福建省泉州市2025屆高三質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

福建省泉州市2025屆高三質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)集合/={xeR|?<4},8={0,1,4,9,16},則/口8=（）

A.{0,1}B.{0,1,4}C.{0,1,4,9}D.{1,4,9,16）

2.若復(fù)數(shù)Z滿足z（l-i）=l+i,則z4=（）

A.1B.-1C.iD.16

3.已知向量落反己滿足同與B的夾角為■1,1+B+e=0,則&與1的夾角為（）

兀C712兀5兀

A.一B.—c.—D.——

6336

4.若sin6+VJcos9=2，則tan6=()

在

A.-V3B.c.D.V3

"T3

Y~|-----]x>4

5.若函數(shù)/（x）=x'-'在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

x3

a~9x<4

A.（0,1）B.（1,4]C.（1,8]D.（1,16]

6.已知正四棱臺的頂點(diǎn)都在同一球面上，其上、下底面邊長分別為0,2亞，高為3,則該

球的表面積為（）

A.40kB.20TIC.16兀D.

3

7.已知函數(shù)/（X）滿足小+加/（到+/（切+2砂,若〃1）=1,則〃25）=（）

A.25B.125C.625D.15625

已知函數(shù)/(%)=次+；：

8.00(052]+$0531,則（）

A.兀是/(x)的一個周期B.X=71是/（X）圖象的一條對稱軸

C.0是/（尤）圖象的一個對稱中心D.7（x）在區(qū)間（0㈤內(nèi)單調(diào)遞減

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.某校在開展“弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，深植文化自信之根”主題教育的系列活動中，舉辦了“誦

讀國學(xué)經(jīng)典，傳承中華文明”知識競賽.賽前為了解學(xué)生的備賽情況，組織對高一年和高二

年學(xué)生的抽樣測試，測試成績數(shù)據(jù)處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是

()

A.高一年抽測成績的眾數(shù)為75

B.高二年抽測成績低于60分的比率為2.5%

C.估計高一年學(xué)生成績的平均分低于高二年學(xué)生成績的平均分

D.估計高一年學(xué)生成績的中位數(shù)低于高二年學(xué)生成績的中位數(shù)

10.已知函數(shù)/_云+1,則()

A./(x)的值域?yàn)镽

B./⑺圖象的對稱中心為(0,1)

C.當(dāng)面<0時，“X)無極值

D.當(dāng)6-3a>0時，在區(qū)間(-M)內(nèi)單調(diào)遞減

II.在平面直角坐標(biāo)系中，已知耳(-1,0),月(1,0),“(居力是動點(diǎn).下列命題正確的是

()

A.^\MF\+\MF^=2,則W的軌跡的長度等于2

B.^\MFt\-\MF2\=l,則M的軌跡方程為4/_當(dāng)=1

C.若|兒/卜|品工|=4,則M的軌跡與圓/+/=6沒有交點(diǎn)

試卷第2頁，共4頁

\ME\

=2,則而?。瓦的最大值為3

三、填空題

12.若曲線y=lnx在x=2處的切線與直線辦-了+1=0垂直，則。=.

13.過雙曲線E的兩個焦點(diǎn)分別作實(shí)軸的垂線，交￡于四個點(diǎn)，若這四個點(diǎn)恰為一個正方形

的頂點(diǎn)，則E的離心率為.

14.如圖，有一個質(zhì)地均勻的正八面體，八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8.將該八面體連續(xù)拋擲三

次，按順序記錄它與地面接觸的面上的數(shù)字，則這三個數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率

為.

四、解答題

15.VN8C的內(nèi)角4尻C所對的邊分別為。，瓦c,已知匕2=sm(一B)

csinC

(1)求A；

(2)若NBAC的角平分線與BC交于點(diǎn)、D,AD=2,AC=26,求a+c.

16.如圖，在圓柱QQ中，分別為圓柱的母線和下底面的直徑，C為底面圓周上一

⑴若M為的中點(diǎn)，求證：QM//平面NCD；

(2)若月C=1,8C=G,圓柱的體積為兀，求二面角的正弦值.

