湖南省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

本試題卷共4頁(yè).時(shí)量120分鐘，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,已知集合A={NV*0}l=》爐…2<0},則AC5=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】由因式分解分別求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的運(yùn)算得出兩個(gè)集合的交集。

【詳解】Vx3-x=x(x+l)(x-l)=0

/.A={-1,0,1}

%2—x—2=(x—2)(x+l)<0

.??5=(-1,2)

.,.AnB={0,l}

故選：A

2.已知加，”是兩條不同的直線，。，分是兩個(gè)不同的平面，則機(jī)〃a的一個(gè)充分條件是()

A.m//n,n//aB.m///3,a//夕

C.m1.n,naD.mc\n=A,n//

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由空間中線面關(guān)系以及線面平行的判定定理逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,由機(jī)〃a可得加ua或加〃a,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由加〃萬(wàn),a〃夕可得mua或加〃a,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由771，〃,“_1_名加a?？傻眉印?。，故C正確；

對(duì)于D,由mc〃=A,”〃可得774a相交或用〃a,故D錯(cuò)誤；

故選：C

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(

A.第673項(xiàng)B.第674項(xiàng)

C.第675項(xiàng)D.第676項(xiàng)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】由二項(xiàng)式的展開式為乙=Co25(石產(chǎn)5T(--)「=(-2)，C0251丁

675

令2025-3r=0,解得廠=675,止匕時(shí)T616=(-2).C意，

/八2025

所以二項(xiàng)式標(biāo)-』的展開式的常數(shù)項(xiàng)為第676項(xiàng).

故選：D.

4.銅鼓是流行于中國(guó)古代南方一些少數(shù)民族地區(qū)的禮樂(lè)器物，已有數(shù)千年歷史，是作為祭祀器具和打擊樂(lè)

器使用的.如圖，用青銅打造的實(shí)心銅鼓可看作由兩個(gè)具有公共底面的相同圓臺(tái)構(gòu)成，上下底面的半徑均為

25cm,公共底面的半徑為15cm,銅鼓總高度為30cm.已知青銅的密度約為gg/cm?,現(xiàn)有青銅材料

1000kg,則最多可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為()(注：71^3.14)

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算求解銅鼓的體積，然后根據(jù)材料體積求解即可.

【詳解】依題意圓臺(tái)的上底面半徑為15cm,下底面半徑為25cm,高為15cm,

所以銅鼓的體積V=2x1x（152+252+15x25）7ixl5工38465（cm3）,

又1000000工3.25,故可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為3.

38465x8

故選：C

5.己知定義在（0,+“）上的函數(shù)八％）滿足〃x）＜x（r（x）—1）（/'（X）為/（%）的導(dǎo)函數(shù)），且

/（1）=0,則（）

A./（2）＜2B./（2）＞2

C./（3）＜3D./（3）＞3

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得令g（x）=/@—Inx,可得g（x）在（0,+s）上單調(diào)遞增，進(jìn)而

XXX

可得/（3）＞31n3,/（2）＞21n2,可得結(jié)論.

【詳解】由題意可得靖（力―/（%）＞x,即：叫/（#〉L

XX

令g（x）=/fcLlnx,則g，（耳/‘叫/（”_.〉0,

所以g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，因?yàn)?⑴=0,所以g⑴=/'⑴—lnl=0,

所以g（3）＞g（l）=0,所以勺1—in3〉0,所以〃3）＞31n3＞3,

所以g（2）＞g⑴=0,所以qi—in2〉0,所以〃2）＞21n2,

又21n2＜2,故"2）與2的大小關(guān)系不確定.

故選：D.

6.已知過(guò)拋物線。：丫2=2°武0＞0）的焦點(diǎn)尸且傾斜角為7的直線交。于43兩點(diǎn)，"是A3的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸是C上一點(diǎn)，若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,直線/:3x+2y+3=0,則P到C的準(zhǔn)線的距離與尸到/的

距離之和的最小值為（）

A3疝口5^/13「3而n9713

A.-----D.-----C.-----D.-------------

26261326

【答案】D

【解析】

【分析】首先聯(lián)立A3與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達(dá)定理求得P,進(jìn)一步通過(guò)拋物線定義、三角形三邊

關(guān)系即可求解，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.

【詳解】由題得。的焦點(diǎn)為設(shè)傾斜角為]的直線A3的方程為丁=*"，

與C的方程/=2px（聯(lián)立得J—2py—°2=o,

設(shè)40i，yi）,B（X2，y2），則%+%=22=2,2=1,故C的方程為V=2x,b[g,0）.

