日?qǐng)A

【核心提煉】

72

在橢圓，+g=l(a>6>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢

圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.

設(shè)P為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A,B,。為原點(diǎn).

性質(zhì)1PALPB.

b2

性質(zhì)2kOp-kAB=—^2.

〃b2

性質(zhì)3koA-kpA=--^,左OB-APB=一7（垂徑定理的推廣）.

性質(zhì)4PO平分橢圓的切點(diǎn)弦AB.

性質(zhì)5延長(zhǎng)E4,尸8交蒙日?qǐng)A。于兩點(diǎn)C,D,則CD〃AA

ab

性質(zhì)6的最大值為萬(wàn)，S/XAOB的最小值為〃2+。2.

性質(zhì)7SAAPB的最大值為.十〃2,S^APB的最小值為笠+〃2.

例2(2023?合肥模擬)已知A是圓f+y2=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線凡它們

與橢圓t+V=l都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M,N.

(1)若4—2,0),求直線/i，(的方程;

(2)①求證：對(duì)于圓上的任意點(diǎn)A,都有/」/2成立；

②求△AMN面積的取值范圍.

(1)解設(shè)直線的方程為y=Mx+2),

代入橢圓^"+y2=l,消去y,

可得(1+3歸if+lZFx+lZF—SuO,

由/=o,可得F—1=0,

設(shè)/1,/2的斜率分別為后，左2,

工人1=-1,%2=1,

「?直線/i,6的方程分別為y=一欠一2,y=x+2.

⑵①證明當(dāng)直線/1,/2的斜率有一條不存在時(shí)，不妨設(shè)/i的斜率不存在，

??,/i與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，，其方程為x=i\B，

當(dāng)/i的方程為％=小時(shí)，此時(shí)/i與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(小，±1),

???/2的方程為y=l(或)=—1),/I_L/2成立，

同理可證，當(dāng)/1的方程為1=一S時(shí)，結(jié)論成立；

當(dāng)直線/1,/2的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)幾)且加2+幾2=4,

設(shè)方程為y=k(x—m)+n,代入橢圓方程，

可得(1+33)/+6左(〃一七n)%+3(〃一左根)2—3=0,

由/=0化簡(jiǎn)整理得(3一機(jī)2)3+2加成+1—/=0,

?1m2+n2=4,

(3—m2)^2+2mnk+m2—3=0,

設(shè)/l,，2的斜率分別為所,fo,

??k\k?1,??l\_Lh成3Z19

綜上，對(duì)于圓上的任意點(diǎn)A,都有/1_L，2成立.

②解記原點(diǎn)到直線/i,b的距離分別為di,di,

*：MA±NA9.??MN是圓的直徑，

；.|MA|=2d2,|NA|=2di,曷+展=|0A『=4,

△AMN面積為S=；|MA|X|N4|=24d2,

S?=4山曷=4曷(4一%)=—4(比一2產(chǎn)+16,

V^e[l,3],.'.S^e[12,16],

；.SG[2小，4].

規(guī)律方法蒙日?qǐng)A在雙曲線、拋物線中的推廣

雙曲線/一方=l(a>6>0)的兩條互相垂直的切線PA,PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日?qǐng)A：x2+y2=(z2

一〃(只有當(dāng)a>6時(shí)才有蒙日?qǐng)A).

拋物線y2=2〃xS>0)的兩條互相垂直的切線B4,P3交點(diǎn)尸的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：x=—

，可以看作半徑無(wú)窮大的圓).

77

跟蹤演練2定義橢圓C：5+方=1(。2°)的“蒙日?qǐng)A”的方程為V+尸正反，已知橢

圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為e=/

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日?qǐng)A”E的方程；

⑵過(guò)“蒙日?qǐng)A”E上的任意一點(diǎn)M作橢圓C的一條切線MA,A為切點(diǎn)，延長(zhǎng)MA與“蒙日

圓”E交于點(diǎn)。，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM,O。的斜率存在，且分別設(shè)為眉，無(wú)，證明：

如Z2為定值.

C1

⑴解由題意知2〃=4,e='=1,

:?白=3,

22

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+^=1,

“蒙日?qǐng)A”E的方程為F+y2=4+3=7,即f+y2=7.