試卷第3頁，共4頁

22n

17.已知橢圓氏=+4=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為號且，離心率為；，且經(jīng)過點(diǎn)

ab3

H)-

(1)求E的方程；

⑵過大且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交E于48兩點(diǎn)，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，記△町g的面積

為小曲工的面積為$2,求空的取值范圍.

)2

18.已知曲線G：y=lnx,C2：N=e”.

(1)證明：ex>Inx：

⑵若曲線片關(guān)于直線I對稱的曲線為馬，則稱/為片與E2的一條對稱軸.請寫出G與G的一

條對稱軸，并探究是否存在其它的對稱軸；

(3)已知4出是q上的兩點(diǎn)，4,當(dāng)是C2上的兩點(diǎn)，若四邊形AtB}B2A2為正方形，其周長為3

證明：￡>4人-2.(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.693,V^?1.649)

19.已知正整數(shù)。應(yīng)滿足P44,正整數(shù)a,(z,=l,2,L,〃)滿足a,Vp,之〃；=四對于確定的

4=1

正整數(shù)。應(yīng)，記t的最小值為/(。應(yīng)).例如：當(dāng)p=2,q=3時，2X3=22+E+I2或

Z=1

2X3=12+12+12+12+12+12,￡《=4或6,/(2,3)=4.

i=l

⑴當(dāng)p=g=3時，寫出￡>,的所有值及「(3,3)的值；

;=1

(2)探究了(3,3左+D,eN*)的值；

⑶證明：t“l(fā)f2(3,13k+l)<227-

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CADCBBCBACDBC

題號11

答案ACD

1.C

【分析】應(yīng)用排除法或先求集合A,再結(jié)合集合的交集判斷求解.

【詳解】解法一：(排除法)因x=0符合題意，排除D；因?yàn)閤=9符合題意，排除A,B；

解法二：因?yàn)?={xeR|JT<4}={xeR|0Vx<16}，所以NcB={0,1,4,9},

故選:C.

2.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

【詳解】解法一：設(shè)2=。+砥a,6eR),則(a+bD(l-i)=a+b+(6-a)i=l+i,

解得。=0,6=1,所以z=i,所以，=1,

解法二：因?yàn)閦(l—i)=l+i,所以-二罟=/］。：/?=1*~=i,z4=1,

解法三：方程兩邊同時平方，有z2.(-2i)=2i,所以Z?=-1/4=1,

故選:A.

3.D

一

【分析】對等式17Tk+6+己=0進(jìn)行變形得己=_1_5,再運(yùn)算數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.

【詳解】設(shè)同=W=1,由題得e=-1-5，

所以H=/.(一7_B)=-a2-a-b=-15|2-|a|-|6|cosy=-1--^-=,

c1=(-a-bf=a2+2a-b+b2=3,所以同=G,

所以cosG,1=/W=一坐，又依司?0,可，

1aHe|2

所以僅4=

故選:D.

4.C

答案第1頁，共21頁

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及輔助角公式求解即可.

【詳解】解法一：(特殊法)由題知sin8」,cos8=正滿足條件，所以tanO=XL

223

解法二:由題得Line+與osO=l,所以sin]+g]=l,

22I3J

7TTTTT

所以e+—=2E+—,左cz,所以。=2左兀+',左EZ,

326

c(7兀、71V3

tan6/=tan2knH■—=tan—=——.

(6)63

解法三：由題得sin2e+2A/5sinecos6+3cos之。=4，

所以Bsin？e-Z^sinecose+cos%=0，BP(VJsin^-cos^)2=0,

所以由sin。一cos。=0，即tan6=——.

3

解法四：由題得sin。=2-Geos。，所以(2-\ZJcosO)2+cos2。=1,

所以4cos2。-4V3cos6+3=0,即(2cos。一上了=0,

所以cose=^>sine=2-VJcose=L，所以tan。=

223

解法五：觀察sin9+JJcos9=2,知sin。,cos。同正，。為第一象限角，

其正切值為正，排除A,B.

若tan6=百，可取e=g,貝!)sin6+ecos。=,

不符合已知條件，排除D,

故選:C.