由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)尸到焦點(diǎn)F的距離，

聯(lián)立拋物線C:丁=2x與直線/:3x+2y+3=0,化簡(jiǎn)得9/+io%+9=0,

由△=100—4x9x9=—224<0得C與/相離.

Q,S,R分別是過(guò)點(diǎn)p向準(zhǔn)線、直線/:3x+2y+3=0以及過(guò)點(diǎn)F向直線/：3x+2y+3=0引垂線的垂

足，連接FP,bS,

所以點(diǎn)P到C的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)P到直線I的距離之和|Pe|+|PS|=|PF|+|PS|>\FS\習(xí)ER|,等號(hào)成立當(dāng)

且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段用與拋物線的交點(diǎn)，

所以P到C的準(zhǔn)線的距離與P至!]/的距離之和的最小值為點(diǎn)/[）,0卜直線/：3x+2y+3=0的距離，即

3x-+0+3

\FR\=29屈.

'1A/32+2226

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)=2sin(s+0)69>0,|^|<^-j,對(duì)于任意的x《R,

/（X）+/=0都恒成立，且函數(shù)〃龍）在-已0上單調(diào)遞增，則0的值為（）

A.3B.9C.3或9D.73

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性先確定周期的取值范圍，從而縮小。的取值范圍，結(jié)合正弦型三角函數(shù)

的對(duì)稱性可得符合的3的取值為0=3或9,分類討論驗(yàn)證單調(diào)性即可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)函數(shù)/（x）的最小正周期為丁，因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在-2,0上單調(diào)遞增，所以

T2

,得—=TN—,因此0v69410.

2口5

由/+=—xj知/（X）的圖象關(guān)于直線犬=^|對(duì)稱，則。^|+夕=%1兀+］，%eZ①.

由/（%）+/《—％）=。知/（X）圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則0方+夕=42兀&￡Z②.

JTJT

②一①得?不二（42一勺）兀一5，尤，左2￡Z,令人二心一左1，則幻=6左一3,左wZ,

結(jié)合0vG<10可得G=3或9.

當(dāng)0=3時(shí)，代入①得夕=（+左兀,6eZ,又M<5,所以夕=：，

此時(shí)/(x)=2sin〔3x+：］,因?yàn)椤?lt;3x+：<?故“X）在$,0上單調(diào)遞增，符合題意;

當(dāng)。=9時(shí)，代入①得9=---1-k^n,左1eZ,又倒<為，所以夕=—了,

424

此時(shí)/（x）=2sin（9x—：）,因?yàn)橐籧兀兀

<9x—<—

2044

故/(%)在［-彳,。)上不是單調(diào)遞增的，所以0=9不符合題意，應(yīng)舍去.

綜上，。的值為3.

故選：A.

8.如圖，已知長(zhǎng)方體ABC?！狝B'C'D'中，AB=BC=2,44=后，。為正方形A3CD的中心點(diǎn)，

將長(zhǎng)方體A3CD-AB'C'。'繞直線0。'進(jìn)行旋轉(zhuǎn).若平面a滿足直線0/7與a所成的角為53°,直線

43

/_La,則旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線AB與/夾角的正弦值的最小值為()(參考數(shù)據(jù)：sin53°?j,cos53°?-)

4布-3036—4小373+3「473+3

AA.-------------B.-------------C.-------------D.-------

10101010

【答案】A

【解析】

【分析】求出直線O。'與C'D'的夾角，可得C'。'繞直線0。'旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，求直線與/的夾角,

結(jié)合圖形可知，當(dāng)/與直線ZZE平行時(shí)，C'。'與/的夾角最小，利用三角函數(shù)知識(shí)求解即可.

【詳解】在長(zhǎng)方體ABC。—ABC'。'中，AB//CD',則直線AB與/的夾角等于直線C'。'與/的夾角.

長(zhǎng)方體ABCD—ABC'。'中，AB=BC=2,A4'=也，。為正方形ABCD的中心點(diǎn)，

(J22+22Y7/-\2

則OD'=OC'=----------+(72)=2.又C'D'=2,

所以△OC'D是等邊三角形，故直線OD'與CD的夾角為60。.

則C'。'繞直線0。'旋轉(zhuǎn)軌跡為圓錐，如圖所示，ZCD'O=60°.

