832圓柱圓錐圓臺(tái)的表面積和體積-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期題型分類(lèi)歸納講義（人教A版2019）(原卷版)

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積一、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積1、側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l2、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積的求解步驟;解決圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積問(wèn)題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖，借助平面幾何知識(shí)，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：(1)得到空間幾何體的平面展開(kāi)圖．(2)依次求出各個(gè)平面圖形的面積．(3)將各平面圖形的面積相加．二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積1、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式：（1）圓柱的體積公式：V（2）圓錐的體積公式：V（3）圓臺(tái)的體積公式：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h2、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系三、球的表面積和體積1、球的體積公式：V=2、球的表面積公式：S=4π四、球的截面的性質(zhì)（1）球的軸截面（過(guò)球心的截面）是將球的問(wèn)題（立體幾何問(wèn)題）轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題（圓的問(wèn)題）的關(guān)鍵，因此在解決球的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們必須抓住球的軸截面，并充分利用它來(lái)分析解決問(wèn)題．（2）用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面，如圖，球的截面有以下性質(zhì)：①球心和截面圓圓心的連線垂直于截面；②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿(mǎn)足關(guān)系d＝eq\r(R2－r2).題型一圓柱的表面積【例1】已知圓柱的底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)l與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為()A．6πB．8πC．9πD．10π【變式11】一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2π.該圓柱的表面積為．【變式12】一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（）A．B．C．D．【變式13】已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π題型二圓錐的表面積【例2】若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【變式21】把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A．10B．C．D．【變式22】已知某圓錐的底面半徑為8，高為6，則該圓錐的表面積為_(kāi)________.【變式23】圓錐的高和底面半徑相等，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等．求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比；【變式24】一個(gè)圓柱內(nèi)接于一個(gè)底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（）A．B．C．D．題型三圓臺(tái)的表面積【例3】圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1、2，母線與底面的夾角為60°，則圓臺(tái)的側(cè)面積為_(kāi)_______.【變式31】圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的表面積為574π，則圓臺(tái)較小的底面半徑為_(kāi)___________.【變式32】圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長(zhǎng)為10，求圓臺(tái)的表面積．【變式33】已知圓臺(tái)的上、下底面的面積之比為9∶25，那么它的中截面截得的上、下兩臺(tái)體的側(cè)面積之比是____________.【變式34】圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為8cm，母線與底面成60°角，軸截面的兩條對(duì)角線互相垂直，求圓臺(tái)的表面積．題型四圓柱的體積【例4】如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．πB．2πC．4πD．8π【變式41】(多選)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)12cm，寬8cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是()A．eq\f(288,π)cm3B．eq\f(192,π)cm3C．288πcm3D．192πcm3【變式42】周長(zhǎng)為的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_(kāi)____.【變式43】如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長(zhǎng)的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．題型五圓錐的體積【例5】已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面周長(zhǎng)為，則它的體積為（）A．B．C．D．【變式51】將半徑為，圓心角為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）A．B．C．D．【變式52】已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A．3B．C．9D．【變式53】若一個(gè)圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等，那么圓柱與圓錐的體積之比是()A．1B．1∶2C.eq\r(3)∶2D．3∶4題型六圓臺(tái)的體積方法概要：臺(tái)體的體積轉(zhuǎn)化為求錐體的體積．根據(jù)臺(tái)體的定義進(jìn)行“補(bǔ)形”，還原為錐體，采用“大錐體”減去“小錐體”的方法求臺(tái)體的體積．【例6】已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是_______.【變式61】圓臺(tái)上底半徑為2，下底半徑為6，母線長(zhǎng)為5，則圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【變式62】古代將圓臺(tái)稱(chēng)為“圓亭”，《九章算術(shù)》中“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，問(wèn)積幾何？”即一圓臺(tái)形建筑物，下底周長(zhǎng)丈，上底周長(zhǎng)丈，高丈，則它的體積為（）A．立方丈B．立方丈C．立方丈D．立方丈【變式63】設(shè)圓臺(tái)的高為3，如圖，在軸截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，則圓臺(tái)的體積為_(kāi)___________.題型七球的表面積和體積【例7】（1）已知球的直徑為6cm，求它的表面積和體積；（2）已知球的表面積為64π，求它的體積；（3）已知球的體積為eq\f(500π,3)，求它的表面積．【變式71】若一個(gè)球的直徑為2，則此球的表面積為（）A．B．C．D．【變式72】?jī)蓚€(gè)球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為_(kāi)___________.【變式73】三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的()A．1倍B．2倍C．eq\f(9,5)倍D．eq\f(7,4)倍題型八球的截面問(wèn)題【例8】一平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A．eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【變式81】如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，若不計(jì)容器厚度，則球的體積為()A．eq\f(500π,3)cm3B．eq\f(866π,3)