5.B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的底數(shù)要求只討論。>0且

由題意得在4J(x)=x+f-3為單調(diào)遞增，

因?yàn)殡p勾函數(shù)/(%)=x+f-3在(0,G)單調(diào)遞減，[6,+—單調(diào)遞增，

所以五“4,故0<。416；

又X<4時，=為單調(diào)遞增，故〃>1；

答案第2頁，共21頁

再由儲44+q一1,得（zV4；

4

綜上，l<a<4,

故選：B.

6.B

【分析】法一：分別求得上下底面所在平面截球所得圓的半徑，找到球心，求得半徑，再由

球的表面積公式可得結(jié)果；法二：應(yīng)用排除法得答案.

【詳解】法一：正四棱臺的對角面的外接圓為其外接球。的大圓（如下圖），

對角面為等腰梯形44'C'C,其上下底邊長分別為2,4,高為3,

由正四棱臺的對稱性可知，球。的球心。在梯形上下底的中點(diǎn)連線。。2所在直線上，

設(shè)。Q=d,貝!|OQ=|3-⑷，球O半徑為OC=R=OC,

由RtA。。］。',RIAOQC可得R2=|3—d『+22=d2+12,解得d=2,R=,

所以所求的球。的表面積為4成2=20兀,

法二：下底的外接圓不大于球的大圓，故球半徑RN2（下底對角線長的一半），表面積

4兀R22167t，排除D；

對角面等腰梯形44'C'C的對角線長3?,故球半徑尺>逑，表面積4成2>18兀，排除C；

2

若4成2=40兀，則及=兩，易求球心到HC'的距離為4=3,球心到/C的距離為4=而，

無法滿足|4+蜀=〃=3,或|4-囚=〃=3,排除A.

故選：B.

7.C

【分析】利用賦值法結(jié)合條件可得1（〃）=〃2進(jìn)而即得；或構(gòu)造函數(shù)/（無）=/求解.

答案第3頁，共21頁

【詳解】解法一：由題意取x=〃(〃eN)/=l,可得

〃“+1)=/(〃)+41)+2"

=小-1)+2川)+2(〃-1)+2〃

=/(?-2)+3/(1)+2(??-2)+2(?-1)+2?

=(〃+1)/⑴+2(1+2+…+〃)

=(〃+1)八1)+〃(〃+1)

即知/"(〃)=硬⑴++=n2,則f(25)=625.

解法二：令g(x)=/(x)-f,貝i|g(x+y)=/(x+y)-(x+n

=f(x)+/(y)+2肛-(x+yy=/(x)+/(y)-x2-j2=g(x)+g(y),

所以g(")=g("l)+g⑴=?"="g⑴="(”I)T2)=O,

即g(〃)=/(")r，2=0,所以/(〃)=/,則/(25)=625.

解法三：由/(尤+了)=/(力+/(力+2孫可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)/("=/,

可以快速得到1(25)=625.

故選：C.

8.B

【分析】法一：利用排除法，取特值檢驗(yàn)即可；法二：根據(jù)周期性的定義判斷A；根據(jù)對稱

性的定義判斷BC；利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)在區(qū)間(0,71)內(nèi)單調(diào)性，進(jìn)而判斷D.

【詳解】法一：(排除法)因?yàn)?(7t)=cos7i+‘cos27r+!cos37t=-l+L-'=—*,

23236

11

=cosO+—cosO+—cosO=Id----F—=

2323~6

即/⑺H/(O),所以兀不是/(x)的一個周期，故A錯誤;

且/⑺~/(0),所以仁,0)不是/'(x)圖象的一個對稱中心，故C錯誤;

Tl113711

又因?yàn)榱薈OS—+—COS71+—COS——=-------

22322

答案第4頁，共21頁

兀2兀

即/，所以/（x）在區(qū)間（0m）內(nèi)不單調(diào)遞減，故D錯誤;

法二：A：因?yàn)?（x+7r）=cos（x+7i）+gcos2（x+7r）+gcos3（x+7r）=-cosx+；cos2x-gcos3x

即/（尤+兀）2/（尤），所以兀不是/（尤）的一個周期，故A錯誤;