因?yàn)橹本€0。'與a所成的角為53°,l±a,所以直線。。'與/的夾角為37。.

在平面C'D'O中，作Z7石，D'F,使得NODE=NOD'F=37°.

結(jié)合圖形可知，當(dāng)/與直線曾'石平行時(shí)，C'。'與/的夾角最小，為NC'DE=60°—37°=23°,

易知ZCD'F=60°+37°=97°.

設(shè)直線C'。'與/的夾角為。，則23。＜。＜90。，故當(dāng)。=23。時(shí)sin。最小，

而sin23°=sin（60°-37°）=sin60°cos370-cos60°sin37°

=sin60°sin530-cos60°cos53°?撞二2,

10

故直線AB與l的夾角的正弦值的最小值為

10

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題中在平面C'D'O中，作曾E,D'F,使得NOD'E=NODE=37°,結(jié)合圖形

可知，當(dāng)/與直線ZZE平行時(shí)，C'。'與/的夾角最小，為NC'DE=60°—37°=23°是關(guān)鍵.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)研究所為推進(jìn)對(duì)機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立A3兩個(gè)小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同

方向的研發(fā)，A組偏向于智能自動(dòng)化方向，5組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法各抽

取6臺(tái)進(jìn)行性能指標(biāo)測(cè)試（滿分：100分），測(cè)得A組性能得分為：91,81,82,96,89,73,8組性能得分

為：73,70,96,79,94,88,則（）

A.A組性能得分的平均數(shù)比B組性能得分的平均數(shù)高

B.A組性能得分的中位數(shù)比B組性能得分的中位數(shù)小

C.A組性能得分的極差比3組性能得分的極差大

D.B組性能得分的第75百分位數(shù)比A組性能得分的平均數(shù)大

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)計(jì)算公式分別計(jì)算A3兩個(gè)小組的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、第75百分位數(shù)，再對(duì)各選項(xiàng)逐一

判斷即可.

【詳解】由題意可得A組性能得分的平均數(shù)為-------------------------85.3，

6

73+70+96+79+94+88

3組性能得分的平均數(shù)為-83.3,

6

所以A組性能得分的平均數(shù)比3組性能得分的平均數(shù)高，A說(shuō)法正確;

QO-L20

A組性能得分73,81,82,89,91,96的中位數(shù)為-------=85.5,

2

B組性能得分70,73,79,88,94,96的中位數(shù)為-------=83.5,

2

所以A組性能得分的中位數(shù)比3組性能得分的中位數(shù)大，B說(shuō)法錯(cuò)誤；

A組性能得分的極差為96-73=23,B組性能得分的極差為96-70=26，

所以A組性能得分的極差比B組性能得分的極差小，C說(shuō)法錯(cuò)誤；

B組性能得分70,73,79,88,94,96共6個(gè)數(shù)據(jù)，6x0.75=4.5，

所以3組性能得分的第75百分位數(shù)為94,比A組性能得分的平均數(shù)大，D說(shuō)法正確；

故選：AD

10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的莖或根上，使接在

一起的兩個(gè)部分長(zhǎng)成一個(gè)完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過(guò)利用刀具進(jìn)行斜辟，形成兩個(gè)橢圓形截

面，如圖所示，其中AC,3。分別為兩個(gè)截面橢圓的長(zhǎng)軸，且A,C,瓦。都位于圓柱的同一個(gè)軸截面上，

AO是圓柱截面圓的一條直徑，設(shè)上、下兩個(gè)截面橢圓的離心率分別為02’則能夠保證|。戶

的的值可以是（）

1

R正

B6丁丁

C」『叵4a

2734

【答案】AD

【解析】

1

-1

1r21r2J

【分析】根據(jù)勾股定理，結(jié)合離心率公式可得F—l=r，F(xiàn)—1=F，即可根據(jù)〃得T—>2,

e；n~紜m~，-1

e；

逐一代入即可求解.