(2)證明當(dāng)切線MA的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)切線MA的方程為了=日+根，

y=kx+m,

則由<:+$=],

消去y得(3+43)砂+8加丘+4切2—12=0,

：.A=64療於一4(3+4^)(4m2-12)=0,

/.m2=:3+4^2,

y=kx+m,

由

x2+y2=7,

消去y得(1+3)砂+2機(jī)fcv+m2—7=0,

???/=4/4(1+8(加一7)=16+12/>0,

設(shè)M(xi,yi),￡)(X2,丁2),

-2mk

則即+也=

1+於'

m2—7

X1X2=T+F,

.jj,yij2

??k,\k.2一

X1X2

（fcxi+徵）（依2+fn）

X1X2

+kmjpci+X2）+力2

X\X2

?根2—7—2mk9

m2—7

T+F

n/2-7於

m2-7'

???m2=3+4^,

.m2-7^23+43—733

?,^lfe=m2-7=3+4^-7=一不

3

當(dāng)切線MA的斜率不存在且為零時(shí)，％%2=一4成立，

任比為定值.

考點(diǎn)三阿基米德三角形

【核心提煉】

拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.

性質(zhì)1阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊即弦48過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)。的軌跡為一

條直線.

性質(zhì)3拋物線以。點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于。點(diǎn)的軌跡.

性質(zhì)4若直線/與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)（若

直線/方程為：ax+by+c=O9則定點(diǎn)的坐標(biāo)為C0,一第.

性質(zhì)5底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為

性質(zhì)6若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面

積最小值為p2.

例3（多選X2023?南平模擬）過(guò)拋物線f=2*⑦>0）的焦點(diǎn)/作拋物線的弦與拋物線交于A,

5兩點(diǎn)，M為A3的中點(diǎn)，分別過(guò)A,8兩點(diǎn)作拋物線的切線/i，6相交于點(diǎn)P.下面關(guān)于

的描述正確的是（）

A.點(diǎn)尸必在拋物線的準(zhǔn)線上

B.AP1PB

C.設(shè)4（沏,州），BQ及），則的面積S的最小值為專

D.PFLAB

答案ABD

解析先證明出拋物線y2=2〃x（p>0）在其上一點(diǎn)5）,yo）處的切線方程為yoy=px+pxo.

證明如下：

由于點(diǎn)（出,州）在拋物線丁=2內(nèi)上，則y§=2〃xo,

fy2=2〃x,

聯(lián)立,

[yoy=px+pxo,

可得2yoy=y2+2pxo,

即產(chǎn)一2yoy+弱=0,/=0,

所以拋■物線_/=2〃刈>0）在其上一點(diǎn)（沏，%）處的切線方程為yoy=px+pxo.

如圖所示.設(shè)A（?,yi）,Bgm），直線A8的方程為

x—my+），

聯(lián)立'2

y=2px,

消去x得y2—2mpy-p2=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系可得yiy2=—p2,y\+y2=2mp9

對(duì)于A,拋物線y2=2px在點(diǎn)A處的切線方程為y\y=px+px\,

即V尸px+5，

同理可知，拋物線y2=2力在點(diǎn)B處的切線方程為y2y=px+^,

_y\yi__P

x~2p

解得，

yi+j2

尸-2-=mp,

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為一冬

即點(diǎn)尸在拋物線的準(zhǔn)線上，A正確;

對(duì)于B,直線4的斜率為百寸

直線，2的斜率為依與

所以/而=以以=—1,

所以B正確;

對(duì)于D,當(dāng)垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)P為拋物線的準(zhǔn)線與無(wú)軸的交點(diǎn),

此時(shí)PF±AB；

當(dāng)不與x軸垂直時(shí)，直線的斜率為MB=A，

直線尸尸的斜率為kpF=」~=-m,

-P

所以kAB-kpF=-1,則PF1AB.

綜上，PFLAB,D正確；

對(duì)于C,\AB\=y[r+^-\yi-y2\,

所以，SAPAB^AB\-\PF\

=枷2+1）."+j|

丹?（小+1）（M+給

[m=0,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤.