B：因?yàn)?（兀-x）=cos（兀一x）+gcos2（兀一x）+gcos3（兀一%）=-cosx+cos2x-jcos3x,

即/（71+尤）=/（無-無），所以》=兀是/'（x）圖象的一條對稱軸，故B正確;

C：因?yàn)?（-%）=cos（-%）+~cos2（-%）+~cos3（-%）=cosx+—1cosc2x+l-ecos3x,

23

即-/（-X）W/（X+7T）,所以仁,0j不是/（X）圖象的一個對稱中心，故C錯誤;

D：因?yàn)?'（X）=-sinx-sin2x-sin3x=-[sin（2x-x）+sin（2x+x）]-sin2x

=-2sin2x?cosx-sin2x=-sin2x?（2cosx+1）

當(dāng)時,sin2x>0,2cosx+1>0,止匕時/'（%）<o；

sin2x<0,2cosx+1>0,此時>o；

當(dāng)工￡[,兀）時，sin2x<0,2cosx+1<0

此時/'（%）<0;

可知/（X）在10看）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在［1,無］上單調(diào)遞減,

所以/'（x）在區(qū)間（0m）內(nèi)不單調(diào)遞減，故D錯誤;

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)問題，可以通過舉反例的形式說明其錯誤，這樣

可以簡化計算和推理.

9.ACD

【詳解】根據(jù)頻率分步直方圖、樣本的數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識判斷即可.

【試題解析】選項(xiàng)A：高一年學(xué)生成績的眾數(shù)為區(qū)間［70,80］的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，故A正確；

選項(xiàng)B：高二年學(xué)生成績得分在區(qū)間［40,60）的學(xué)生人數(shù)頻率為（0.0025+0.0025）x10=0.05,

所以低于60分的比率為5%,故B錯誤；

選項(xiàng)C：高一年學(xué)生成績的平均數(shù)約為

45x0.04+55x0.11+65x0.18+75x0.35+85x0.22+95x0.1=74分；

答案第5頁，共21頁

高二年學(xué)生成績的平均數(shù)約為

45x0.025+55x0.025+65x0.1+75x0.25+85x0.4+95x0.2=80.75分，

因?yàn)?4<80.75,故C正確；

選項(xiàng)D：高一年學(xué)生成績的中位數(shù)位于［70,80),高二年學(xué)生成績的中位數(shù)位于［80,90),故

D正確；

故選：ACD.

10.BC

【分析】函數(shù)的基本性質(zhì)判斷A,B,應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性判斷D,應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)判斷極

值存在性判斷C.

【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)至少一個不為0,則函數(shù)/(無)為三次函數(shù)或者一次函數(shù)，值域均為

R;當(dāng)6均為0時，值域?yàn)閧1},故A錯誤；

B選項(xiàng)：函數(shù)g(x)=/(尤)-1=辦'-法滿足g(-尤)=-&+6x=-gG),可知g(x)為奇函數(shù)，

其圖象關(guān)于(0,0)中心對稱，

所以/'("的圖象為g(無)的圖象向上移動一個單位后得到的，即關(guān)于(0,1)中心對稱，故B

正確；

C選項(xiàng)：f'(x)=3ax2-b,當(dāng)H<0時，3辦2-6恒大于0或者恒小于0,所以函數(shù)f(x)在R

上單調(diào)，無極值.故C正確；

D選項(xiàng)：y=3ax2—b,當(dāng)6—3a>0時，取a=—1,6=—1,當(dāng)xe時，

I33)

/'(X)=-3尤2+1>0J(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)錯誤.

故選:BC.

11.ACD

【分析】對于A,確定M點(diǎn)軌跡，即可判斷；對于B,結(jié)合雙曲線定義進(jìn)行判斷；對于C,

求出M點(diǎn)軌跡方程，聯(lián)立方程或利用向量數(shù)量積判斷與圓的交點(diǎn)情況，即可判斷；對于D,

求出動點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而求解數(shù)量積最值，即可判斷.