【詳解】設(shè)AD=2r,AB=2m,CD=2〃,且力之后加，

故§￡)=ylAB2+AD2=2-Jm2+r2,AC=y]CD2+AD2=2，川+產(chǎn),

AC=&+/，%=前=7m2十戶

222

eFne

由于〃272m，故〃2>2m2，故二節(jié)-二版>2,即-j>2，

--------1-------------1

e；n2e；

對(duì)于A，G=g,e2g滿足與

=2>2,故A正確,

21

對(duì)于B,e、，,e,=叵,1一=|<2,故B錯(cuò)誤,

1225J3

e\

“工DA/3,40%_27+后「出、口

對(duì)于B,=〒，1—=而2,故C錮厭,

7一1

ei

對(duì)于D,e,=—,e2=—，-7一=(>2,故D正確,

34112

~2~[

e\

故選：AD

II.對(duì)于任意實(shí)數(shù)無(wú),孔定義運(yùn)算“十"％十y=|x—y|+x+y,則滿足條件。十〃=力十c的實(shí)數(shù)a,dc的值

可能為（）

A.a=-log050.3,人=0.4°3,c=log050.4

B.0=0.4%/?=log050.4,c=-log050.3

C.ci=0.09,b=-7T-j-,c=In—

e019

D.4=學(xué)，z?=ln—,c=0.09

e019

【答案】BD

【解析】

【分析】由a十八力十c,可得|a—4+a+A=|〃-c|+A+c,可得bNa,bNc,故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的

6是否為最大值即可，利用函數(shù)函數(shù)y=logo$x為減函數(shù)，y=0.4,為減函數(shù)可判斷AB；構(gòu)造函數(shù)

A1y

〃x）=（l—x）eX,xe[0,l）,利用單調(diào)性可得0.09<F，進(jìn)而再構(gòu)造函數(shù)人（同==+皿1—%）,年[0,1）,

ec

求導(dǎo)可得〃（x）=（；；:;,再構(gòu)造函數(shù)o（x）=（l—e"利用單調(diào)性可判斷CD.

【詳解】由a十/?=）十c,可得,一4+a+Z?=c|+Z?+c,BP|tz—Z?|—|Z?—c|=c—ci,

若aWb,cWb,可得,一百一|〃一c|=c-a,符合題意，

若aWb,c>b,可得|a—4一我一c|=2/?—a-c,不符合題意，

若a>b,cWb,可得,一百一尼一4=a-c,不符合題意，

若a>b,c>b,可得|。一目一|人一（?|=c+a-2b,不符合題意，

綜上所述a—bWO,b-c>0,可得bNa,bNc,

故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的6是否為最大值即可.

對(duì)于A,B,由題知一1080.5。.3=1080.5，<1。80.51=。，而0<0.4°3<0.4°=1，

log050.4>log050.5=1,所以-log。$0.3<0.4°3<log050.4.

（點(diǎn)撥：函數(shù)y=logo_5X為減函數(shù)，y=0.4、為減函數(shù)），

對(duì)于A,a<b<c-,對(duì)于B,c<a<b,故A錯(cuò)誤，B正確.

2i92=O.9e01=(1-0.1)e01,

對(duì)于C,D,

eai

（將0.9轉(zhuǎn)化為1一0.1,方便構(gòu)造函數(shù)）構(gòu)造函數(shù)〃x）=（l—力巴140,1）,

則r（x）=re"因?yàn)閤?0,l）,所以（'（x）WO"⑺單調(diào)遞減,因?yàn)?0）=1,所以（（0.1）<l,

即0.9e°」<l,所以0.09<苧.（若找選項(xiàng)中的最大值，下面只需判斷粵與In^的大小即可）

ee“

0.1,100.1,901

-xy—In—=—T-：—Inln—=—+ln(l-0.1)，

e019e0J+10e01I7

jr1-x1_~qX

構(gòu)造函數(shù)/i(x)=；+ln(l—x),xe[0,l),則"(x)=

cex1-xe'(l-x)

因?yàn)橛人詄%l—X)>0,令o(x)=(l-x)2—e),則R(x)=—2(1—x)—e*,

當(dāng)xe[0,1）時(shí)，R（x）<O,0（x）單調(diào)遞減,因?yàn)?（0）=0,

所以。（x）W0,即"（x）W0,/z（x）單調(diào)遞減，又&（0）=0,所以〃（0.1）<0,

即—^y+ln（l—0.1）<0,所以

e-e9

綜上，0.09<—<In—.對(duì)于C,a<b<c；對(duì)于D,c<a〈b,故C錯(cuò)誤，D正確.

e019

（提醒：本題要比較0.09與In?的大小關(guān)系的話可以利用作差法判斷，

9

即0.09-lnW=0.1x0.9-lnI=(l-0.9)x0.9+ln0.9,

9A

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1r)x+lnx,xe(0,f|,

_J_-2f+x+1=(2x+l)(-x+1)

則g'(x)=12r+=

xxX

因?yàn)閤e（O,l],所以之0,g（x）單調(diào)遞增,因?yàn)間⑴=0,所以g（0.9）<0,

即0.09—ln——<0,所以0.09<ln—）

99

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查定義新運(yùn)算類的題目，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的

數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值比較數(shù)的大小.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2—7

12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）,則——=.

