高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角函數(shù)及解三角形

人教A版數(shù)學(xué)三角函數(shù)及解三角形（一輪復(fù)習(xí)）專題五

知識(shí)點(diǎn)一三角形面積公式及其應(yīng)用，正弦定理解三角形,余弦定理解三角形

典例1、在MlfiC中，內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知（缶-"cosBnbcosC.

（1）求角8的大??；

（2）若點(diǎn)。在6。上，b=2娓,AD=2版,ZAOC=1,求AABC的面積.

拓展練習(xí)：在AABC中，角4氏C的對(duì)邊分別為a,6,c,且c-6cosA=66sinA.

(1)求角B；(2)若a=4,6=J5T,求44BC的面積.

典例2、在AA3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且bcosC=a-且csinB.

3

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若6=2,求AA3c周長(zhǎng)的取值范圍.

拓展練習(xí)：在AABC中，角A3，C所對(duì)的邊分別為a,Z?,c,acosC+yfiasinC-b.

(1)求角4

(2)若°=26-2,且AASC的面積為2,求邊4c的直

,rsinA+sinBc+b

典例3、在AABC中，角B,C所對(duì)的邊分別為。,%°,且=R

(1)若a=2石，b=2,求角位

(2)設(shè)的角平分線A。交BC于點(diǎn)，若面積為石，求AD長(zhǎng)的最大值.

拓展練習(xí)：如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD的面積是△相￡＞的面積的26倍.

NDBC=2ZABD,AB=1,BC=2.

(1)求/ABD的大小;

(2)若點(diǎn)2D在直線AC同側(cè)，NAEC=?,求AE+EC的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)二用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值，二倍角的余弦公式，正弦定理解三角形，

余弦定理解三角形

典例4、在AA6C中，內(nèi)角ARC所對(duì)的邊分別是a,6,c,且c<b,已知°=3,cosA=g,。=3行.

■JT

(1)求sinB及c的值；(2)求sin(2A+1)的值.

拓展練習(xí)：已知"RC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,C,5asinC=3c且C為鈍角.

(1)求cosA；

(2)若a=3&,b=5,求443c的面積;

(3)求sin，2A+"].

典例5、已知AABC中,角A5,C的對(duì)邊分別為a,"gtanH=1,Q=0,Z?=3.

(1)求sinA：(2)求cos(2A-3)；(3)求。的長(zhǎng).

拓展練習(xí)：在AA6C的內(nèi)角ASC所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a/,c,已知a=4,c=20,cosA=-手.

(1)求b的值；(2)求sin。的值；(3)求cos[2A+])的值.

典例6、在①2asinN=。tanA,②工-1=4cos3-cosA,③向量用=(〃,與〃=(cosA,sinB)平

bb

行，三個(gè)條件中選一個(gè)填在下面試題的橫線上，并加以解析.在△AgC中，a,b,c

分別是內(nèi)角4B,。的對(duì)邊，已知.

(1)求/的大小；(2)若a=3,S.c=孚，求6+c的直

拓展練習(xí)：已知AABC的內(nèi)角A,6,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為S,滿足S=；(/一町sinC.

(1)證明sinA=2sin_B

(2)求所有正整數(shù)A,"的值，使得。=機(jī)人和tanA=ktanC同時(shí)成立

人教A版數(shù)學(xué)三角函數(shù)及解三角形（一輪復(fù)習(xí)）專題五答案

典例1、答案：（1）8=：（2）3+3有

解：（1）因?yàn)椋?q-ckosB=6cosC,

所以&sinAcosB-sinCcos5=sin5cosC，

所以^2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（5+C）.

因?yàn)锳+3+C=TT,L>tsinA=sin（B+C）,

所以后cos5=l,即cos5=^^.因?yàn)樗?=“

（2）因?yàn)镹AOC=1,所以NADB*.

在△回中，由正弦定理可得第=.:,則。=絲包胃變=26.

sinBsin/ADBsinB

+上?十r/日ADbmi?「ADsinZADC1

在AACD中，由正弦定理可得一二=.則sinC=-------------=-.

sinCsinZADCb2

因?yàn)镹AOC=g,所以0<C〈尸，所以C=]

j36

因?yàn)锳+3+C=TI,所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=";忘,

貝（JAZ4LBC的面積為—besinA=3+3^73.

