三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（4大常考點(diǎn)歸納）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新高考卷）解析版

實(shí)戰(zhàn)演練02三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

考點(diǎn)歸納

①三次函數(shù)的零點(diǎn)

②三次函數(shù)的極值'極值點(diǎn)

③三次函數(shù)的切線

④三次函數(shù)的對稱性

必備知識速記

一、三次函數(shù)概念

定義：形如/(%)=ax3+bx2+c%+d(aH0)叫做三次函敞

/(%)=3ax2+2bx+c,把4=4b2—12ac叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式

當(dāng)/＞。時，令/⑴=°，記兩根為％①，右="筍

二、三次函數(shù)的圖像及單調(diào)性

第1頁共40頁

設(shè)/(%)=+力％2+c%+d(Q。0)的三個零點(diǎn)分別為第1，%2，％3，則

⑴%1+%2+%3=-：

(2)/工2+%2%3+%3%1=(

第2頁共40頁

(3)%1久%23=—~

(4)—+—+i=一三

x2x3d

五、三次函數(shù)的對稱性

結(jié)論1三次函數(shù)/(%)=。%3+b%2+c%+d(a。0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一g/(一9))中心對稱

結(jié)論2已知三次函數(shù)/(%)=ax3+bx2+ex+d(aH0)中心對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為久°,兩個極值點(diǎn)分別為%

如則曾答=|r&)=—其/一血)2

11一12$Z

結(jié)論3若y=/(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(m,ri)對稱，則y=r(久)圖像關(guān)于軸x=巾對稱

點(diǎn)對稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是軸對稱函數(shù)，軸對稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是點(diǎn)對稱函數(shù)

奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)

名校模擬探源

①三次函數(shù)的零點(diǎn)

一、單選題

1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)若函數(shù)f(x)=x3-3x+a在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.(0,2)B.(2,+co)C.(0,1)D.(1,+<?)

【答案】A

f(0)>0

【分析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得了⑴<。，解得即可.

/(2)>0

【詳解】因?yàn)?'(X)=3Y-3=3(X+1)(X—1),所以當(dāng)X>1或X<-1時方(X)>。，

即〃尤)在(1,+s),上單調(diào)遞增，

當(dāng)—1<x<1時/'(力<0,即/(x)在(—1,1)上單調(diào)遞減,

/（0）>0a>0

根據(jù)題意可得了"）<。，即1-3+°<0

解得0<a<2.

/（2）>0[8-6+?>0

故選：A

2.(2024?湖南長沙?一模)函數(shù)/(耳=加-加+bx(a,beR)有3個零點(diǎn)的充分不必要條件是）

A.awO,且a>46B.a>0,5.a<4b

C.a<0,且。>46,人NOD,a<0,且。<46,5/0

【答案】D

第3頁共40頁

【分析】由題意可得函數(shù)〃"=加-加+云(。,比2有3個零點(diǎn)的充要條件為4">0且。片0涉HO,

逐個選項(xiàng)分析其是否為a?-4曲>0且aR0力*0的充分不必要條件即可得.

［詳解］/(x)=ar3-ax2+bx=x^ax2-ax+b^,有/'(0)=0,

若/(x)有三個零點(diǎn)，貝!J有/一4m>0且

故函數(shù)"X)=ax,-ax2+bx(a,beR)有3個零點(diǎn)的充要條件為：

a2-4ab>0且"0,630,

對A：awO,且a>46,貝!］當(dāng)。<0時，W<?2<4ab,不符，故A錯誤；

對B：可能6=0,不符，故B錯誤；

對C：a<0且。>46,6*0,則/<士出，不符，故C錯誤；

對D：a<0,且。<46,6x0,則/>4",

即由a<0,且。<48,匕*0能得至［］/_，4a6>0且a*0,6片0,

但標(biāo)-4ab>0且。30,6片0并不意味著。<。，且。<46力片0,

故a<0,且。<46,6W0是〃一446>o且。W0,6片0的充分不必要條件，

即是函數(shù)/⑺=ax3-ax2+bx(a,bGR)有3個零點(diǎn)的充分不必要條件，故D正確.

故選：D.

3.(2024?寧夏銀川?三模)已知函數(shù)〃”=丁—7/+14%-。有3個零點(diǎn)均，巧，毛&<%<毛)，有以下

四種說法：

①玉>0

②尤3<4

③存在實(shí)數(shù)。，使得不，々，鼻成等差數(shù)列

④存在實(shí)數(shù)。，使得不，巧，％成等比數(shù)列

則其中正確的說法有()種.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題意設(shè)g(x)=d-7d+14x,根據(jù)g(x)=a,求導(dǎo)分析g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合分析，根

據(jù)g(x)=x+1可判斷①，根據(jù)函數(shù)的極大值可判斷②，根據(jù)三次函數(shù)的對稱性可判斷③，舉

例可判斷④.

