四邊形（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練

專題20四邊形

一、多邊形內(nèi)角與外角

【高頻考點(diǎn)精講】

1、多邊形內(nèi)角和等于("-2)780°,其中"23且”為整數(shù)。

(1)推導(dǎo)方法：從“邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，引出(?-3)條對(duì)角線，將“邊形分割為(w-2)個(gè)三角形，

則(?-2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和就是〃邊形的內(nèi)角和。

(2)思想方法：將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形。

2、多邊形外角和等于360°。

(1)多邊形的外角：每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則"邊形取〃個(gè)外角。

(2)推導(dǎo)方法：多邊形外角和=180°n-("-2)780°=360°。

(3)思想方法：鄰補(bǔ)角概念以及多邊形內(nèi)角和定理。

【熱點(diǎn)題型精練】

1.(2022?大連中考)六邊形內(nèi)角和的度數(shù)是()

A.180°B.360°C.540°D.720°

解：六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是(6-2)X18O0=720°.

答案:D

2.(2022?煙臺(tái)中考)一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,則這個(gè)正多邊形是()

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

解：?.?一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,

設(shè)這個(gè)外角是x°,則內(nèi)角是3一,

根據(jù)題意得：x+3x=18O,

解得：尤=45,

360°+45°=8(邊)，

答案:C.

3.(2022?河北中考)如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為a,

0,則正確的是()

A.a-p=0B.a-p<0

C.a-p>0D.無(wú)法比較a與0的大小

解：??,任意多邊形的外角和為360。，

???a=0=36O°.

.*.a-0=0.

答案:A.

4.（2022?南充中考）如圖，在正五邊形A3CDE中，以A3為邊向內(nèi)作正△A8R則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AE=AFB.ZEAF=ZCBFC.ZF=ZEAFD.ZC=ZE

解：在正五邊形A3C0E中內(nèi)角和：180°X3=540°,

ZC=ZD=ZE=ZEAB=ZABC=540°4-5=108°,

??D不符合題意；

以AB為邊向內(nèi)作正△A3R

AZFAB=ZABF=ZF=60°,AF=AB=FB,

*：AE=ABf

：.AE=AFfZEAF=ZFBC=48°,

???A、3不符合題意；

；./F7/EAF,

?,?C符合題意；

答案:C

5.（2022?眉山中考）一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的彳，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為11.

解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為“

2

根據(jù)題意可得：-x（n-2）x180°=360°,

解得：n=\\,

答案:n.

6.（2022?株洲中考）如圖所示，已知NMON=60°,正五邊形A8COE的頂點(diǎn)A、8在射線OM上，頂點(diǎn)E在射線

ON上，則乙4月上=48度.

瓦

OABM

解：：五邊形ABCDE是正五邊形,

.?./胡2=（5-2）180。=108。,

是△AE。的外角，

ZAEO^ZEAB-ZMON^108°-60°=48°,

答案：48.

7.（2022?遂寧中考）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)4尸分別在正方形的邊即/、GH上.若正方形BMG8

的邊長(zhǎng)為6,則正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4.

六邊形ABCDEF是正六邊形，

AZBAF=120°,

：.ZHAF=60°,

VZAHF=90°,

：.ZAFH=3Q°,

：.AF^2.AH,

.?x=2（6-%），

解得x=4,

：.AB=4,

即正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4,

答案：4.

8.（2022?攀枝花中考）同學(xué)們?cè)谔剿鳌岸噙呅蔚膬?nèi)角和”時(shí)，利用了“三角形的內(nèi)角和”.請(qǐng)你在不直接運(yùn)用結(jié)論

“〃邊形的內(nèi)角和為（"-2）780°”計(jì)算的條件下，利用“一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°”，結(jié)合圖形說(shuō)明：

五邊形A8CDE的內(nèi)角和為540°.

解：連接AD,AC,

二五邊形4BCDE的內(nèi)角和等于△AED,AADC,△ABC的內(nèi)角和,

，五邊形ABCOE的內(nèi)角和=180°X3=540°.