31=±。

規(guī)律方法(1)橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類(lèi)似性質(zhì)；

(2)當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日?qǐng)A.

跟蹤演練3已知拋物線C：/nZpy。)。)的焦點(diǎn)為F,且廠與圓M：/+。+4)2=1上的點(diǎn)

的距離的最小值為4.

⑴求P；

⑵若點(diǎn)P在圓M上，PA,是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求面積的最大值.

解(1)易得圓的圓心”(0,-4),拋物線C的焦點(diǎn)為電，\FM\=^+4,

...■F與圓M：f+(y+4)2=l上的點(diǎn)的距離的最小值為?+4—1=4,解得p=2.

⑵拋物線C的方程為f=4y,即y=?,

對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得＜=全

設(shè)點(diǎn)A(?,%)，3(%2,刈)，P(xo,yo),

直線PA的方程為y—yi—^2(x—x\)9

即尸竽一V，即xix—2yi—2y=0,

同理可知，直線的方程為XN—2券—2y=0,

由于點(diǎn)尸為這兩條直線的公共點(diǎn)，

gx。一2%—2yo=0,

則

[xzxo-2y2-2yo=0,

???點(diǎn)A,8的坐標(biāo)滿足方程xg—2y—2yo=O,

「?直線AB的方程為xox—2y—2yo=O,

xox—2y-2yo=O,

聯(lián)立|f

可得X2—2xox+4yo=O,

由根與系數(shù)的關(guān)系可得XI+X2=2XO,

%i%2=4yo,

??.|A3|=1+(X1+X2)2—4X1X2

=、/1+胡勺4看一16yo

=、（焉+4）（君一4yo）,

點(diǎn)P到直線AB的距離為d=^i==^,

q焉+4

?9?S^PAB=^\AB\-d

=勾(*+4)(曾―4yo)?生曾

1,2

=2(%-4%)2，

?."看一4%=1—(yo+4)2—4yo

——yo~12yo_15=—(yo+6)2+21,

由已知可得一5WyoW—3,

i-

**?當(dāng)yo=-5時(shí)，△出6的面積取最大值］X202=2隊(duì)

專題強(qiáng)化練

1.若橢圓c：弋+?=im>o）的蒙日?qǐng)A為/+尸=6,則。等于（）

aIza

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義，得。+2+。=6,解得a=2.

2.（2023?煙臺(tái)模擬）過(guò)拋物線V=4x的焦點(diǎn)尸作拋物線的弦，與拋物線交于A,B兩點(diǎn)、,分別

過(guò)A,B兩點(diǎn)作拋物線的切線/i，/2相交于點(diǎn)P，△出8的面積S的最小值為（）

4

A.QB.2

C.4D.4/

答案C

解析由題知，弦43過(guò)拋物線焦點(diǎn)，則由“阿基米德三角形”性質(zhì)知，點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)

線上，△RW的面積的最小值為S=p2=4.

3.已知在平面直角坐標(biāo)系。孫中，4-2,0）,動(dòng)點(diǎn)M滿足得到動(dòng)點(diǎn)〃的軌

跡是阿氏圓C若對(duì)任意實(shí)數(shù)k,直線/：尤―1）+6與圓C恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍

是()

A.［—巾，巾］B.［一加，,］

C.［—巾，巾］D.f-252的

答案C

解析設(shè)Mx,y),由4-2,0),3-\MA\=yj2\MO\,

得|MA|2=2|MO|2,即(x—2>+y2=8,所以M的軌跡是以C(2,0)為圓心，2、也為半徑的圓，

直線/：y=Z(x—1)+6恒過(guò)定點(diǎn)(1,b),

把x=l代入(x—2/+y2=8,解得>=川%

要使對(duì)任意實(shí)數(shù)鼠直線/：y=-x—l)+b與圓C恒有公共點(diǎn)，

則一由WbW巾，即b的取值范圍是［—巾，巾］.