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)閨九陰|+|〃周=2=由國，所以W的軌跡為線段用"

從而〃的軌跡的長度等于2,故A正確；

答案第6頁，共21頁

選項(xiàng)B：因?yàn)閨九明|-|初用=1,由雙曲線的定義知，M的軌跡是以片,乙為焦點(diǎn)的雙曲線的

右支，

而結(jié)論的方程中未限制范圍，故B錯誤；(由c=l,2a=l,得〃的軌跡方程為

4X2-^=1(X>0))

選項(xiàng)C:解法一：由|兒/卜|九里|=4,得"(x+l)2+y2.J(x_l)2+y2=4,

2

化間得，(M+jZ+i)_4X=16,聯(lián)“八',得廠=一>6,

I.)[X2+/=64

這與/46矛盾，所以方程組無解，故M的軌跡與圓-+V=6沒有交點(diǎn)，故C正確;

解法二：若有交點(diǎn)M(x,y),則町工=(-l-x,-y)?)=x2+)2_]=5,

又說.訪=|西]訪cos而叱=4cos近研44,矛盾，

所以”的軌跡與圓/+必=6沒有交點(diǎn)，故C正確；

選項(xiàng)D：

\MF.\I----------,----------

解法一：由^^=2得，V(x+1)2+^2=2/x-l)2+y2,

化簡得口一+/=g，

所以M的軌跡是以，,oj為圓心，半徑為g的圓,

威?西等于血在x軸上的投影的長度，

由圖知其最大值為3,故D正確；

解法二：同法一得M的軌跡是以底為圓心，半徑為g的圓,

OM-OF^={x,y}(l,0)=x,由圓的方程知x可取到最大值3,故D正確;

答案第7頁，共21頁

由回

解法三:由鹿I=2得，|阿|一|"|=|"歸閨閶=2,|MO以?？?|3|43,

當(dāng)M在巴耳的反向延長線上時取等號，

①兩?配=^O|COSZMOF2<^0\<3；

②當(dāng)M在匕片的反向延長線上，且卜2時，

滿足條件匕^=2,此時OM.。月=3,

\MF2\

所以兩?近的最大值為3,故D正確；

故選：ACD.

12.-2

【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系求解.

【詳解】由題意得函數(shù)>=lnx的導(dǎo)函數(shù)為>=工，故在x=2處切線的斜率為

x2

直線內(nèi)->+1=0的斜率存在為4,根據(jù)題意得，-1，解得。=-2.

故答案為:-2.

13A/5+1

.2

【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)確定〃力,。之間的等式關(guān)系，即可求解.

22

【詳解】解法一：不妨設(shè)雙曲線氏1―—=l(q>0,6>0),

ab

令x=c,可得》=±_L,所以|4用二空.

aa

QL2

依題意可得，|/巧=I耳典,所以絲=2c,

a

又白,所以/-碇-/=o,解得：￡=上Y1,

a2

又因?yàn)閏>a>0,所以

a2

解法二：如圖，連結(jié)/片，在RtA"；旦中，

答案第8頁，共21頁

2c2cV?+1

所以離心率〃五=所卜二了.

22

解法三：山閭=2c,依題意知/(c,c)在曲線上，故二一」=1,

ab

整理得3/+1=0,/=出5(取正)，

2

故答案為：叵止.

2

14.—/0.0625.

16

【分析】利用古典概率模型以及等差數(shù)列的定義即可求解.

【詳解】由題意可知所有可能情況共有83種，按順序記錄的三個數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，

可以按照公差為-3,-2,-1,0,1,2,3分類，其中公差為-3,-2,-1和3,2,1的做法數(shù)對應(yīng)相等.

公差為0的有(1,1,1),(2,2,2),…,(8,8,8)共8種做法;

公差為1的有(1,2,3),(2,3,4),…(6,7,8)共6種做法,同公差為-1的；

公差為2的有(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(4,6,8)共4種做法，同公差為-2的;

公差為3的有。,4,7),(2,5,8)共2種做法，同公差為-3的；

所以三個數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率P=8+6x：+：x：+2x2=^L=L

8x8x851216

故答案為:J.

16

71

15.⑴％=

(2)q+c=3+-\/3

答案第9頁，共21頁

【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解;

（2）利用等面積法以及余弦定理即可求解.