二、平行四邊形的性質(zhì)與判定

【高頻考點(diǎn)精講】

1、平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的對(duì)邊相等。

(2)平行四邊形的對(duì)角相等。

(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

(4)平行四邊形的面積

①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的乘積。

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等。

2、平行四邊形的判定

(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

【熱點(diǎn)題型精練】

9.(2022?朝陽(yáng)中考)將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，NEFG=90°ZEGF

60°,50°,則NEGC的度數(shù)為()

A.100°B.80°C.70°D.60°

解：?.?四邊形A8CO是平行四邊形，

C.AB//DC,

：.ZAEG=ZEGC,

NEFG=90°,NEGF=60°,

：.ZGEF=30°,

：.ZGEA=80°,

：.ZEGC=8Q°.

答案:B.

解：A、80°+110°#180°,故A選項(xiàng)不符合條件；

8、只有一組對(duì)邊平行不能確定是平行四邊形，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、不能判斷出任何一組對(duì)邊是平行的，故C選項(xiàng)不符合題意；

。、有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故。選項(xiàng)符合題意；

答案:D

11.（2022?益陽(yáng)中考）如圖，在13ABe。中，AB=8,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE=3,連接。E,過(guò)點(diǎn)C作B〃1）E,

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則的長(zhǎng)為（）

解：在團(tuán)ABC。中，AB=8,

：.CD=AB=8,AB//CD,

'：AE=3,

：.BE^AB-AE^5,

'JCF//DE,

四邊形DEFC是平行四邊形,

：.DC^EF=S,

:.BF=EF-BE=8-5=3.

答案:C.

12.（2022?無(wú)錫中考）如圖，在回ABC。中，AD=BD,ZA￡）C=105°,點(diǎn)￡在A。上，ZEBA^60°,則一的值

是（）

GB

解：如圖，過(guò)點(diǎn)3作于H,

HA

設(shè)

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC//AD,ZADC=ZABC=105°,

：.ZCBD=ZADB=x,

*：AD=BDf

"IOAO_y.

??./DBA=ZDAB=',

/.x=30°,

???NAO3=30°,ZDAB=75°,

'：BH.LAD,

:.BD=2BH,DH=V3BH,

u：ZEBA=60°,ZDAB=75°,

ZAEB=45°,

AZAEB=ZEBH=45°,

：?EH=BH,

：.DE=43BH-BH=（V3-1）BH,

\'AB=VBH2+AH2=\BH2+QBH-WBH）2=（V6-V2）BH^CD,

DEV2

CD2

答案:D

13.（2022?廣州中考）如圖，在團(tuán)ABC。中，AD=10,對(duì)角線AC與5。相交于點(diǎn)O,AC+BD=22,則△BOC的周

長(zhǎng)為21.

AD

//

----------

解：:四邊形ABC。是平行四邊形，

???AO=OC=%C,BO=OD=^BD,AD=BC=10,

???AC+3￡>=22,

0C+80=ll,

/\BOC的周長(zhǎng)=OC+OB+BC=11+10=21.

答案：21.

14.（2022?常德中考）如圖，已知尸是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)D//BC,FE//AB,若回2以￡的面積為2,BD=

1_

BE=jBC,則△ABC的面積是12.

解：連接QE,CD,

:四邊形BEE。為平行四邊形，團(tuán)8OFE的面積為2,

.1_

??SABDE=2s用3。尸￡"=1,

1

?：BE=：BC,

S&BDC=4SABDE=4,

1

?；BD=件，

??S/\ABC=3SNDC=12,

答案：12.

1

15.（2022?蘇州中考）如圖，在平行四邊形ABC。中，ABLAC,45=3,AC=4,分別以A,。為圓心，大于一AC

2

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N,過(guò)M,N兩點(diǎn)作直線，與8C交于點(diǎn)E,與交于點(diǎn)R連接AE,CF,

則四邊形AEC尸的周長(zhǎng)為10.