1+Z

…山、13i

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得z=l+i，即可由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解.

【詳解】由于復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）,所以z=l+i，

2-zJ-i_（l-i）（2-i）_l-3i_l_3i

故1+z2+i（2+i）（2-i）555;

-IQ.

故答案為：--y

13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式a”=.

①4_包是常數(shù)，機(jī),“eN’且機(jī)W〃；②4=2%；③｛a“｝的前〃項(xiàng)和存在最小值.

m-n

【答案】77-4（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的特征，不妨選擇等差數(shù)列，然后根據(jù)題目條件利用等差基本量的運(yùn)算求解通項(xiàng)公

式,即得解.

【詳解】由題意，不妨取數(shù)列｛。九｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為4,公差為d,

由②可知線=4+5d=2%=2（4+4d）,則％=-3d,又％~%=1是常數(shù)，滿足①，

m-n

由③｛an｝的前〃項(xiàng)和存在最小值，故等差數(shù)列｛&J單調(diào)遞增，取d=l,則4=-3,

故4=〃—4,此時(shí)當(dāng)〃=3或〃=4時(shí)，的前〃項(xiàng)和取到最小值為—6,

所以同時(shí)滿足條件①②③的數(shù)列｛aj的一個(gè)通項(xiàng)公式4=〃-4.

故答案為：〃—4（答案不唯一）

14.清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁?查理

?卡特蘭的名字命名）.有如下問(wèn)題：在〃x〃的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右

走一格，且走的過(guò)程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過(guò)，但可以到達(dá)該連線），則共有

多少種不同的走法？此問(wèn)題的結(jié)果即卡特蘭數(shù)C：］.如圖，現(xiàn)有3x4的格子，每一步只能往上或往右

走一格，則從左下角A走到右上角3共有種不同的走法；若要求從左下角A走到右上角3的

過(guò)程中只能在直線AC的右下方，但可以到達(dá)直線AC,則有種不同的走法.

【答案】①.35②.14

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)的意義即可得到結(jié)果，結(jié)合卡特蘭數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.

從左下角A走到右上角8共需要7步，其中3步向上，4步向右，

故只需確定哪3步向上走即可，共有C；=35種不同的走法；

若要求從左下角A走到右上角3的過(guò)程中只能在直線AC的右下方（不能穿過(guò)，但可以到達(dá)該連線），

則由卡特蘭數(shù)可知共有C；-C；=14種不同的走法，

又到達(dá)右上角。必須最后經(jīng)過(guò)3,所以滿足題目條件的走法種數(shù)也是14.

故答案為：35；14

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知〃為圓/+=9上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直x軸，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心為G

（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；

（2）記（1）中的軌跡為曲線C,直線/與曲線C相交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)Q（O,1）,若點(diǎn)”（、行,0）恰好是

△A3Q的垂心，求直線/的方程.

【答案】（1）亍+/=1（冷片0）

（2）>=氐3

【解析】

X二

4

【分析】（1）設(shè)G（x,y）,M（Xo，%），根據(jù)G為的重心，得彳，代入器+公=9,化簡(jiǎn)即

I3

可求解.

（2）根據(jù)垂心的概念求得勺=6,設(shè)直線/方程，與橢圓聯(lián)立韋達(dá)定理，利用A//L3Q得

.三匚=一1，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可求解.

%1-,3%2

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)G（x,y,則N（%,0）,因G為nW的重心,

“-33%r2

故有：《，解得勺=彳,%=3y,代入片+$=9,化簡(jiǎn)得土+y2=i,

24

v=A

-3

又/為/0,故孫/。，所以G的軌跡方程為寧+/=1（初/0〉

【小問(wèn)2詳解】

因H為AAB。的垂心，故有ABLHQ.AHLBQ,

1-0=43

又左所以左=G，故設(shè)直線I的方程為y=yf3x+m（m豐1）,

0-6—3

與亍+y?=1聯(lián)立消去y得：13x2+8y/3iwc+4m2-4=0>

由△=208—16^2>o得機(jī)2<13,

設(shè)4（%，%），6（%2，%）,則西+々=—*加,藥々=47;4,

由AH_L3Q,得—^~T'~—=一1，所以—6）+（G%i+a）（6%+加一1）=°，

X]v

2

所以+6（切-1）（%+x2）+m-m=0,

所以4（4/-4）-24m（m-l）+13（m2-m）=0,化簡(jiǎn)得5加之+口加—16=0，

解得加=1（舍去）或加=-3（滿足A〉。），故直線/的方程為y="

