中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股數(shù)模型

專題1.1勾股數(shù)模型

1.如圖，在RtABOD中，分別以3D,0D,80為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別為每，

S2,S3,若E=40,星=18，貝!I邑=()

C.22D.24

【解答】解：?.?/0。8=90。，

BO2+DO2=DB2,

2

1BD2?！鯞D

???S]=一??(—y=—

1228

1OD27tOD-

2228

v_1(OB.71-OB-

3228

222

S2+S3=-(OD+BO)=-BD=S3,

88

即s2+s3=st.

?.?S]=40,$3=18,

=40-18=22,

故選；C.

2.如圖①，在AA8C中，ZACB=90°,AC:BC=4:3,這個(gè)直角三角形三邊上分別有一

個(gè)正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊之比為4:3的直角三角形，

再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形.圖②是1次操作后的圖形，圖③是

2次操作后的圖形.如果圖①中的直角三角形的周長(zhǎng)為12,那么10次操作后的圖形中所有

正方形的面積和為（

A.225B.250C.275D.300

【解答】解：設(shè)NC=4x,則5C=3x,

由勾股定理得：AB=ylAC2+BC2=5X,

???A45C的周長(zhǎng)為12,

3x+4x+5x=12,

解得：x=1,

:.AC=4,BC=3,AB=5,

第1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+52=25+50,

第2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+32+42+52=25x2+50,

第3次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：

32+42+32+42+32+42+32+42+52=25x3+50,

第10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：25x10+50=300,

故選：D.

3.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S4=20,邑=16,

%=12,%=6,貝IJS=()

B

A

C.48D.36

根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知:

s=sF+sG

=sA+sB^sc^sD

=20+16+12+6=54；

即S=54；

故選：A.

4.如圖，以RtAABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若AB=?,則圖中陰

影部分的面積為（）

A.3B.-C.372D.375

2

【解答】解：由勾股定理得：BC°+AC?=AB。=(后=3,

貝U$陰影部分=+^AC2+＞爐=1(^C2+AC2+AB2)=3,

故選：A.

5.如圖，RtAABC中，ZCAB=90°,以/C、為邊分別作等邊三角形ZUCE、AABF,

AACE、zUAF的面積分別為E、S2，若3c2=8。，那么5+邑=()

A.2GB.473C.6D.12

【解答】解：過點(diǎn)尸作ED,48,如圖，

VA48廠是等邊三角形，

AD=-AB,AF=AB,

2

DF=^AF2-AD2=^AB2-(^AB)2=^AB,

■：AABF的面積為S2,

-ABDF=S,,

22

整理得：AB2=—S,,

3

同理可求/。2=述$

3

VNCAB=90°,BC2=873,

AB2+AC2=BC2,

/.—S+—^=873,

3231

解得：￡+邑=6.

故選：c.

6.有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，

其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，變成了如圖，如果

繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你計(jì)算出“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中

所有正方形的面積之和為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【解答】解：由題意得，正方形N的面積為1,

由勾股定理得，正方形8的面積+正方形C的面積=1,

...“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2023.

故選：D.

7.如圖是一棵勾股樹,它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形/、2、C、。的邊

長(zhǎng)分別是4、5、3、4,則最大正方形E的面積是()

B.16C.32D.23

根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得4、8的面積和為C、。的面積和為邑,

22

4=42+52,52=3+4,

于是邑=H+其，

即可得$3=16+25+9+16=66.

故選：A.

8.如圖，在四邊形48c。中，NDAB=/BCD=90°,分別以四邊形的四條邊為邊向外作四

個(gè)正方形，若E+S4=135,S3=49,貝IS?=()

S3\C

SiS2

Si

A.184B.86C.119D.81

222

【解答】解：由題意可知：H=4g2,S2^BC,S3=CD,S4=AD,

連接8D,在直角A48。和A5CD中，

BD2=AD2+AB2=CD2+BC2,

即4+$4=&+S，

因此星=135-49=86，

故選：B.

9.如圖，RtAABC中，ZBAC=90°,分別以邊48,CA,8C向外作正方形，正方形田

的面積為25,正方形8DEC的面積為169,則正方形NCFG的面積是（)

144C.122D.110

【解答】解：在RtAABC中,ABAC=90°,

AB1+AC2=BC1,

?/正方形ABIH的面積為25,正方形8DEC的面積為169,

AB1=25,SC2=169,

AC2=BC2-AB2=169-25=144,

正方形ACFG的面積=AC2=144,

故選：B.