【詳解】（1）依題意，由正弦定理可得smCTinS,sin、一）

sinCsinC

所以sinC—sinB=sin(4—5),

又sinC=sin[兀一(4+5)]=sin(4+5),

所以sinB=sin(%+5)-sin(4-5)=2cos力sinS,

因?yàn)樗詓inBwO,所以cos/=g,

又Z￡（o,兀），所以4=g.

（2）解法一：如圖，由題意得，S?BD+S-CD=SMBC，

ITT1IT1TT

所以一c,4Osin—+—6?/Z)sin—=—b?csin—,即6=2c,

262623

又b=AC=,所以c=

所以。2=/+。2-2bccos巴=9,即。=3,

3

所以。+。=3+下.

解法二：如圖，A/CD中，因?yàn)?O=2,NC=26,NC4D=^,

6

由余弦定理得，CD2=22+(2V3)2-2x2x2V3cos-=4,

6

TT

所以。。=4。=2,所以C=/C/O=—,

6

所以8=兀-4-。二萬,

所以a=bcos—=3,c=bsin—=VJ,

66

所以。+。=3+\/3.

16.（1）證明見解析

答案第10頁，共21頁

⑵嚶

【分析】（1）取/C中點(diǎn)N,利用線面平行的判定性質(zhì)，結(jié)合圓柱的結(jié)構(gòu)特征推理即得.

（2）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面C8Q、平面C4。1的法向量，再利用面面

角的向量求法求解即得.

【詳解】（1）取/C中點(diǎn)N,連結(jié)MN,O、D,DN,如圖，

由分別為5C,/C的中點(diǎn)，得AW//AB,MN=-AB=AO,

21

由圓柱上下底面平行，且與平面NQOQ交于AO2和OXD,

得/Q//。。，且則MV//Q。且=

因此四邊形肱⑦Q為平行四邊形，OtM//ND,又QMcZ平面平面/CD,

所以〃平面/CD.

c

(2)由/C=l,BC=G,/3為底面直徑，得44c2=90°,N8=2,

由圓柱。。2的體積=兀，/。；,。。2=兀，得。。2=1，

過C作CE_L平面48C,則C￡_LC4C￡，C3,又CALCB,

以C為原點(diǎn)，直線C4,C8,CE分別為"/軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則3(0,00),O,(1,y-,l),C(0,0,0),/(1,0,0)，CB=(0,瓜0),CO,=(1,y-，l),c2=(1,0,0)，

答案第11頁，共21頁

mCB=5/3^=0

設(shè)平面CBOX的法向量為而=（5,％zJ則_.1J3，令三=2,得

mCO,=-xl+—yl+z]=O

m=（2,0,-l）,

n-CA=%=0

設(shè)平面aq的法向量為力=（尤2，%,zJ,貝卜心西=；X2+g為+Z2=0，令%=2,得

設(shè)二面角8-。。-/的大小為6,貝叫°segc°s衡⑹仁群二表

2

于是sing=Vl-cos0=%=±/j2.,

V3535

所以二面角8-。0-/的正弦值為皿畫.

35

x2V2

17.（1）—+^-=1

95

⑵（0,2）

【分析】（1）利用離心率公式以及點(diǎn)在橢圓上即可求解;

（2）解法一：設(shè)/*=叼-2（加W0）,利用三角形的面積公式，將面積之比表示為點(diǎn)48的

縱坐標(biāo)之比，利用韋達(dá)定理可求出43的縱坐標(biāo)之比的取值范圍，從而可求解;

解法二：設(shè)/：了=左卜+2）,木40,將面積之比表示為點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)之比，利用韋達(dá)定理可

求出A,B的縱坐標(biāo)之比的取值范圍，即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)閑2=;=Jt=3,所以5/=9萬,

礦a29

因?yàn)辄c(diǎn)J,外在橢圓上，所以:+1=1.

即4三+2三5=1，解得/=9,所以/=5，

a5a

22

所以橢圓E的方程為土+匕=1.

95

（2）

答案第12頁，共21頁

解法一:

由（1）得片（一2,0）,依題意設(shè)/:。=叼-2（加彳。）,

二+匕=[

由95一'消去x,M（5m2+9）r-20mj-25=0,

x=my-2

20m

5m+9

設(shè)4（久1，乃），8（久2，、2），則

-25

5m+9

設(shè)M（x”y0）,貝＞]”=歸三,

邑周忸以2卜2

20m

（必+%）2-16m2

由V-25得'

5m2+9

^2=WT?