：.BC=VAB2+AC2=5,

由作圖可知，是線段AC的垂直平分線，

:?EC=EA,AF=CF,

：.ZEAC=ZACEf

VZB+ZACB=ZBAE+ZCAE=90°,

；?NB=NBAE,

：.AE=BE,

1

:.AE=CE=^BC=2.5,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD^BC=5,CD=AB=3,ZACD=ZBAC=90°,

同理證得AP=CF=2.5,

四邊形AECF的周長(zhǎng)uEC+EA+AF+CpulO,

答案:10.

16.(2022?無(wú)錫中考)如圖，在團(tuán)48。中，點(diǎn)。為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，斯過(guò)點(diǎn)。且分別交A3、DC于點(diǎn)E、F,

連接。E、BF.

求證：(1)ADOF沿ABOE；

：.OD=OB,

?；四邊形ABCD是平行四邊形,

：.DF//EB,

???ZDFE=NBEF,

在△QO尸和△80E中，

Z.DFO=乙BEO

乙DOF=乙BOE,

DO=BO

:?△DOF咨ABOE(AAS).

(2)〈△DOF之ABOE,

：?DF=EB,

■:DF//EB,

：.四邊形DFBE是平行四邊形，

：.DE=BF.

17.(2022?畢節(jié)中考)如圖1,在四邊形ABC0中，AC和5。相交于點(diǎn)O,AO=CO,ZBCA=ZCAD.

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)如圖2,E,F,G分別是50,CO,AO的中點(diǎn)，連接跖，GE,GF,若BD=2AB,BC=15,AC=16,求

△EFG的周長(zhǎng).

B

(1)證明：*：ZBCA=ZCAD,

：.AD//BC,

在△AO。與△COB中，

\LBCA=乙CAD

AO=CO,

Z-AOD=乙COB

：./\AOD^/\COB(ASA),

：.AD=BC,

J四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)解：連接DR

A-G

BJC

???四邊形ABCD是平行四邊形，

1

：.AD=BC=15,AB=CD,AD//BC,BD=2OD,OA=OC=趙C=8,

t：BD=2AB,

：.AB=OD,

：.DO^DC,

???點(diǎn)尸是。。的中點(diǎn)，

1

：.OF=^OC=4,DF±OC,

：.AF=OA+OF=12f

在RtZkAH)中，DF=y/AD2-AF2=V152-122=9,

???點(diǎn)G是A。的中點(diǎn)，ZAF￡>=90°,

1

：.DG=FG=^AD=7.5f

??,點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別是05,0。的中點(diǎn)，

???EF是△03。的中位線，

1

:.EF=^BC=75,EF//BC,

C.EF^DG,EF//AD,

四邊形GEFD是平行四邊形，

:.GE=DF=9,

：.A￡FG的周長(zhǎng)=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24,

...△EPG的周長(zhǎng)為24.

三、菱形的性質(zhì)與判定

【高頻考點(diǎn)精講】

1、菱形的性質(zhì)

(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

(2)菱形的四條邊都相等。

(3)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

(4)菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式。

②菱形面積(a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度)

2

2、菱形的判定

(1)四條邊都相等的四邊形是菱形。

(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

（4）對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形。

【熱點(diǎn)題型精練】

18.（2022?自貢中考）如圖，菱形ABC。對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)A（-2,5）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

C

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

解：???四邊形ABC。是菱形，

.\OA=OC,即點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

:點(diǎn)A（-2,5）,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2,-5）.

答案:B.