55

16.如圖，四邊形ABDC為圓臺(tái)qa的軸截面，AC=2BD,圓臺(tái)的母線與底面所成的角為45。，母線長(zhǎng)

為J5，E是30的中點(diǎn).

K

（1）已知圓。2內(nèi)存在點(diǎn)G,使得DEL平面BEG,作出點(diǎn)G的軌跡（寫出解題過(guò)程）；

（2）點(diǎn)K是圓。2上的一點(diǎn)（不同于A,C）,2CK=AC,求平面ABK與平面CDK所成角的正弦

值.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

4^/70

35

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，過(guò)3作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)G,過(guò)G作座的平行線，交

圓。2于GrG2,即可求出結(jié)果；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，求出平面A3K和平面CDK,利用面面角的向量法，即可求出結(jié)

果.

【小問(wèn)1詳解】

?.?E是8。的中點(diǎn)，:.DELBE.

要滿足DE，平面BEG,需滿足DELBG,

又；DEu平面BDE,平面BEG±平面BDE

如圖，過(guò)3作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)G,

KG2

過(guò)G作此的平行線，交圓。2于G，G2,則線段G1G2即點(diǎn)G的軌跡.

【小問(wèn)2詳解】

易知可以。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，QC，。201所在直線分別為V，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

Q一盯z,

???母線長(zhǎng)為夜，母線與底面所成角為45。，AC=2BD,：.O2A^2,。出=1,OXO2=1,

取K的位置如圖所示，連接2K,

-,-2CK=AC,二/。02K=60°，即NxO2K=30°,

則K(61,0),4(0,—2,0),3(0,—1,1),C(0,2,0),D(0,l,l),

則次=(63,0),礪=(62,—1),球=(點(diǎn)—1,0),DK=(A/3,0,-1).

設(shè)平面ABK的法向量為為=(/,%,4),

n-AK=0\-J3x,+3y,=0

則一，即廠1一，

n-BK=0[J?%+2%-Z]=0

令％=,則Z[=1,%=-1,.,.元=(Q,-1,1).

設(shè)平面CDK的法向量為初=(9，%，Z2)，

m-CK=0\yj3x-y,=0

則_.，即廣72%,

m-DK=0[，3x,-z2=0

令々=也,則z?=3,y2=3(rh=(63,3).

設(shè)平面ABK與平面CDK所成的角為。，則

?,In.-ml|V3X^+(-1)X3+1X3|

11|n|-|m|75x72135

.?Z)R2-Z4^/70

..sm，=W—cos0=--------

35

17.素質(zhì)教育是當(dāng)今教育改革的主旋律，音樂(lè)教育是素質(zhì)教育的重要組成部分，對(duì)于陶冶學(xué)生的情操、增強(qiáng)

學(xué)生的表現(xiàn)力和自信心、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)等有重要意義.為推進(jìn)音樂(lè)素養(yǎng)教育，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，

某校開設(shè)了一年的音樂(lè)素養(yǎng)選修課，包括一個(gè)聲樂(lè)班和一個(gè)器樂(lè)班，已知聲樂(lè)班的學(xué)生有24名，器樂(lè)班的

學(xué)生有28名，課程結(jié)束后兩個(gè)班分別舉行音樂(lè)素養(yǎng)過(guò)關(guān)測(cè)試，且每人是否通過(guò)測(cè)試是相互獨(dú)立的.

(1)聲樂(lè)班的學(xué)生全部進(jìn)行測(cè)試.若聲樂(lè)班每名學(xué)生通過(guò)測(cè)試的概率都為"設(shè)聲樂(lè)班的學(xué)

生中恰有3名通過(guò)測(cè)試的概率為了(0)，求/'(2)的極大值點(diǎn)P。.