4.拋物線上任意兩點(diǎn)A,8處的切線交于點(diǎn)P,稱為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段A3

經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)P時(shí)，△研8具有以下特征：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②

若經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的一條弦為AB,“阿基米德三角形”為△出'且點(diǎn)P的縱坐

標(biāo)為4,則直線AB的方程為()

A.x—2y—1=0B.2x+y—2=0

C.x+2y—1=0D.2x—y—2=0

答案A

解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為足由題意可知，拋物線V=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,0),準(zhǔn)線方程為

x=~l,因?yàn)椤鰾4B為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)

尸必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)P(—1,4),

所以直線尸產(chǎn)的斜率為4,°=-2.

又因?yàn)镻F1AB,

所以直線A8的斜率為最

所以直線A8的方程為y-0=1(x-l),

即x~2y~l=0.

5.(多選)(2023?廊坊模擬)如圖，△以8為阿基米德三角形.拋物線d=2py(p>0)上有兩個(gè)不

同的點(diǎn)A(xi,%),B(X2,y2),以A,8為切點(diǎn)的拋物線的切線B4,PB相交于點(diǎn)尸.給出如下

結(jié)論，其中正確的為()

A.若弦48過(guò)焦點(diǎn)，則AAB尸為直角三角形且/4尸8=90。

B.點(diǎn)P的坐標(biāo)是，.尬,為2）

C.AE4B的邊A2所在的直線方程為⑴+&）無(wú)一2py—尤陽(yáng)=0

D.△出臺(tái)的邊AB上的中線與y軸平行（或重合）

答案ACD

解析由題意設(shè)AQI,8（X2,知，Xl<X2,

2

由x=2py,得y=|則y'=p

所以區(qū)1=蔗,kpB煮,

若弦AB過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)AB所在直線為了=依+$聯(lián)立f=2py,得工2—20日一°2=0,

2

則X1X2=—p,所以kpA,kpB=FT=-L

所以m_LPB,故A正確；

以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程為y—卷=?（x—制），以點(diǎn)2為切點(diǎn)的切線方程為y—芫=g（x—X2）,

乙pP乙pP

聯(lián)立消去丫得苫=皿產(chǎn)，

將x=巧這代入y-^=j（x-xi）,

Xl12

得產(chǎn)罰

所以P”上，喔故B錯(cuò)誤;

設(shè)N為拋物線弦AB的中點(diǎn)，N的橫坐標(biāo)為XN=注望，因此直線PN平行于y軸（或與y軸重

合），即平行于拋物線的對(duì)稱軸（或與對(duì)稱軸重合），故D正確;

設(shè)直線AB的斜率為

kyi2P2Pxi+%2

X2-X\X2~X\2P'

故直線AB的方程為廠方=12P2（x-xi）,

化簡(jiǎn)得（xi+%2）x—2〃y—加入2=0,故C正確.

6.（多選）已知橢圓C：，+\=1。比>0）的離心率為羋，F(xiàn)i，出分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A,

B為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).直線/的方程為法+0一/一〃=o.下列說(shuō)法正確的是（）

A.C的蒙日?qǐng)A的方程為/+y2=3〃

B.對(duì)直線/上任意一點(diǎn)P,m-PB>0

C.記點(diǎn)A到直線/的距離為d,則d—⑷司的最小值為羋。

D.若矩形MNG8的四條邊均與C相切，則矩形面積的最大值為6b2

答案AD

解析對(duì)于A,過(guò)。（。，可作橢圓的兩條互相垂直的切線x=〃，y=b,

AQ（a,。）在蒙日?qǐng)A上，

???蒙日?qǐng)A方程為一+>2="+〃，

由e=?=、/^l=坐得層=2及，

；.C的蒙日?qǐng)A方程為f+y2=3〃，A正確；

對(duì)于B,由/方程知/過(guò)P（6,a）,又尸滿足蒙日?qǐng)A方程，

二尸出，.）在圓x2+y2=3b2±,當(dāng)A,B恰為過(guò)尸作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時(shí)，PAPB=

0,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在橢圓上，

尸21=2。,

：.d-\AF2\=d—（2a-|AFi|）=d+|AFi|一2。；

當(dāng)FiA±l時(shí),d+|AB|取得最小值,最小值為Fi到直線I的距離，

22222

-,,nr.,\—bc-a—b\\-b—1b—b\4小

又吊到直線’的距周d=一^而育―=曬=3"

