高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：直線的兩點(diǎn)式方程（原卷版）

第04講直線的兩點(diǎn)式方程

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解與掌握兩點(diǎn)確定一條直線的公

理。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解與掌握直線確定的幾何意義，

②掌握兩點(diǎn)式方程的公式及其條件，并能應(yīng)利用好確定直線的兩個(gè)幾何要素，會(huì)求直線方程，并能

用公式求直線的方。解決與之有關(guān)的問(wèn)題.

③理解與掌握直線的截距式方程的公式

及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方程。

思維導(dǎo)圖

便用前提一直線，上的兩點(diǎn)々（甬J1）,2（如必）（再工巧，>1*>12）（已知兩點(diǎn)）

知識(shí)清單

1.當(dāng)過(guò)兩點(diǎn)片（和％）,2（%,為）的直線斜率不存在（玉=修）或斜率為0（0（%=%））時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方

程表示.

2.在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí),必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即用,%是同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng),乃是另一個(gè)點(diǎn)的

坐標(biāo).

【即學(xué)即練1］（2024高二?全國(guó)?專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（為,%）,（孫％）的直線方程都可以表示為（）

.一々,一%

B.一

%一馬弘一必

c.(y—yJG—%)=(%—%)(%—%)

D」一切_

?X-XjX2-Xy

點(diǎn)斜式方程形式

2=1

ab

適用條件aw0,Z?w0

直線的截距式方程是直線的兩點(diǎn)式方程的特殊情況，由直線的截距式方程可以直接讀出直線在X軸和y軸

上的截距，所以截距式在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)非常方便.

【即學(xué)即練2】（2324高二上?江蘇南通?期中）直線:-5=1在y軸上的截距為（）

42

A.-4B.-2C.2D.4

知識(shí)點(diǎn)03：中點(diǎn)坐標(biāo)公式

%,+X,

X=-----

2

若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（和%）,（%,%），且線段2舄的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,則.此公

-2

式為線段IE的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

04題型精講

題型01直線的兩點(diǎn)式和截距式方程辨析

【典例1】（多選）（2024高二上?江蘇?專題練習(xí)）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.不過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程2+；=1表示

ab

B.若直線則兩直線的斜率相等

c.過(guò)兩點(diǎn)6（士,以），鳥(niǎo)（々,巴）的直線都可用方程工（%-乂）-、（%-為）+電%-±%=0表示

D.若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直

【典例2】（多選）（2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.過(guò)任意兩點(diǎn)A（X，X）,3（W，%）的直線方程可以寫(xiě)成上三=三工

B.若直線在x軸和y軸上的截距相等，則直線的斜率為-1

C.若直線的斜率為1,則直線在x軸和y軸上的截距之和為0

D.若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線的斜率為1

【變式1］（多選）（2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí)）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.直線方程的截距式可表示除過(guò)原點(diǎn)外的所有直線

B.；-與=1與；+與=-1是直線的截距式方程

2323

C.直線方程的斜截式都可以化為截距式

D.在x軸、y軸上的截距分別是2,3的直線方程為5+,=1

【變式2］（多選）（2324高二上?廣東廣州?期中）下列說(shuō)法不E碗的有（）

A.直線的傾斜角越大，斜率越大

B.過(guò)點(diǎn)外司,乂）,。（孫%）的直線方程是一二上

Xl~X2%一火

c.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）且在X軸和y軸上截距相等的直線有2條

D.直線］-弓=1在y軸上的截距是3

題型02直線的兩點(diǎn)式方程（已知兩點(diǎn)求直線，建議轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式求解）

【典例1】（2324高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-3,2）,3（4,4）的直線的兩點(diǎn)式方程為（）

j-2_x+3y-2_x-3

B.

2-7-2-7

y+2_x-3y-2_2

D.

2-7x+3~7

【典例2】（2324高二?全國(guó)?課堂例題）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（-1,2）,（-3,-2）的直線方程是.

