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線性方程與常數(shù)變易法

一階線性微分方程一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)例1

求方程通解,這里為n常數(shù)解:將方程改寫為首先,求齊次方程的通解從分離變量得兩邊積分得故對應齊次方程通解為其次應用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,即積分得故通解為例2

求方程通解.解:但將它改寫為即故其通解為例3

求值問題的解.解:先求原方程的通解故所給初值問題的通解為形如的方程,稱為伯努利方程.解法:例4

求方程的通解.解:解以上線性方程得例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動勢E均為常數(shù),試求當開關K合上后,電路中電流強度I與時間t之間的關系.

二線性微分方程的應用舉例電路的Kirchhoff第二定律:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.

則電流經過電感L,電阻R的電壓降分別為

解線性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到

設當開關K合上后,電路中在時刻t的電流強度為I(t),取開關閉合時的時刻

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