19.（2022?襄陽(yáng)中考）如圖，團(tuán)ABC。的對(duì)角線AC和8。相交于點(diǎn)。，下列說(shuō)法正確的是（）

B.若AC=BD,貝帆A8CZ）是菱形

C.若。4=。。，貝?。軪L48C￡）是菱形

D.若4C_LB。，貝!lEIABCD是菱形

解：A、：四邊形ABC。是平行四邊形,

'.OB=OD,故選項(xiàng)A不符合題意；

8、：四邊形ABC。是平行四邊形，AC=BD,

：.0ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意;

C、：四邊形ABC。是平行四邊形，

OA=OC=%C,OB=OD=^BD,

'：OA=OD,

：.AC=BD,

???^\ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、???四邊形A3CD是平行四邊形，AC±BDf

???團(tuán)ABC。是菱形，故選項(xiàng)。符合題意；

答案:D

20.（2022?淄博中考）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形A8C0中，E為AO邊的中點(diǎn)，連接CE交對(duì)角線3。于點(diǎn)?若/

DEF=NDFE,則這個(gè)菱形的面積為（）

A.16B.6V7C.12V7D.30

解：連接AC交3。于O,如圖，

：.AD//BCfCB=CD=AD=4fACLBD,BO=OD,OC=AO,

???E為AO邊的中點(diǎn)，

:?DE=2,

ZDEF=/DFE,

:.DF=DE=2,

?：DE〃BC,

：.NDEF=ZBCF,

?/ZDFE=/BFC,

：.ZBCF=ZBFC,

：.BF=BC=4,

：.BD=BF+DF=4+2=6,

???OB=OD=3,

在RtABOC中,OC=V42-32=V7,

：.AC=2OC=2y[7,

[i

菱形ABC。的面積=^AUBD=X2V7X6=6V7.

答案:B.

21.（2022?湘西州中考）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。A3于點(diǎn)"連接08,

0/7=4,若菱形ABCD的面積為32必，則CD的長(zhǎng)為（）

A.4B.4V3C.8D.8百

解：'JDHLAB,

：.ZBHD=90°,

?.?四邊形A8C。是菱形，

1

：?0B=0D,OC^OA=^AC,AC±BDf

：.OH=OB=OD=^BD(直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半)，

???0。=4,BD=8,

由34c.BD=32?得，

1L

-x8-XC=32g，

2

/.AC=8V3,

1

：.OC=^AC=4V3,

/.CD=yJOC2+0D2=8,

答案：C.

22.(2022?德州中考)如圖，線段A8,C￡)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(3,-1),C(3,2),D(-1,5),

且4B〃CZ),將CO平移至第一象限內(nèi)，得到C'D'(C,。'均在格點(diǎn)上).若四邊形ABC'D'是菱形,

解：如圖,

yM

i-----18-------1--r--11—「--i--

VA(-1,2),B(3,-1),C(3,2),D(-1,5),

：.AB//CD.AB=CD=5,

?.?四邊形ABC'D'是菱形，

：.AD'=AB=5,

當(dāng)點(diǎn)。向右平移4個(gè)單位，即。'(3,5)時(shí)，A。'=5,

當(dāng)點(diǎn)。向右平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，即￡>'(2,6)時(shí)，AD'=5,

答案：(3,5)或(2,6).

23.(2022?遼寧中考)如圖，C￡>是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC,BC的平行線，交BC于點(diǎn)E,交AC

于點(diǎn)尸.若/ACB=60°,C￡)=4V3,則四邊形CE/加的周長(zhǎng)是16.

解：連接EP交CD于。，如圖:

,JDE//AC,DF//BC,

/.四邊形CEDF是平行四邊形,

VCD是AABC的角平分線，

：.NFCD=NECD,

?:DE//AC,

.\ZFCD=ZCDE,

：?/ECD=NCDE,

；?CE=DE,

???四邊形CEO/是菱形，

：.CD.LEF,NECO=*AC8=30°,OC=^CD=2V3,

在RtaCOE中，

...四邊形CE/m的周長(zhǎng)是4cE=4X4=16,

答案：16.

24.（2022?哈爾濱中考）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在OB上，連接AE,點(diǎn)E為CD

的中點(diǎn)，連接若AE=BE,OE=3,。4=4,則線段OF的長(zhǎng)為2乘.