10.如圖，三個(gè)正方形圍成一個(gè)直角三角形，圖中的數(shù)據(jù)是它們的面積,則正方形/的面

積為（）

A.36B.64C.28D.100

【解答】解：根據(jù)正方形的面積與邊長(zhǎng)的平方的關(guān)系得，圖中面積為64和36的正方形的邊

長(zhǎng)是8和6；

解圖中直角三角形得/正方形的邊長(zhǎng)：A/62+82=10,所以《正方形的面積為100.

故選：D.

11.如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7,則正方形N、

B、C、D的面積之和為49.

【解答】解：如圖，設(shè)正方形/,B,C,D,E,尸的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d,e,

f，

?.?該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成,

.?.由勾股定理可得/+/=e2,c2+d2=f2,e2+f2=l2,

a2+b2+c2+d2=I2=49,

二.正方形/、B、C、。的面積之和為49,

故答案為：49.

12.如圖，以正方形488的邊/D為直徑作一個(gè)半圓，點(diǎn)M是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以

線段NM、。河為邊各自向外作一個(gè)正方形，其面積分別為H和邑，若正方形的面積為10,

C.等于10D.不確定

【解答】解：???/5為半圓的直徑,

/AMD=90°,

AM-+DM2=AD2=10,

22

VSt=AM,S2=DM,

Sj+S2=10.

故選：C.

13.勾股定理是中國幾何的根源，中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等技藝的

誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關(guān)系，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)如

下圖形：在A48c中，ZACB=90°,圖中以45、BC、NC為邊的四邊形都是正方形，并

且經(jīng)測(cè)量得到三個(gè)正方形的面積分別為225、400、S,則S的值為（）

【解答】解：在zUBC中，ZACB=90°,

由勾股定理得：AC-+BC2=AB2,

225+400=5,

:.S=625.

故選：D.

14.正方形N8CD的邊長(zhǎng)為1,其面積記為岳，以CO為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰

直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為邑，…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則$2022

的值為（）

&\

S1

上1---------------------b

A.（產(chǎn)B.（"C.孑產(chǎn)D.（.嚴(yán)

【解答】解：在圖中標(biāo)上字母E,如圖所示.

S1

---------------------1?

?.?正方形的邊長(zhǎng)為1,ACDE為等腰直角三角形,

DE1+CE2=CD2,DE=CE,

S2+S2=Sx.

—5)=—

觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S]=f=l,S2=,S3=—S2=—JS4=—S3=—f

1222324428

202212021

當(dāng)n=2022時(shí)，S2022=(j)-=(1).

故選：B.

15.A48C中，ZACB=90°,則三個(gè)半圓的面積關(guān)系是()

C.S]+S2<S3D.s；+s；=s；

【解答】解：根據(jù)題意可知，三個(gè)半圓的直徑分別為/C、BC、AB,

22

:.St=-^(-AC)=-AC,

228

S=-^(-BC)2=-BC2,

2228

S=-7T(-AB)2=-AB-,

3228

■：AACB=90°,

AC2+BC2=AB2,

:.S,+S,=-AC2+-BC2=-(AC2+BC2)=-AB2,

128888

St+S2=S3,

故選：B.

16.有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，

其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，變成了如圖，如果

繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2020次后形成的圖形中所

有的正方形的面積和是（）

A.1B.2021C.2020D.2019

【解答】解：由題意得，正方形4的面積為1,

由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=1,

“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

“生長(zhǎng)”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2021,

故選：B.

17.如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形/、8、

。的面積依次為6、10、24,則正方形C的面積為（）

【解答】解：由題意：S正方物+S正方形B=S正方形E，S正方形。一S正方形。=S正方形片‘

C

B

L/D

S正方畛+S正方形B-S正方形D-S正方形c

?.?正方形/、B、D的面積依次為6、10、24,

r.24-S正方形c=6+1°，

S正方形c=8-

故選：C.

18.如圖，分別以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作等邊三角形，面積分別記為S2、邑，

則Sr工、邑之間的關(guān)系是（）

A.S；+s；=s；B.Sx+S2>S}C.S+S2Vs3D.S{+S2=S3

【解答】解：設(shè)直角三角形的三邊從小到大是a,b,c.

222

貝US,=^-b,S2=^-a,S3=^-c.

142434

又/+/=/,

則E+邑=$3.

故選：D.

19.如圖，所有的四邊