(2)器樂(lè)班采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行測(cè)試.若器樂(lè)班的學(xué)生中有4人學(xué)習(xí)鋼琴，有8人學(xué)習(xí)小提琴，

有16人學(xué)習(xí)電子琴，按學(xué)習(xí)的樂(lè)器利用分層隨機(jī)抽樣的方法從器樂(lè)班的學(xué)生中抽取7人，再?gòu)某槿〉?人

中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行測(cè)試，設(shè)抽到學(xué)習(xí)電子琴的學(xué)生人數(shù)為？，求，的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)-

8

(2)分布列見(jiàn)解析，E(7)=￡

【解析】

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求出概率，再利用導(dǎo)數(shù)求極值；

(2)先借助分層抽樣確定隨機(jī)變量，的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.

【小問(wèn)1詳解】

24名學(xué)生中恰有3名通過(guò)測(cè)試的概率/(p)=CM-p'(l-/?)21，

則尸(0=片[3片1-廣-21/(1-p)2o]=c*3p2.(l—"。(1—8p),0<P<l,

令f'(P)=0,得P二,

o

所以當(dāng)0<p<:時(shí)，f'(p)>o,/(2)單調(diào)遞增；

當(dāng):<夕<1時(shí)，f(p)<o,7'(2)單調(diào)遞減，

8

故/(P)的極大值點(diǎn)Po=：.

8

【小問(wèn)2詳解】

利用分層隨機(jī)抽樣的方法從28名學(xué)生中抽取7名，

則7名學(xué)生中學(xué)習(xí)鋼琴的有1名，學(xué)習(xí)小提琴的有2名，學(xué)習(xí)電子琴的有4名,

所以，的所有可能取值為0,1，2,3,

c3「20i17

。(7=。)=槨=1p(?=i)=*=U

35；''c；35

_18「34

。(7=2)年,P?=3)=-4=—

-357；

j[c35

則隨機(jī)變量，的分布列為

c0123

112184

p

35353535

c1,12c18c412

E(C)=0x----Flx----F2x----F3x—=—.

v7353535357

18.己知數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，｛%｝為等差數(shù)列，且4=乙=2,/=8%，%=4-

（1）求｛%｝,｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）數(shù)列]卦”山」|的前〃項(xiàng)和為S“，集合”‘4，，力”+2it,"eN*共有5個(gè)元

IJ〔_

素，求實(shí)數(shù)1的取值范圍；

_log^,z.

（3）若數(shù)列｛%｝中，q=l,n~2_f-，，求證：

4〃

q+Cj,c2+Cj-c2-Cj+,■,+￡■1,Cr,.C3...........Cn<2.

【答案】（1）an=T,b相=2n

147

（2）（25,—]

（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為數(shù)列｛“J的公差為d,由已知易得/=8,々=2+71=16,可求

%，bn.

(2)設(shè)數(shù)列4=(—/PH冷卜]02,可求得d4n++d4n_2+d4n_3=128n-48,S4n=

n\/n

S.?bn+,(32〃+8)(〃+2)

“a"1.進(jìn)而可得比==-Q—'可得/⑴<")>/⑶>/(4)>.->加)，可求

f的取值范圍為(25,——].

⑶qqq…y勺一正方,進(jìn)而計(jì)算可得不等式成立.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)數(shù)列｛即｝的公比為4,數(shù)列出"的公差為d,

則由。8=8%，/=8,所以，=2,所以％=〃1。2T=2",

g=16,即々=2+72=16,所以〃二2,

所以"〃=4+(〃_l)d=2+(〃-1)x2=2〃；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)數(shù)列4=(―式虛8mH+1].年2,

則么?+%-1+d4a-2+%-3=%+-*_2-*_3=128”-48,

所以S4,]=(4+4+&+。4)+…+(〃4”-3+〃4"-2+4"-1+。4")=-----------------------

="(64"+16),

邑〃也+2一(64〃+16)?2(〃+2)(32〃+8)("+2)

"％~F"r'

人〃、(32〃+8)(“+2)(32〃+40)(〃+3)(32〃+8)(〃+2)

令/⑺=-------------，/(?+1)-/(?)=----------x-------------------------------

__32“2_8”_88_4(4“2f+n)

可得/(I)<可2)>/(3)>/(4)>...>f(n),

故當(dāng)〃=2時(shí)，/(")最大,

且/⑴=60,/(5)=—,/(6)=25,

4

所以25</?一147，即/的取值范圍為(251,4-7].

【小問(wèn)3詳解】

叫2%nn

(心2)

由q=L*“