即&+&+2=/i

y2yx5m+9

因?yàn)?所以＜g所以一T（蒜

所以一詈色放+2＜0,

令叢=＜0且（wT）,

%

則一3＜，+1+2＜0,解得一5＜，＜-,，且fw-l,

5t5

]S

所以0＜笠+1|＜2,所以方的取值范圍為（0,2）.

解法二:

由（1）得耳（一2,0）,依題意設(shè)/:y=2（x+2）（人工0）,

答案第13頁，共21頁

[22

工+匕=1

由<，95'7肖去',得（9左2+5）工2+36左2》+36左2-45=0,

y=k{x+i）

-36k2

設(shè)A0141）,8（X2,丫2），則彳25小

36k-4f

I129k2+5

%+%=k\xx+x2）+Ak=

所以2；2，

%%（否+2）（X2+2）=

、yK+J

設(shè)M（%,”），則”=歸三，

S15,閨聞仇I

s2gM￡1?閃

令二=，“<0且/w-1）,

%

20k,20k

%十%=？FT?（'+A24?

則％=%代入；3可得，

—ZJK12-25E

仇―9r+5'

（Z+1）2-16

消去％得:

~t~9k2+5

因?yàn)楹?>o,所以-『藁帝<0,

所以一史<“土1廣<o,解得一5</<」，且蹤-1,

5t5

所以0<與+1|<2,所以"的取值范圍為(0,2).

2?2

18.(1)證明見解析

⑵Cj與C2的一條對稱軸為直線/：/=x,/是Cj與Cz的唯一對稱軸

(3)證明見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系結(jié)合隱零點(diǎn)證明；

(2)利用兩函數(shù)成反函數(shù)關(guān)系可確定對稱軸為并用反證法思想證明有且僅有一條對

稱軸；

nx

（3）設(shè)4（再,111^）,31（尤2,12），鳥（工3，/），4（%”）,Sx4<^<x2,x4<x3<x2,利用正方

答案第14頁，共21頁

形的性質(zhì)特征建立四個頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，進(jìn)而確定正方形邊長為

國囪=也產(chǎn)一huj=e』一七,；<七<1,構(gòu)造函數(shù)即可證明.

【詳解】(1)要證原命題，只需證e“-lnx>0,

設(shè)函數(shù)戶(x)=e，Tnx,其導(dǎo)函數(shù)為r(x)=e'-1,x>0,

顯然尸'(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

且尸"一2<°，尸'(l)=e-l)°，

故存在唯一的％e[J滿足/(%)=0,即e'。=J,

從而可得在(0,x。)上，P(x)>0*(無)單調(diào)遞減；

在(x°,+e)上，/'(尤)>0,戶(x)單調(diào)遞增；

所以FQ)在x=%o處取到最小值/(%)=1°-120，

,x1

其中e°=一，即/=—lnx0,

所以尸(%0)='+%0>2>。得證.

(2)G與的一條對稱軸為直線/:y=x,

且/是G與&的唯一對稱軸，

證明如下：

。2：?=0-=。',所以〉=/在工=0處的切線斜率為1,切點(diǎn)為(0,1),

所以切線方程為y=x+l,所以結(jié)合函數(shù)圖像可知e'21+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，

即曲線a與直線4：y=X+1相切于點(diǎn)2(0,1),

且曲線G在直線4的上方(除點(diǎn)。)；

G:y=lnx,y'=L所以>=加在x=l處的切線斜率為1,切點(diǎn)為(1,0),

X

所以切線方程為y=xT,所以結(jié)合函數(shù)圖像可知InxWx-l,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號,

即C1與直線4：y=x-l相切于點(diǎn)尸(1,0),

且曲線G在直線4的下方(除點(diǎn)尸)；

答案第15頁，共21頁

而平行線4,4的距離為近，

故曲線。上的任意點(diǎn)與G上任意點(diǎn)的距離不小于41，

注意到己。兩點(diǎn)距離恰為近，

故可得結(jié)論①：曲線。上的任意點(diǎn)與G上任意點(diǎn)的距離最小值為Q,

當(dāng)且僅當(dāng)這兩點(diǎn)分別為尸,。時取到.