【典例3】（2324高二?全國(guó)?課堂例題）已知三角形的頂點(diǎn)是4（-5,0）,B（3,-3）,C（0,2）（如圖），分別

求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程.

【變式1］（2324高二上?福建廈門(mén)?期中）若三點(diǎn)A（O,1）,C（3,2）在同一條直線上，貝心的值

為.

【變式2】（2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2,3）,8（4,-1）的直線的兩點(diǎn)式方程，并把它化成點(diǎn)

斜式、斜截式和截距式.

【變式3］（2324高二?全國(guó)?課后作業(yè)）在AABC中，已知點(diǎn)4（4,0）,3（-3,4）,C（l,2）.求BC邊上中線

所在直線的兩點(diǎn)式方程.

題型03直線的截距式方程

【典例1】（2324高二上?天津南開(kāi)?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)A（l,2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線

方程為（）

A.x-y+l=OB.x+y-l=0

C.2x—y=0或％—y+l=OD.2%+y=0或x+y+l=0

【典例2】（2324高二上?山東濟(jì)寧?期中）坐標(biāo)平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A（-2,1）,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線/的方

程為.

【典例3】（2324一年級(jí)?全國(guó)?單元測(cè)試）直線/過(guò)點(diǎn)P（-6,3）,且它在x軸上的截距是它在y軸上的截距的

3倍，求直線/的方程.

【變式0（2324高二上,江蘇南通?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)2）,且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有（）

A.4條B.2條C.3條D.1條

【變式2】（2324高二上?湖北?期中）求經(jīng)過(guò)（2,2）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.

【變式3］（2324高二?全國(guó)?課后作業(yè)）在△ABC中，已知A（5,—2）,8（7,3）,且AC邊的中點(diǎn)M在y軸

上，邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：

⑴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）直線的截距式方程.

題型04直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（定值）問(wèn)題

【典例1】（2324高二上?江蘇連云港?階段練習(xí)）設(shè)左為實(shí)數(shù)，若直線/的方程為仕+l）x-2y+2左+4=0,

根據(jù)下列條件分別確定女的值：

⑴直線/的斜率為2;

⑵直線/與兩坐標(biāo)軸在第二象限圍成的三角形面積為12.

【典例2】（2324高一下?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）求分別滿足下列條件的直線/的方程.

（1）經(jīng)過(guò)直線2x+y+2=0和直線3x+y+l=0的交點(diǎn)且與直線2x+3y+5=0垂直；

（2）與直線4尤-3y-l=0平行且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3.

【變式1】（2324高一上?甘肅張掖?期末）求過(guò)點(diǎn)尸（2,3）且分別滿足下列條件的直線方程

（1）在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等.

（2）與兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積是12.

【變式2】（2324高二?江蘇,課后作業(yè)）已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（4,1）,且與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形

的面積為8,求直線/的點(diǎn)斜式方程.

【變式3］（2324高一下?江西九江?期末）（1）設(shè)直線機(jī)的方程為（a+Dx+y+2-a=O（aeR）.若直線加在

兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線加的方程；

（2）過(guò)直線/：V=x上的點(diǎn)尸（2,2）作直線機(jī)，若直線/,機(jī)與x軸圍成的三角形的面積為2,則直線〃，的

方程.

題型05直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（最值）問(wèn)題

【典例1】（2324高三?全國(guó)?課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn)（1,2）的直線/與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AQAB的面積最小時(shí)，直線/的方程為（）

A.2x+y-4=0B.x+2y—5=0C.x+y—3=0D.2%+3y—8=0

【典例2】（2324高二上?山東泰安?期中）已知過(guò)點(diǎn)P（4,l）的直線/與x軸，＞軸的正半軸分別交于A、5兩

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AAOB的面積最小時(shí)，直線/的方程為.

【典例3】（2324高二上?浙江紹興?階段練習(xí)）已知直線/過(guò)點(diǎn)M（2,l）,且與x軸、y軸的正方向分別交于

A,2兩點(diǎn)，分別求滿足下列條件的直線方程：

（l）BAf=2AM時(shí)，求直線/的方程.

