專題15導數(shù)與函數(shù)的極值最值（原卷版）

2023高考一輪復習講與練專題15導數(shù)與函數(shù)的極值、最值導數(shù)與函數(shù)的極值、最值導數(shù)與函數(shù)的極值、最值極值的概念求函數(shù)的極值極值的判斷含參的極值問題含參的最值問題求函數(shù)的最值求參數(shù)的值求參數(shù)的范圍參數(shù)引起的討論求參數(shù)的值求參數(shù)的范圍參數(shù)引起的討論練高考明方向1.（2022·全國甲（文T8）(理T6)）.當時，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.12.（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線3.（2022·全國乙（理）T16）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．4．(2021·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．5．(2021年高考全國乙卷理科)設，若為函數(shù)的極大值點，則(） AB．C．D．6．(2019年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．7.(2019·全國卷Ⅲ文科·T20)已知函數(shù)f(x)=2x3ax2+2.(1)討論f(x)的單調性.(2)當0<a<3時,記f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為M,最小值為m,求Mm的取值范圍.8.(2019·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函數(shù)f(x)=14x3x2+(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程.(2)當x∈[2,4]時,求證:x6≤f(x)≤x.(3)設F(x)=|f(x)(x+a)|(a∈R),記F(x)在區(qū)間[2,4]上的最大值為M(a),當M(a)最小時,求a的值.9．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ（理）)(12分)已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若存在兩個極值點，證明：．10．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)已知函數(shù)．(1)若，證明：當時，，當時，；(2)若是的極大值點，求．11．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)(本小題滿分12分)(I)討論函數(shù)的單調性，并證明當時，；(II)證明：當時，函數(shù)有最小值．設的最小值為，求函數(shù)的值域．12．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)若是函數(shù)的極值點，則的極小值為 ()A． B． C． D．113．(2014高考數(shù)學課標2理科)已知函數(shù)=．(Ⅰ)討論的單調性；(Ⅱ)設，當時，,求的最大值；(Ⅲ)已知，估計ln2的近似值(精確到0．001)14．(2012高考數(shù)學新課標理科)已知函數(shù)滿足滿足．(1)求的解析式及單調區(qū)間；(2)若，求的最大值．15．(2013高考數(shù)學新課標2理科)已知函數(shù)，下列結論中錯誤的是() A．B．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調遞減D．若是的極值點，則16．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ（理）)已知函數(shù),則的最小值是．17．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的等邊三角形的中心為為圓上的點,,,分別是以為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后,分別以為折痕折起,,,使得重合,得到三棱錐．當?shù)倪呴L變化時,所得三棱錐體積(單位:)的最大值為__________．18．(2013高考數(shù)學新課標1理科)若函數(shù)=的圖像關于直線=－2對稱，則的最大值是______．講典例備高考類型一、函數(shù)極值的判斷基礎知識：(1)函數(shù)的極小值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，且f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則x＝a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值。(2)函數(shù)的極大值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，且f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則x＝b叫做函數(shù)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值?；绢}型：1、已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)有()A．兩個極大值，一個極小值B．兩個極大值，無極小值C．一個極大值，一個極小值D．一個極大值，兩個極小值2．設定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)，則f(x)()A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值D．既無極大值，又無極小值3．已知函數(shù)（）可變形為，它可看作是由函數(shù)和復合而成的，則函數(shù)（）（）A．無極小值 B．有極小值1 C．無極大值 D．有極大值基本方法：1、極值的判斷：可導函數(shù)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．同時要注意導數(shù)為零的點不一定是極值點．2．知圖判斷函數(shù)極值的情況。先找導數(shù)為0的點，再判斷導數(shù)為0的點的左、右兩側的導數(shù)符號。3、導函數(shù)圖象的應用策略(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點；(2)由導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調性，進而研究函數(shù)的極值、最值．類型二、求函數(shù)的極值基本題型：1．已知函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e22．函數(shù)f(x)＝eq\f(3,2)x2－lnx的極值點為()A．0,1，－1 B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)3、已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值．基本方法：1．函數(shù)極值和極值點的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況．注意：(1)導數(shù)為零的點不一定是極值點．(2)對于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問題，一般要對方程f′(x)＝0的根的情況進行討論，分兩個層次討論．第一層次，討論在定義域內是否有根；第二層次，在有根的條件下，再討論根的大小．