2024-2025學年山東省青島某中學高三（上）月考數(shù)學試卷（8月份）（含答案）

2024-2025學年山東省青島二中高三(上)月考

數(shù)學試卷(8月份)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1

1.已知集合M={制y=lg(2%—3)},N={y|y>0，則MnN=()

331

A.(-l,pB.《,+8)C.?，+8)D.0，|)

2.某高中為鼓勵全校師生增強身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機調(diào)查7名同學在某周周日校園跑

的時長(單位：分鐘)，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：35,30,50,90,70,85,60.則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)

分別為()

A.60,58B.60,60C.55,58D.55,60

3.已知2=署(06幻為純虛數(shù)，則憶+2小=()

B.2C.1D.<5

4.曲線y=ex+sin2x在點(0,1)處的切線方程為()

A.3%+2y—2=0B.2%—2y+1=0C.3x—y+1=0D.3x—2y+2=0

5.已知銳角a,￡滿足sina+sinasin/3=coscrcos/?,則2a+/?=()

A71

A-2B5C-JD.n

6.過點P(l,—3)的直線I與曲線M:(x-2/+y2=1(2<%<3)有兩個交點，則直線I斜率的取值范圍為()

B?2C(|，2

Ml，』

7.已知橢圓r：捻+，=l(a>b>0)的右焦點為F,過尸且斜率為1的直線/與r交于力，B兩點，若線段4B

的中點M在直線x+2y=0上，則7的離心率為()

A^2考

A.—BD號

4

8.如圖，在平行四邊形4BCD中，tanzSXD=7,AB=S，AD=5,E為邊BC上異于端點的一點，且

荏?加=45,貝！Isin/CDE=()

A方

A?而B.:

Di

44

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

22

9.已知雙曲線T：T------—1，則()

3—mm+6

A.租的取值范圍是(3,+8)

B.m=l時，T的漸近線方程為y=±手x

(2"的焦點坐標為(一3,0),(3,0)

D.T可以是等軸雙曲線

10.下列函數(shù)中，存在數(shù)列｛即｝使得的，a2,口3和〃的)，f(a2),/(a3)都是公差不為0的等差數(shù)列的是()

2024

A./(%)=tanxB./(%)=log2xC./(%)=xD./(%)=1g

11.已知定義在R上的偶函數(shù)f(久)和奇函數(shù)g(x)滿足f(2+x)+g(-x)=1,貝ij()

A./(久)的圖象關(guān)于點(2,1)對稱B./(久)是以8為周期的周期函數(shù)

C.g(x+8)=g(x)D.充駁(軌-2)=2025

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(%—2y)6的展開式中，/必的系數(shù)為.

13.已知函數(shù)“無)=2024sin(2x-勺在區(qū)間內(nèi)恰有兩個極值點，則實數(shù)小的取值范圍為.

14.將正整數(shù)n分解為兩個正整數(shù)七、七的積，即幾=自?七，當七、七兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其

為最優(yōu)分解汝口20=1X20=2X10=4x5,其中4x5即為20的最優(yōu)分解，當心、6是n的最優(yōu)分解時，

定義/(功=隹一七1，則數(shù)列｛f(5n)｝的前2024項的和為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在I34BC中，內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c,且acosC+AAZasinC=b+c.

⑴求a；

(2)若a=2門，且b>c,貝帆ABC的面積為20，求b、c.

16.(本小題12分)

已知直線久=my+n交拋物線C:y2=4x于M,N兩點，F(xiàn)為C的焦點，且FM1FN.

(1)證明：m2+n>0;

(2)求n的取值范圍.

17.(本小題12分)

如圖，點。為正四棱錐P-4BCD的底面中心，四邊形POBQ為矩形，且。4=2，BQ=2.

(1)求正四棱錐P—HBCD的體積；

(2)設(shè)E為側(cè)棱P4上的點，且黑=|，求直線BE與平面PQC所成角的正弦值

CrJ

18.(本小題12分)

某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)

量指標值：［45,55),［55,65),［65,75),［75,85),［85,95］根據(jù)長期檢測結(jié)果,得到芯片的質(zhì)量指標值X服

本標準差s作為。的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為a等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位

有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機變量f服從正態(tài)分布N(“,M),則

P(〃一七0.6827,P(〃-2oVf<〃+2(7)?0.9545,P(〃—3CT<f<〃+3a)k0.9973.)

(2)(回)從樣本的質(zhì)量指標值在［45,55)和［85,95］的芯片中隨機抽取3件，記其中質(zhì)量指標值在［85,95］的芯片

件數(shù)為“，求77的分布列和數(shù)學期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按loo件一箱包裝.已知一件a等品芯片的利

潤是爪(1(根<24)元，一件B等品芯片的利潤是ln(25-爪)元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求根的值，使得

每箱產(chǎn)品的利潤最大.

19.(本小題12分)

定義：若對于任意neN*,數(shù)列｛&｝，｛%｝滿足：?xnyn;(2)f(xn)=f(yn),其中/(久)的定義域為D,

xn,yneD,則稱｛久兀｝,｛%｝關(guān)于/'(x)滿足性質(zhì)G.