（2）當(dāng)AA03的面積最小時(shí)，求直線/的方程.

【變式1】（2324高二上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）已知直線/過(guò)點(diǎn)尸（2,1）,且與x軸、＞軸的正半軸分別為交于A、

B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△。鉆面積的最小值為,此時(shí)的直線方程為.

【變式2］（2324高一下?重慶沙坪壩?期中）已知點(diǎn)M為直線4：2x+y-a=0與直線4:》-2卜+1=。在第一

象限的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線/分別交x,y軸的正半軸于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)取得最小

值為1葛4時(shí)，a的值為.

【變式3］（2324高二?全國(guó),課堂例題）A是直線/：＞=3尤上的第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，8（3,2）為定點(diǎn)，直線A8

交x軸正半軸于點(diǎn)C,求使AAOC面積最小的點(diǎn)A的坐標(biāo).

強(qiáng)化訓(xùn)練

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2324高二上?山西太原?期末）直線y=4x+2在x軸和y軸上的截距分別為（）

1111

A.不，2B.——,2C.—,—2D.——,—2

222342

2.(2324高二上?江蘇南通?期中)直線1+5=1的一個(gè)方向向量是()

42

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)

3.（2324高二上?天津和平,期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（

A.x+y=4-B.y=x+2

C.y=3%或x+y=4D.y=3%或y=%+2

4.（2122高二?全國(guó)?課后作業(yè)）過(guò)坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)B（2,0）,尸2（0,3）的直線方程是（）

A2+?=1B壯。

32

C.2=1D.-=1

2323

3

5.（2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí)）已知直線3x+4y=b與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5，則6=（）

A.6B.6或-6

C.—6D.2或12

6.（2324高二上?河南開(kāi)封?期中）若直線Z:-+^=l（a＞0,/7＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）,則直線/在x軸和y軸上的

au

截距之和取最小值時(shí)，（）

b

A.2B.gC.J2D.—

22

7.（2324高二上?河北邢臺(tái)?期中）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中有這樣一個(gè)定理：

三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知AMC的頂點(diǎn)分別

為A（0,2）,為-1,0）,C（4,0）,則AABC的歐拉線方程為（）

A.4x—3y—6=0B.3x+4y+3=0C.4x+3y—6=0D.3x+4y—3=0

8.（2021高二?全國(guó)?課后作業(yè)）已知直線/過(guò)點(diǎn)尸（2,3）,且與尤，＞軸的正半軸分別交于A,8兩點(diǎn).若

的面積為12（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線/的截距式方程為（

X+V=1,xy

A..義=1B,=1C,13BD.—|—=1

46812yy64

二、多選題

9.（2324高二上?吉林?期末）直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-4）,且兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線/的方程可

能是（）

A.2x+y=0B.2x+y-8=0C.x-＞一6=0D.x+y+2=0

10.（2122高二上?江蘇無(wú)錫,期中）光線自點(diǎn)（2,4）射入，經(jīng)y軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,0）,則反射光線所在直線

還經(jīng)過(guò)下列點(diǎn)（）

A.（-9,8）B.（3,1）C.（7,-1）D.（12,-4）

三、填空題

11.（2024?陜西西安?一模）過(guò)點(diǎn)PQ,3）,在x軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線方程為.

12.（2324高二上帙西西安?期中）己知直線/過(guò)點(diǎn)尸。,2）且與工軸、》軸分別交于4（4,0）,3（0/）（。＞0力＞0）,

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么2|。4|+|。目的最小值為.

四、解答題

13.（2324高二上,全國(guó)?課后作業(yè)）根據(jù)下列條件，分別寫(xiě)出直線的方程:

⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,-2）,斜率為3；

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）,斜率為一1；

⑶經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,T）,斜率為0；

⑷斜率為-2,在y軸上的截距為-2；