4\[3

（J—|AF2|）min=2a,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)矩形MNG8的四條邊均與C相切時(shí)，蒙日?qǐng)A為矩形MNG8的外接圓，

二矩形MNG8的對(duì)角線為蒙日?qǐng)A的直徑，設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為x,y,則爐十產(chǎn)二

12b2,

矩形MNGH的面積S=xy/X,丫=6/（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=乖b時(shí)取等號(hào)），即矩形MNGH面

積的最大值為6〃，D正確.

7.拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因?yàn)榘⒒?/p>

德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德

2

三角形面積的號(hào)已知A(—2,D，8(2,1)為拋物線C：V=4y上兩點(diǎn)，則在A點(diǎn)處拋物線C的切

線的斜率為；弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為.

答案-1|

解析因?yàn)閥=*,所以y'=%,

所以左=y'|x=-2=gx(_2)=-l,

所以在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為一1,

切線方程為y—\=—(x+2),即y=—%—1,

同理在B點(diǎn)處拋物線C的切線方程為y=x-l,

■=一尤—1,(尤=0,

由f,解得，

[y=x-l,Ly=-1,

所以兩切線的交點(diǎn)為尸(0,-1),

所以阿基米德三角形面積S=3X4X2=4,

7Q

所以弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為S=4X1=|

8.(2023?贛州模擬)已知兩動(dòng)點(diǎn)A,8在橢圓C：^+V=l(a>l)上，動(dòng)點(diǎn)P在直線3葉4廠

10=0上，若NAP8恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍為

答案(o,里|

解析根據(jù)題意可得，圓f+y2="+i上任意一點(diǎn)向橢圓。所引的兩條切線互相垂直,

因此當(dāng)直線3x+4y—10=0與圓/+9=/+1相離時(shí)，/APB恒為銳角，

<|0+0-W|\

故居+1<IV3H45J=4,

解得1<?2<3,

從而離心率e

9.(2023?開(kāi)封模擬)如圖，過(guò)點(diǎn)P(m,w)作拋物線C：f=2pyg>0)的兩條切線B4,PB,切點(diǎn)

分別是A,B,動(dòng)點(diǎn)。為拋物線C上在A,B之間的任意一點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)。處的切線分

別交融，尸8于點(diǎn)M,N.

(1)若AP，尸8,證明：直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,與；

(2)若分別記△「用/',”8。的面積為N，S2，求費(fèi)的值.

⑴證明設(shè)A(%i,yD，5(x2,m)，直線AB的方程為》=辰+。，

\j^=2py,

由j

[y=kx+b,

消去y并整理得x2—2ph:—2加?=0,有x\X2=~2pb,

令拋物線C：x^=2py在點(diǎn)A處切線方程為y—y\=t(x—x\),

\y-yx=t(x-xx),

由J

[^7=2py,

消去y并整理得x2—2ptx+2ptxi—2py\=0,

則有A=4P2/2—4(2p/xi—2py\)=—4(2p/xi—^)=0,解得￡=旅

同理，拋物線C：*=2py在點(diǎn)8處切線斜率為荔

因?yàn)锳PLPB,則有彳=三四=—1,

解得b=y

所以直線A3：尸質(zhì)十號(hào)恒過(guò)定點(diǎn)(0,

(2)解由⑴知，切線必的方程為廠v=加一為),

整理得y=》—yi,

同理切線PB的方程為y=y-y2,

設(shè)點(diǎn)。(Xo,Jo),則切線MN的方程為>=；尤一yo,

_X1_X2

而點(diǎn)尸(加,〃)，即有n=~m-y\n=-m—y2

因此直線AB的方程為",

有|4同=〈1+02|內(nèi)—對(duì)，

點(diǎn)Q(xo,刃)到直線AB的距離是d2=

tlI±，，匕

則S2=^\xi—X2\-xo-yo-n,

\py=xox—pyo,

由_

[py=xix—pyi,

解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)硼=也要,

同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)對(duì)=與這，

m

—xo—n—yo