解：：四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AO=CO=4,BO=DO,

：.AE=7Ao2+E。2=-9+16=5,

：.BE=AE=5,

：.BO=S,

:.BC=7B02+C。2=764+16=4限

:點(diǎn)尸為CO的中點(diǎn)，BO=DO,

：.OF=1BC=2V5,

答案：2限

25.（2022?溫州中考）如圖，在菱形ABCD中，AB=\,ZBAD=60°.在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形AENH

和菱形CGMR使點(diǎn)E,F,G,H分別在邊AB,BC,CD,ZM上，點(diǎn)M,N在對(duì)角線AC上.若AE=3BE,則

MN的長(zhǎng)為—.

—2~

D

EF

B

解：連接。5交AC于點(diǎn)0,作于點(diǎn)/，作交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)如圖1所示,

???四邊形A3CD是菱形，ZBAD=60°,45=1,

：.AB=BC=CD=DA=lfZBAC=30°,ACLBD,

???△A3。是等邊三角形，

1

：?OD=W，

.\AO=y/AD2—DO2=卜2_(}2=監(jiān)，

：.AC=2AO=V3,

'：AE=3BE,

：.AE=I，BE=1,

,/菱形AENH和菱形CGMF大小相同，

i

：.BE=BF=4，/FBJ=60°,

：.FJ=BF-sin6Q°=Jx'=噂，

4Zo

:.MI=FJ=

維o,

....MI_V3

??AM=―si―n30=~Y1~=~4A~f

2

同理可得，CN=字，

:.MN=AC-AM-CN=遮-卓-卓=卓，

答案:三?

26.(2022?廣元中考)如圖，在四邊形A8CZ)中，AB//CD,AC平分NZMB,AB^ICD,E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE.

(1)求證：四邊形AECO為菱形；

(2)若/。=120°,DC=2,求△ABC的面積.

D

(1)證明：???￡為AB中點(diǎn),

：.AB=2AE=2BE,

9：AB=2CD,

：.CD=AE,

^：AE//CD,

???四邊形AECD是平行四邊形，

〈AC平分NZM3,

???ZDAC=ZEAC9

*：AB//CD,

：.ZDCA=ZCAB,

：.ZDCA=ZDAC,

：.AD=CDf

，平行四邊形是菱形；

(2):四邊形AECD是菱形，ZZ)=120°,

：.AD=CD=CE=AE=2,Z￡)=120°=NAEC,

:?AE=CE=BE,ZCEB=60°,

：.ZCAE=30°=ZACEfZkCEB是等邊三角形，

；?BE=BC=EC=2,ZB=60°,

AZACB=90°,

：.AC=V3BC=2V3,

-1[

.,.S^ABC=xACXBC=X2X2V3=2后

27.(2022?聊城中考)如圖，△ABC中，點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(7作。/〃A8,交。E的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：AD=CF；

(2)連接ARCD.如果點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形AOCP是菱形，證明你

的結(jié)論.

A

(1)證明：VCF//AB,

：.ZADF=ZCFD,ZDAC=ZFCA,

:點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

：.AE^CE,

：.AADE^ACFE(A4S),

：.AD=CF；

(2)解：當(dāng)ACLBC時(shí)，四邊形AOCF是菱形，證明如下：

由(1)知，AD^CF,

'JAD//CF,

四邊形ADCF是平行四邊形，

VAC±BC,

.,.△ABC是直角三角形，

:點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

1

：.CD=^AB=AD,

四邊形ADCB是菱形.

28.(2022?濱州中考)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10,ZABC=60°,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在對(duì)角

線上，連接AE,作/AEB=120°且邊所與直線。。相交于點(diǎn)?

(1)求菱形A8CD的面積；

(2)求證：AE=EF.

