廣東省廣外廣附鐵一三校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

20222023學(xué)年上學(xué)期期中三校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷共5頁，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題（共60分）一．單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.62.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，且）為純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.4.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量不一定共面B.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面D.若，則的夾角是鈍角5.若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝kx－1的距離不可能是（）A.4 B.6C.3＋1 D.86.已知定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.4 B.2 C. D.7.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，過F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的面積為（）A. B. C. D.8.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的件產(chǎn)品，其中一等品有件，合格品有件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件為“是一等品”，為“是合格品”，為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是（）A.B.C.D10.函數(shù)的圖象在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則可能為（）A.2π B. C.3π D.11.如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，在線段上，則下列說法中正確的有（）A.平面B.平面C.存在點(diǎn)，滿足D.的最小值為12.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則在上單調(diào)遞減 B.若，無最大值，也無最小值C.若，則 D.若，則第二部分非選擇題（共90分）三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.求值：___________14.已知直線l過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為____________．15.已知橢圓C：1左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．16.某干燥塔底面是半徑為1的圓面O，圓面有一個(gè)內(nèi)接正方形框架，在圓O的劣弧上有一點(diǎn)P，現(xiàn)在從點(diǎn)P出發(fā)，安裝三根熱管，則三根熱管的長(zhǎng)度和的最大值為____________．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，?分別為?的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積.18.如圖，在中，是上一點(diǎn)，平分.（1）求證：；（2）若，，，求的內(nèi)切圓面積.19.有一種魚的身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的汞含量超過其體重的（即百萬分之一）時(shí)，人食用它，就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機(jī)選出條魚，檢驗(yàn)魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差，并估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（2）有，兩個(gè)水池，兩水池之間有個(gè)完全相同小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時(shí)通過條魚.（?。⑵渲泄暮孔畹偷臈l魚分別放入水池和水池中，若這條魚的游動(dòng)相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）將其中汞的含量最低的條魚都先放入水池中，若這條魚均會(huì)獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個(gè)小孔由水池進(jìn)入水池且不再游回水池，求這兩條魚由不同小孔進(jìn)入水池的概率.20.已知底面ABCD為菱形直四棱柱，被平面AEFG所截幾何體如圖所示.（1）若，求證：；（2）若，，三棱錐GACD的體積為，直線AF與底面ABCD所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值.21.已知兩個(gè)定點(diǎn)A（4，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l：y=kx4.（1）求曲線E的方程；（2）若直線l與曲線E交于不同的C，D兩點(diǎn)，且∠COD=90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率；（3）若k=，Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作曲線E的兩條切線QM，QN，切點(diǎn)為M，N，探究：直線MN是否過定點(diǎn)