拓展練習(xí)：答案：（1）J（2）5g

6

解：（1）因?yàn)?-bcosA=y/3bsinA,

由正弦定理，可得sinC-sin3cosA=VSsinBsinA,

BPsinAcosB+cosAsinB-sinBeosA=^sinBsinA,化簡(jiǎn)得sinAcosB=^/SsinBsinA,

因?yàn)锳e（0,萬），可得sinAwO,所以tan2=",

3

因?yàn)?直0,萬），所以3=2

（2）因?yàn)閍=4,Z?=A/5T且6=m,

o

由余弦定理）2=a2+c2—2accosB,可得31=16+c?-8cx^-,

2

即—40C—15=O,解得C=5A/§或。=-石（舍去），

故AABC的面積為gQcsin3=gx4x56xg=5A/^.

典例2、答案：⑴B=y(2)(4,6]

解：(1)由bcosC二^一^^以詁⑶及正弦定理，得sinBcosC=sinA-sinCsinB,

33

h

又A=*(B+C),.?.sinBcosC=sin(B+C)-^-sinCsinB,

.J3

/.sinCcosB------sinCsinB=0.

3

*/0<C<^,sinC0,tanB=V3.

「71

又0<B<7T9B=—.

(2)由余弦定理得〃=々2+。2_2accosB=(a+c)2-3。。=4,

.?.(a+c)2-4=3acW3[專],得a+cV4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

又a+c>b=2,(三角形任意兩邊之和大于第三邊)

/.4<?+c+Z?<6,

448。周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6].

拓展練習(xí)：答案：⑴(2)b=c=2近.

0

解：(1)4C0SC+百qsinC=6,

由正弦定理得：sinAcosC+y/3sinAsinC=sinB,

又?.?sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,百sinAsinC=cosAsinC,

又,.?Ce(0,%),.七指。*。，tanA=—,又Ae(0,i),：.A=^：；

36

JI11

(2)'：A=—,5=-Z?c*sinA=-bc=2,.'.be=8,

6AABC24

又?<,cosA-b+'——=,「?(b+c)2-2bc-a2=6bc,

2bc2

又。=26-2,bc=8,；?b+c=4曰:.b=c=2y/2.

典例3、答案：⑴B=^(2)1

o

i-r-tsinA+sinBc+bc

解:(1)因?yàn)閟inCF依據(jù)正弦定理嘉二白

sinC

所以"=^=“2一〃=加+。2,^b2+c2-a2=-bc,

ca-b

由余弦定理變形知cosA==坐=-4，

2bc2bc2

因?yàn)锳e（O,乃），所以A=與_.因?yàn)?=25/^,b=2,

ab2y/32.1

則在AABC中，由正弦定理得：又sinAsinB石sinB2,

~T

因?yàn)?<ao3<A,所以3=?.

6

k

(2)方法~：因?yàn)镾ABC=—bcsinZBAC=^-bc=-Jin/?c=4,

△24

24

AD是加C=^的角平分線，

而S&ABC=SJED+^AACD9

11rr1jr1v7T

所—xASxADxsiny+—xACxADxsin—=—xABxACx—,

即伍+c)AD=bc,所以AD=*

be<be

>0,c>0,b+c>2y[bc,bc=4,

因?yàn)?gt;且故為。=b+c2>Jbc

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2取等，所以AD最大值為1.

答：當(dāng)b=c=2時(shí)，AD最大值為1.

方法二：\^^JS△A。RLC=-JbcsinABAC=—bc=y/3^>bc=4,

設(shè)Z.ABD=0,

AD_c___—___A__D____<)__c__—__________

在446。，△ACO中由正弦定理知:sin。sinZADBsin。.(兀、①,

sinl6n>+yIJ

ADbADb

---------o

sinZADCsinp+f]②,

因?yàn)闅v=4,所以①,②得,

besin0sin(--0)8sin6sin彳一9瓜.oo

02_3_13J_2y3sm2,+2cos2,-2

sin2(^+^)l+cos(2d—g)l+cos(2g—g)

4sinI20+—\-24cos|20--|-2

I6)=I3)=4_6,

1+cos[28—g)1+cos[28—g)1+cos(28—

令，=1+cos

由于IT

所以A￡>2=4_，，易得此函數(shù)在feg,2為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當(dāng)f=2=6=J時(shí)，AD最大值為1.

O

拓展練習(xí)：答案：(1)p(2)(百,2石］.