(1)解：作AGLBC交8c于點(diǎn)G,如圖所示,

?.?四邊形ABC。是菱形，邊長(zhǎng)為10,ZABC=60°,

.\BC=10,AG=AB,sin60。=10x苧=5后

二菱形ABCD的面積是：BC*AG=10X5V3=50>/3,

即菱形ABCD的面積是50V3；

(2)證明：連接EC,

.四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,

垂直平分AC,ZBC￡>=120°,

：.EA=EC,ZDCA=60°,

：.ZEAC=ZECA,ZACF=12Q°,

VZAEF=120°,

：.ZEAC+ZEFC^360°-ZAEF-ZACF^360°-120°-120°=120°

,：ZECA+ZECF=nO°,

：.ZEFC=ZECF,

；.EC=EF,

C.AE^EF.

四、矩形的性質(zhì)與判定

【高頻考點(diǎn)精講】

1、矩形的性質(zhì)

(1)矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。

(2)矩形的四個(gè)角都是直角。

(3)矩形的鄰邊垂直。

(4)矩形的對(duì)角線相等。

2、矩形的判定

(1)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

(2)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；

(3)有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形；

（4）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

【熱點(diǎn)題型精練】

29.（2022?日照中考）如圖，矩形ABC。為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底

面與水平面的夾角為27°時(shí)，/AED的大小為（）

A.27°B.53°C.57°D.63°

解：如圖，

,:AE〃BF,

：.ZEAB=ZABF,

:四邊形ABC。是矩形，

J.AB//CD,ZABC=90°,

：.ZABF+210=90°,

ZABF=er,

/.ZEAB=63°,

'：AB//CD,

:./AED=NEAB=63°.

答案:D

30.（2022?恩施州中考）如圖，在四邊形ABCQ中，ZA=ZB=90°,AD=l0cm,8c=8c機(jī)，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā),

以lcm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（單位：s）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)t=4s時(shí)，四邊形A2MP為矩形

B.當(dāng)t=5s時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形

C.當(dāng)CD=PM時(shí)，t=4s

D.當(dāng)CO=PM時(shí)，r=4s或6s

解：根據(jù)題意，KTWDP=tcm,BM—tcm,

AD=\Ocm,BC=Scm,

,'.AP=(10-Z)cm,CM=(8-r)cm,

當(dāng)四邊形A8MP為矩形時(shí)，AP=BM,

即10-t—t,

解得t=5,

故A選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)四邊形CDPM為平行四邊形，DP=CM,

即f=8-f,

解得f=4,

故8選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)CO=PM時(shí)，分兩種情況：

①四邊形CDRW是平行四邊形，

此時(shí)CM=PD,

BP8-t—t,

解得t=4,

②四邊形CDPM是等腰梯形，

過(guò)點(diǎn)/作MGLAO于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CHLAD于點(diǎn)”，如圖所示:

:PM=CD,GM=HC,

:.叢MGPmACHD(HL),

:.GP=HD,

"：AG=AP+GP=10-t+—尸)

又,：BM=t,

...10-什匕9=3

解得t=6,

綜上，當(dāng)CD=PM時(shí)，t=4s或6s,

故C選項(xiàng)不符合題意，。選項(xiàng)符合題意，

答案:D

31.（2022?泰安中考）如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=3,8C=4,點(diǎn)尸是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP

上一點(diǎn)，/ADM=NBAP,則的最小值為（）

512—

A.—B.—C.V13—D.713-2

25

解：如圖，取AD的中點(diǎn)。，連接02,OM.

：.ZBAD^90°,AD=2C=4,

ZBAP+ZDAM^9Q°,

??ZADM=NBAP,

：.ZADM+ZDAM=90a,

：.ZAMD=90°,

；4。=?！?=2,

1

工OM=加)=2,

...點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，2為半徑的OO.

OB=yjAB2+A02=V32+22=V13,

-OM=V13-2,

...BM的最小值為舊-2.