【詳解】由/'(x)=。，得Ad+14』，

設(shè)8（%）=丁—7爐+14%,貝［）,⑴=3--14x+14=3

第4頁共40頁

7-⑺

則g（x）的極小值為g，極大值為g

對①，因?yàn)間(x)=x(x?-7x+14)=xI+Z

g(x)<0,所以%>0,①正確.

對②，因?yàn)間上單調(diào)遞減，且g（2）=g（4）,

所以g[M」J＞g（4）,所以忍＜4未必成立，②錯誤.

對③，=gf（x）=3^-14x+14,令°〈x）=6x-14=0有x=g,貝！]有g(shù)t+d+g[〉d=2g11

故g（x）圖象存在對稱中心

所以存在實(shí)數(shù)〃=g]],使得毛，巧，鼻成等差數(shù)列，③正確.

對④，因?yàn)間（l）=g（2）=g（4）=8,所以存在實(shí)數(shù)a=8,使得%，%,三成等比數(shù)列，④正確.

故選：C.

4.（23-24高三上?云南?階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)/（x）=4d-3x-a,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)在（-M）上單調(diào)遞減

B.當(dāng)。＞0時，函數(shù)/（尤）＜0在（0,1）上恒成立

C.當(dāng)。＞1或＜7＜-1時，函數(shù)/（無）有2個零點(diǎn)

D.當(dāng)。=g時，函數(shù)/（X）有3個零點(diǎn)，記為百,々，工3，則無1+9+為3=。

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性可得A錯誤；畫出函數(shù)y=4/-3x的圖象可求得BC錯誤，根據(jù)零點(diǎn)個

數(shù)可求得-1＜a＜1,令4片-3號=1（/=1,2,3）再利用三角函數(shù)值域以及倍角公式即可求得D正確.

第5頁共40頁

【詳解】對于A,因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=12尤2-3,令/'(彳)=0,貝!Jx=±g；

當(dāng)x<-J或尤〉;時，f'M>0,此時函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)-g<x<g時，/(無)<0；此時函數(shù)〃x)單調(diào)遞減，

作出函數(shù)Ax)的大致圖象如圖，故A錯；

對于B,由A選項(xiàng)可知，易知/(0)=-4<0,/(1)=1-々，

又易知0<x<；時，函數(shù)單調(diào)遞減，g<x<l時，函數(shù)/(無)單調(diào)遞增；

當(dāng)o<x<i時，若o<a<i,y(x)<o不一定成立，例如當(dāng)時，/(i)=i-a>o,

所以當(dāng)0<〃<1,/。)<。不一定成立，故B錯；

對于C,方程/(x)=0的根即為y=。與函數(shù)y=4V-3x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

由A可知，函數(shù)y=4d-3x在％=■時取得極大值1,在無=；時取得極小值-1；

作出函數(shù)y=4x3-3x的圖象如圖，

當(dāng)。>1或。<—1時，函數(shù)Ax)有1個零點(diǎn)，故C錯；

對于D,函數(shù)/(x)有3個零點(diǎn)，貝!|可得一1<々<1,且%,無2，忍￡(一1，1)；

記4%；-3%=；"=L2,3),

令x=cos9(0<e<7i),貝(]4(cos6)3-3cos6=cos39=；,所以g，

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十是石=cos6（=cos—,x2=cos02=cos-,玉=cos^=cos-,

7i5K7Kf4兀3兀15兀,4兀3兀\八4兀3兀5兀

芭+X。+%=cos—+cos---1-cos——=cos--------+cos-----Fcos---1---=2cos——cos-----1-cos——

勺23999（99）9（99）999

,14兀571c

=2x—cos1-cos——=0,

299

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將函數(shù)了3有3個零點(diǎn)玉,馬，無3的范圍限定在（-1，1）上，再

尤=cose（0<6<2利用倍角公式即可得出結(jié)論.

二、多選題

5.(23-24高三上?安徽?階段練習(xí))已知三次函數(shù)/(x)=/+Zw2+c(a>0,b,CER),下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)。=6=2時，Ax)單調(diào)遞減區(qū)間為

B.當(dāng)a=b=2時，/(X)單調(diào)遞增區(qū)間為1-

C.當(dāng)c=-4。時，若函數(shù)f(x)恰有兩個不同的零點(diǎn)，貝U=3

a

D.當(dāng)人=c=0時，/(無)>lnx恒成立，則a的取值范圍為

【答案】ACD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究/⑴區(qū)間單調(diào)性判斷A、B,由函數(shù)/⑺恰有兩個不同的零點(diǎn)，則有一個極值為0,

易得/|||1=0或/(0)=0判斷C；將不等式恒成立化為a>墨恒成立，對右側(cè)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其

最大值即可判斷D.