解：(1)^ZABD=a9貝IJND5c=2a,

9

S1^ABCD=S"cz)=53C?_B°sin2a，5"即AB._BZ)sina，

貝U—BC-BDsin2a=2百?；AB-BDsina,而AB=1,BC=2,

貝?。萦衧in2a=V§sina,即2sinacosa=gsina,又0<二<兀，sina>0,

因此cosa=#,?=p所以“如？

(2)由(1)知NOBC=g,ZA3C=g,連力。，AC2=AB2+BC2=5,貝UAC=占,

兀.、、,.________________V__/I<

而N71EC=z，△AEC中，由正弦定理有sin/ACE一sin/EAC一.無一3、，

3sin—

3

AE=1V15sinZACE,EC=|V15sinZEAC,AE+EC=|V15sinZACE+1V15sinZEAC,

24

yiZACE+ZEAC=—,令ZACE=6,

27r27r

則/￡AC=日--6?,0<6><—,

HltkAE+EC=—\/15sin0+--\/15sin(---6)=—^/15(—sin0H—^cos。)=2\/^sin(e+7),

3333226

因0<。<多，貝4?<夕+?<興，有\(zhòng)<$皿。+^)vi,

366626

gpV5<2V5sin(6>+^)<2^,y/5<AE+EC<2y/59

6

所以AE+EC的取值范圍為(62⑸.

典例4、答案：（1）sin3=逅，c=6（2）土衛(wèi)

36

解：（1）因?yàn)閏osA="，A為三角形內(nèi)角，所以sinA=3,

33

又上7=號(hào)，解得sin3=當(dāng)，

sinAsinB3

又cosA=b——,所以。=3G（舍），c=G；

2bc

（2）因?yàn)閟in2A=2sinAcosA=2xx=2y,cos2A=2cos2A—l=—,

又sin（2A+—）=sin2Acos—+cos2Asin-=，+五.

4446

拓展練習(xí)：答案：（1）I（2）y（3）

解：（1）因?yàn)?asinC=3c,由正弦定理得5sinAsinC=3sinC,

3

因?yàn)閟in。。。，所以sinA=g.

因?yàn)榻?。為鈍角，所以角/為銳角，所以cosA=Jl-sin2A=g.

4

（2）由（1）cosA^-,由余弦定理〃=〃+C2-26CCOSA,a=30,b=5,

18=25+C2-2X5CX1,所以。2_8。+7=（）,

解得c=7或c=l,c=l<b,不合題意舍去，c=7,

i1321

故△A5C的面積為]6csinA=3x5x7x《=苛.

34

（3）因?yàn)閟inA=二，cosA=—,

所以sin[2A+=sin2Acos—+cos2Asin—=&sinAcosA+cos2A--="+"百

I6J66250

典例5、答案：(1)|(2)的芋(3)26+1

318

TT

解：(1)\,tanB=l,O<B<^,B=—

49

h

由正弦定理三---可得，.4asinB

sinAsinB-------sinA=---

b3

]JT

,

(2)：sinA=-^a<b,B=—J

cosA=Vl-sin2A=J1-：=2f

74、B

?*-cos2A=2cos0A-l=—,sin2A=2sinAcosA=----

99

7V2472V28+7五

/.cos(2A-B)=cos2AcosB+sin2AsinB=—x---1----x--=------

929218

4+

(3)sinC=sin(7r-B-A)=s嗚+A)=爭(zhēng)cosA+sinA)=2^xl±|^l=^,

由正弦定理，M=吃可得，=需=1^=2夜+1.

sinCsmBsm?<2

~T

拓展練習(xí)：答案：(1)2；(2)立；(3)叵口.

48

解：(1)S^J6Z=4,C=2A/2,COSA=-^-,故由余弦定理cos4="上———

42bc

可得一乎=>+/6,即。+4)。-2)=0,解得6=-4(舍)或。=2.

44岳

(2)因?yàn)锳￡(。,，故sinA>0,則sinA=Vl—cos2A=，

42V2Q

由正弦定理「二y則而=碇，解得sinc=".

sinAsinC---4

4

(3)因?yàn)閏os[2A+§)=gcos2A-^^sin2A=g(2cos2A-l)-6sinAcosA

^,cosA=

又sinA=叵

44

5

故COS

典例6、答案：（1）?（2）3拒

解：（1）選條件①：2asinB=btanA,由正弦定理可知asinB=Z?sinA

則btanA=2asinB=2bsinA,即tanA=2sinA

又在△A5c中，0<A<7r,即sinA>0,

1%

故cosA=],又OVAV?,故A=§

選條件②：--1=—cosB-cosA

bb

根據(jù)余弦定理，上式可化為：===2+-

bblac2bc2bc