答案:D

32.（2022?十堰中考）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡AF,

AG分別架在墻體的點(diǎn)B,C處，且AB=AC,側(cè)面四邊形BDEC為矩形.若測(cè)得NEBO=55°，則乙4=110

解：：四邊形BDEC為矩形，

：.ZDBC=9Q°,

■:/FBD=55°,

/.ZABC=180°-NDBC-NFBD=35°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=35°,

—180°-AABC-ZACB=110°,

答案：U0.

33.（2022?吉林中考）如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是邊A。的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在對(duì)角線

AC上，MAF=|AC,連接若AC=10,貝I

解：在矩形ABCD中，AO=OC=%C,AC=BD=1Q,

|AC,

：.AF^%。，

點(diǎn)尸為AO中點(diǎn),

又：點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，

:.EF為4AOD的中位線，

115

：.EF=^OD=^BD=|.

答案:j.

34.（2022?宜昌中考）如圖，在矩形A2CD中，E是邊A。上一點(diǎn)，F(xiàn),G分別是BE,CE的中點(diǎn)，連接AF,DG,

FG,若AF=3,DG=4,FG=5,矩形A8CD的面積為48.

解：?..四邊形ABC。是矩形，

：.NBAE=NCDE=90°,AD//BC,

"：F,G分別是BE,CE的中點(diǎn)，AF=3,0G=4,FG=5,

，BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2BG=10,

：.BE1+CE1=BC2,

...△BCE是直角三角形，NBEC=9Q°,

11

?"△BCE=2，BE-CE=2X6X8=24,

,:AD〃BC,

S矩形ABCD=2SABCE=2X24=48,

答案：48.

35.（2022?鄂州中考）如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,且/CD尸=N8OC、ZDCF=ZACD.

（1）求證：DF=CF；

(2)若NCD尸=60°,DF=6,求矩形ABC￡)的面積.

(1)證明：?.?四邊形ABCO是矩形,

/.oc=|AC,OD=^BD,AC=BD,

：.OC=OD,

：.ZACD=ZBDC,

'：ZCDF=ZBDC,ZDCF=ZACD,

：.ZCDF=ZDCF,

：.DF=CF；

(2)解：由(1)可知，DF=CF,

,：ZCDF=60°,

.?.△CO尸是等邊三角形，

：.CD=DF=6,

"：ZCDF=ZBDC=60°,OC=OD,

...△0C￡＞是等邊三角形，

：.OC=OD=6,

：.BD=2OD=n,

?四邊形ABC。是矩形，

：.ZBCD=9Q°,

：.BC=yjBD2-CD2=V122-62=673,

矩形ABCD=BC?CD=6V^X6=36V3.

36.(2022?云南中考)如圖，在平行四邊形4BCD中，連接80,￡為線段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE與C。的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)R連接ARNBDF=90；

(1)求證：四邊形43。尸是矩形；

(2)若AZ)=5,DF=3,求四邊形A8CF的面積S.

(1)證明：?.,四邊形4BCD是平行四邊形,

J.BA//CD,

：.NBAE=ZFDE,

:點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

在△BEA和△FED中，

\LBAE=乙FDE

AE^DE,

Z-BEA=乙FED

：.ABEA^/\FED(ASA),

：.EF=EB,

又〈AE=DE,

...四邊形ABDF是平行四邊形，

VZBDF=90°.

...四邊形/是矩形；

(2)解：由(1)得四邊形A8DP是矩形，

/.ZAFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,

'.AF=y/AD2—DF2=V52-32=4,

?,?5矩形48。尸=。尸?4尸=3*4=12,BD—AF=4,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.CD=AB=3,

11

，S&BCD=]BD?CD=2x4X3=6,

/.四邊形ABCF的面積S=S^ABDF+S^BCD=12+6=18,

答：四邊形ABCF的面積S為18.