類型三、含參的極值問題基本題型：1．（求參數(shù)的值）設函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2－eq\f(3,2)x，若x＝1是函數(shù)f(x)的極大值點，則函數(shù)f(x)的極小值為()A．ln2－2 B．ln2－1C．ln3－2 D．ln3－12．（求參數(shù)的范圍）若函數(shù)在區(qū)間內有極小值，則的取值范圍為________．3．（求參數(shù)的值）已知函數(shù)f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1處取得極值0，則m＋n＝()A．4 B．11C．4或11 D．3或94、（參數(shù)引起的討論）已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(k,x)－1，k∈R.判斷函數(shù)f(x)是否存在極值，若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由．基本方法：1．已知極值求參數(shù)。若函數(shù)f(x)在點(x0，y0)處取得極值，則f′(x0)＝0，且在該點左、右兩側的導數(shù)值符號相反。2、對于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問題，一般要對方程f′(x)＝0的根的情況進行討論，分兩個層次討論．第一層次，討論在定義域內是否有根；第二層次，在有根的條件下，再討論根的大?。?、已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的策略列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0或極值列方程(組)，利用待定系數(shù)法求解驗證：因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證注意：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上存在極值點，則函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(a，b)內存在變號零點。類型三、求函數(shù)的最值基礎知識：函數(shù)的最值與導數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟為：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值?；绢}型：1．（多選）下列說法正確的是（）A．的最小值為1B．的最小值為1C．的最小值為1D．的最小值為12．已知函數(shù)，，若，，則的最大值為______________3．設函數(shù)，其圖象在點處的切線與直線垂直，導函數(shù)的最小值為（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．基本方法：求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調遞增或遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]內有極值，則要先求出函數(shù)在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)值點，此結論在導數(shù)的實際應用中經(jīng)常用到．注意：求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．類型五、含參的最值問題基本題型：1．（求參數(shù)的范圍）若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3)在區(qū)間(a，a＋3)內既存在最大值也存在最小值，則a的取值范圍是()A．(－3，－2) B．(－3，－1)C．(－2，－1) D．(－2,0)2．（參數(shù)引起的分類討論）設函數(shù).（1）若，求函數(shù)的遞減區(qū)間；（2）當時，記函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．3．（求參數(shù)的值）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)的最小值為，求參數(shù)a的值．類型五、函數(shù)極值與最值得交匯問題基本題型：1．（多選）已知函數(shù)，下列結論中正確的是（）A．函數(shù)在時，取得極小值B．對于，恒成立C．若，則D．若，對于恒成立，則的最大值為，的最小值為12．已知函數(shù)有極小值－6.（1）求的單調區(qū)間；（2）求的值；（3）求在[－3，4]上的最大值和最小值.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋bx＋c,ex)(a＞0)的導函數(shù)y＝f′(x)的兩個零點為－3和0.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為－e3，求f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值．新預測破高考1．函數(shù)在上的最小值為（）A． B． C．0 D．2．函數(shù)在內存在極值點，則（）A． B．C．或 D．或3、已知函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e24．函數(shù)在上的最大值是（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，5．設三次函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，函數(shù)y＝x·f′(x)的圖象的一部分如圖所示，則()A．f(x)的極大值為f(eq\r(3))，極小值為f(－eq\r(3))B．f(x)的極大值為f(－eq\r(3))，極小值為f(eq\r(3))C．f(x)的極大值為f(－3)，極小值為f(3)D．f(x)的極大值為f(3)，極小值為f(－3)6．如圖是函數(shù)的大致圖象，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（），，的最大值為3，最小值為，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)有且只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．（多選）材料：函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的復合所產(chǎn)生的，且能用一個解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)（），我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復合而成的，即（）為初等函數(shù)．根據(jù)以上材料，對于初等函數(shù)（）的說法正確的是（）A．無極小值 B．有極小值1 C．無極大值 D．有極大值10．（多選）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．函數(shù)有極小值也有最小值B．函數(shù)存在兩個不同的零點C．當時，恰有三個不相等的實根D．當時，的最大值為，則的最小值為11．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m∈[－1，1]，則f(m)的最小值為________.12．已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(m,x)(m<0