反證法：假設(shè)。與c2存在除/以外的其它對稱軸廠，

那么尸關(guān)于/'的對稱點(diǎn)尸'，

注意到P,Q兩點(diǎn)關(guān)于直線/：y=X對稱，故p在G上且異于點(diǎn)Q,

同理。關(guān)于/'的對稱點(diǎn)。'，其中。'在Cj上且異于點(diǎn)尸，

根據(jù)對稱性可得V2=\PQ\=\P'Q'\,

這與①矛盾，故假設(shè)不成立.故/是￡與a?的唯一對稱軸.

（3）由題意，不妨設(shè)4（占,1叫）,用（了2,11巾2），82卜3,e*），4（X4，e?）,其中

%<項(xiàng)<X[E<工3<,

并由（2）分析得4,為分別與a,當(dāng)關(guān)于直線>=%對稱，

可得_LI,I,且/=6,Im2=x,x=可,1%=x,

AYA2BXB2±3{4

由正方形可得忸聞U忸|可|,即小52-再）=應(yīng)區(qū)-%3）

所以再=￡,即正方形對角線4打，尤軸，

13

因?yàn)閲鷩?|,即行(e-ln.x2)=V2(lnx2-lnx1)

答案第16頁，共21頁

%3

BPe+Im：]=21nx2.②

又因?yàn)樵俣?hu：2,所以②式可化為e*+1叫=2n

故與為方程e'+lnx-2x=0的根,

即〃(%)=1+111￥-2%0>0)的零點(diǎn)為公，

S^jH,(x)=ex+i-2>jc+l+--2-x+--l>2.x---l=l>0,

xxxVx

所以a(x)在(o,+8)單調(diào)遞增，

且〃(muC-lnZ-KoMlNe-Z)。，

所以;<再<1,

所以正方形的邊長忸同=行―-1強(qiáng)卜行⑹一再)[<X]<1,

令夕⑺二亞(e'-x),(x>0),且忸也|="(xj,

^（x）=V2（ex-l）>0,所以9（x）在（0,+8）單調(diào)遞增,

則e（xj>=&&-專,即正方形的邊長大于近血-等,

所以正方形的周長￡>4友人-2血>4x3-2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵在于設(shè)4（再孫）心（％,g）,B2（X3,e&）,4（x4，叫,

其Z<占<%,Z<%<%,利用正方形的性質(zhì)特征建立四個頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，進(jìn)

而確定正方形邊長為忸也|=行卜*3-山卜行@-西）,；"<1,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與

函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系即可證明.

19.的所有值為：3,5,7,9,43,3）=3.

1=1

⑵g+2

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題目所給新定義列出4種不同可能即可求解；

（2）利用左=1,2猜想出q=3左+l,eN*）時，［（3應(yīng)）=/（3,3左+1）=3后+3=g+2,再證明

答案第17頁，共21頁

即可；

（3）利用放縮法和裂項(xiàng)相消求和的方法即可證明.

【詳解】（1）因?yàn)?x3=3?,3X3=22+22+12,3x3=22+12+12+12+12+12,

3x3=12+12+12+12+12+12+12+12+12,

所以才為的所有值為：3,5,7,9,所以/（3,3）=3.

i=l

(2)當(dāng)上=1時，探究展示如下表:

nn

a；=Pq=1212=122=432=9

Z=1i=l

項(xiàng)數(shù)23016

項(xiàng)數(shù)20306

項(xiàng)數(shù)力4208

項(xiàng)數(shù)彳81010

項(xiàng)數(shù)2120012

由上表可知，"3應(yīng)）=f（3,4）=6=3+3=4+2.

當(dāng)左=2時，探究展示如下表:

nn

Zai=pq=2112=122=432=9

Z=1Z=1

項(xiàng)數(shù)彳3029

項(xiàng)數(shù)彳0319

項(xiàng)數(shù)力42111

項(xiàng)數(shù)281113

項(xiàng)數(shù)2120115

項(xiàng)數(shù)2