(1)請寫出一個定義域為R的函數(shù)/(*),使得｛n｝,｛-n｝關(guān)于/(?滿足性質(zhì)G;

(2)設(shè)g(x)=x+g(x>0,k>0),若｛%",｛%｝關(guān)于g(x)滿足性質(zhì)G,證明：xn+yn>2A/T;

⑶設(shè)h(x)=e^+x+e-A*-sinx(xGR),若｛xj｛%｝關(guān)于h(x)滿足性質(zhì)G,求數(shù)列｛/+%｝的前n項和.

參考答案

1.B

2.5

3.2

4.C

5.4

6.5

7.D

8.F

9.BCD

10.AD

11.ABC

12.60

13.(y,y]

14.51012-1

15.解：(1)因為acosC+V_3asinC=b+c,

由正弦定理得sirL4cosc+V_3sini4sinC=sinB+sinC,

所以sirL4cosc+V_3sin?lsinC=sin(/+C)+sinC,

可得V_5sinZsinC=cos/sinC+sinC,

因為sinC>0,所以，WsinZ=cosA+1,

所以sin(4

因為AE(0,7T),所以/=(

(2)由SMBC=/bcsinA=^-bc=2V-3，所以be=8,

又由余弦定理可得小=Z)2+c2—2bccosA=(b+c)2—3bc=(b+2—24=12,

所以b+c=6,

由蚱鼠,解得:

因為6>c,故本題的答案為6=4,c=2.

16.⑴證明：由題意聯(lián)立g==*+n^-4my-4n=0,

???4=16m2+16n>0=>m2+n>0.

(2)解：設(shè)可(犯小?)，

由(D得Yi+=4m，y，2=-4n,

vFM1FN,F(LO),.?.麗?麗=0,

即(％i—1)(犯—1)+y/2=0，BP(jnyr+n—l)(my2+n-1)+y1y2=°，

2

整理得(租2+l)y1y2+m(n—1)仇4-y2)+(n—l)=0,

2222

將%+曠2=4m,yry2——4九代入并整理得，4m=n—6n+1,4(m+n)=(n—l)>0,

???九W1,且九2-6n+l>0,解得ri>3+或九<3-2，1.

17.解：⑴由已知可得OP=BQ=2,

注意OA=<2,G故底面正方形ZBCO的邊長為45=2,

2

所以正四棱錐P-力BCD的體積U=lsABCD.PO=|x2x2=1.

(2)設(shè)。為原點，OC,OD,0P分別為％,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

易得P(0,0,2),2(—調(diào),0,0),B(0,-AA2,0),C(<2,0,0),Q(0,—71,2),

設(shè)平面PQC的一個平面向量元=(%y,z),則儼1竺，即1元.空二°,

In1CPIn-CP=0

又加=(0,合,0),CP=(-<2,0,72)，

即噂'=?！蓢诋a(chǎn)可得記“叫，

由題意可得通=|AP=(學,0》

設(shè)EQ,y,z),則荏=(%+v^,y,z)，

則有(x+<2,y,z)=(等,0,令，

故E(一手,o,§,從而箱=

所以爐.元=Y+O+W，|岳|=J(—哈)2+2+1)2=",|^|=/3

設(shè)直線直線8E和平面PQC所成角為氏

則s譏9=|cos〈爐?元＞1=|繇=而過=宏，

故直線BE和平面PQC所成角的正弦值為宏.

18.解：(1)由題意，估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件的平均數(shù)為：

%=10X(0.01X50+0.025X60+0.04X70+0.015X80+0.01X90)=69.

即〃?%=69

《11,所以XSN(69,1M),

因為質(zhì)量指標值X近似服從正態(tài)分布N(69,IB),

所以P(X280)=i(69T丁<69+11)1—P(〃一

2

1-0.6827=0.15865?0.16,

2

所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為/等品的概率約為0.16.

(2)(i)(0.01+0.01)xlOx100=20,所以所取樣本的個數(shù)為20件,

質(zhì)量指標值在［85,95］的芯片件數(shù)為10件，

故〃可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為:

302l

pg=o)=^rrTQ，PS=1)=r乎r15

c38

20口C20

PS=2)=船=|1,pg=3)=呼2

^20^2019

隨機變量4的分布列為:

耳0123

22

P1515

19383819

所以〃的數(shù)學期望E⑺=0x^-+lx||+2xi|+3x^-=1.

'LzfJoJoiyz

5)設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有y件，則每箱產(chǎn)品中B等品有(ioo-丫)件,

設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為z元，

由題意知：Z=mY+(100—y)ln(25—m)=(m—ln(25—m))Y+1001n(25—m),

由(1)知：每箱零件中a等品的概率為o.i6,

所以ysB(ioo,o.i6),所以E(y)=100x0.16=16,

所以E(Z)=E[(m-ln(25一m))K+1001n(25一m)]

=(m—ln(25—zn))E(Y)+1001n(25—m)

=16(m—ln(25—m))+1001n(25—m)

=16m+841n(25—m)

令/(%)=16%+841n(25—x)(l<x<24)

//(%)=16-噂匕=0得，％

J、'25—x4

7Q7Q

又f(x)>0,f(x)遞增;xe(?,24),f(x)<0,/(久)遞減,

所以當尤=券e(1,24)時，/(久)取得最大值.

所以當爪==時，每箱產(chǎn)品利潤最大.

4

19.解：(l)/(x)=久2(注：所有的定義域為R的偶函數(shù)均符合題意).

⑵證明：因為gg)=g(%)’所以小9％+￡

移項得%-yn=---=蛆U.

x

yn