五、正方形的性質(zhì)與判定

【高頻考點(diǎn)精講】

1、正方形的性質(zhì)

(1)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。

(2)正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

(3)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。

2、正方形的判定

(1)對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。

(2)鄰邊相等且有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形。

(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

(4)有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形。

(5)對(duì)角線相等的菱形是正方形。

(6)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

【熱點(diǎn)題型精練】

37.(2022?黃石中考)如圖，正方形0A8C的邊長(zhǎng)為迎，將正方形OA8C繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)8的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為()

B|---------------C

AO

A.(-V2,0)B.(V2,0)C.(0,V2)D.(0,2)

解：如圖，連接。8,

Bp；—C

、、

—I---------

AOx

:正方形OABC的邊長(zhǎng)為迎，

：.OC^BC=V2,NBCO=90°,/3OC=45°,

OB=<OC2+BC2=J(V2)2+(V2)2=2,

..?將正方形0ABe繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到Bi的位置,

...Bi在y軸正半軸上，且。囪=。2=2,

...點(diǎn)81的坐標(biāo)為(0,2),

答案:。.

38.(2022?泰州中考)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2,E為與點(diǎn)。不重合的動(dòng)點(diǎn)，以。E為一邊作正方形DEFG.設(shè)

DE=di,點(diǎn)、F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3,則di+d2+曲的最小值為(

C.2V2D.4

二?四邊形QEFG是正方形,

AZ￡￡)G=90°,EF=DE=DG,

:四邊形A2C。是正方形,

:.AD=CD,ZADC=90°,

ZADE=ZCDG,

:.AADE學(xué)ACDG(SAS),

：.AE=CG,

d\+di+d?)=EF+CF^AEf

???點(diǎn)A,E,F,C在同一條線上時(shí)，EF+CF+AE最小,即力+山+出最小,

連接AC,

，力+小+由最小值為AC,

在RtZ\A3C中，AC=V2AB=2V2,

.??di+d2+d3最小=AC=2或,

答案:C

39.（2022?重慶中考）如圖，在正方形A3CQ中，AE平分NBAC交5。于點(diǎn)E,點(diǎn)方是邊A3上一點(diǎn)，連接。咒

BE=AF,則NCD/的度數(shù)為（）

A

F

B

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

解：???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=BAfZDAF=ZABE=90°,

在△￡>?!尸和△ABE中，

AD=BA

Z.DAF=Z.ABE,

AF=BE

△DAF^AABE（SAS）,

ZADF=NBAE,

平分/BAC,四邊形A8C￡）是正方形，

：.ZBAE=^ZBAC=22.5°,ZADC=90°,

ZADF=22.5°,

：.ZCDF^ZADC-ZADF=90°-22.5°=67.5°,

答案:C.

40.（2022?江西中考）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖所示）,

則長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為—花

解：根據(jù)圖形可知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是正方形的對(duì)角線為2,

長(zhǎng)方形的寬是正方形對(duì)角線的一半為1,

則長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)="T斗=V5.

答案:遮.

41.（2022?海南中考）如圖，正方形中，點(diǎn)￡、P分別在邊BC、C。上，AE^AF,/EA尸=30°,^\ZAEB

=60°；若的面積等于1,則48的值是_百_.

解：：四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=ZB=Z￡>=90°.

在RtAABE和RtAADF中,

(AB=AD

iAE=AF'

.?.RtAABE^RtAADF(HL).

：.ZBAE=ZDAF.

1

ZBAE=J(ZBAD-/EAF)

=?(90°-30°)

=30°.

AZAEB=60°.

答案：60.

過(guò)點(diǎn)尸作尸GLAE,垂足為G.

VsinZEAF=麗，

：.FG=sinZEAFXAF.

11

SMEF=方XAEXFG=3xAEXAFXsinZEAF=1,

：-xAE2Xsin30°=1.

2

11

即一xAE?0x4=1.

22

：.AE=2.

在RtZsABE中，

?：cosZBAE=^,

；.AB=cos30°XAE

=梟2

=V3.

答案：V5.

42.（2022?益陽(yáng)中考）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形A8CD沿