【詳解】/(x)=ax'+Z?x2+c(a>0,Z?,ceR),貝5|/'(x)=光(3依+2Z?),

當(dāng)a=6=2時/(同=2.3%+2),在區(qū)間上/'(x)<0,

所以/(x)在［jo］上單調(diào)遞減區(qū)間，A正確，B錯誤；

要使函數(shù)/(X)恰有兩個不同的零點(diǎn)，則/(X)有一個極值為0,

由上分析知：=0或"0)=0,而“0)=0時a=o,不滿足題意；

所以c=_4a,有一當(dāng)+"一4“=0,化簡可得2=3,C正確；

I3a)27a29礦?

InV

當(dāng)6=c=0時/(x)>lnx恒成立，即?！?-恒成立，

第7頁共40頁

令h(x)=最,則如)=野，故/病二。，

在(0,泥)上//(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，在(/,+℃)上〃(x)<o,/?(無)單調(diào)遞減,

皿⑴“"(%)=?故

D正確.

故選：ACD

6.(23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))已知三次函數(shù)〃力=加+/+5+=有三個不同的零點(diǎn)

再，孫W&＜電),函數(shù)g(x)=/(x)—l.則()

A.3ac<1

B.若知尤2,三成等差數(shù)列,則ae(_L0MO，l)

C.若g(x)恰有兩個不同的零點(diǎn)加,〃(〃?<〃)，則2m+〃=-：

D.若g(x)有三個不同的零點(diǎn)支出再^^y)，則用+考+,=有+4+號

【答案】ABD

【分析】對于A,由題意可得尸(x)=0有兩個不同實(shí)根，則由A>0即可判斷；對于B,若占,馬，為成等差數(shù)

列，則"%)=O2+；7；羿=0,從而結(jié)合農(nóng)<；即可判斷；對于c,若g(尤)恰有兩個零點(diǎn)，則加

或八必為極值點(diǎn)，分類討論即可判斷；對于D,由韋達(dá)定理即可判斷.

【詳解】f(x)=ax3+^r+cx+^-,f(x)=3o?+2x+c,aN0,對稱中心為、J,對A：因?yàn)?'(x)

有三個零點(diǎn)，所以“X)必有兩個極值點(diǎn)，所以A=4-12ac>0,3ac<l,A正確；

對B,由玉,馬，尤3成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對稱性可知％=-；,

3a

所以〃切=/「9=2+；9改=0,

<3a)Tia

又砒<；,故2+〃=9改<3,所以a?<1，所以ae(—l,0)50,l),故B正確；

26

C：g(無)=0,即ox'+X?+ex-=0,

若g(x)恰有兩個零點(diǎn)，則加或〃必為極值點(diǎn)；

若加為極值點(diǎn)，則該方程的三個根為機(jī)，機(jī)，”，由一元三次方程的韋達(dá)定理可知：2m+n=--.

a

若”為極值點(diǎn)，同理可得〃?+2力=-工，故C錯；

第8頁共40頁

1

X]+/+七=%+，2+‘3=----

對D：由韋達(dá)定理__a

XX

%尤2+23+尤3%=V，+垃3+=一

--~a

（芯+%2+W）—2（再為++X3玉）=（，］+，,+q）—2（%/7+?2^3+，3’1），

即無；+%+考=4+g+",故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)得關(guān)鍵是得出機(jī)或〃必為極值點(diǎn)，由此即可順利得解.

三、填空題

7.（23-24高三上?黑龍江牡丹江?期末）函數(shù)二有且只有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

【答案】。，2］

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中各段函數(shù)的單調(diào)性，分成。＞0,。40兩種情況并結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論即可.

【詳解】當(dāng)。＞0時，尤＞0時,/（%）=尤3-3依+2,/'（X）=3尤2—3a,

當(dāng)0＜x＜4a0^,/r（x）＜0；當(dāng)x＞6時，/r（x）＞0；

所以/⑺=Xs-3ax+2在（0,單調(diào)遞減，在（&,+可單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=G時，/（力=/一3冰+2取最小值.

函數(shù)”力有且只有3個零點(diǎn)，又/（力=2，乜-0在（f0］上單調(diào)遞增,

所以〃x）=三_3依+2,在（0,+8）有兩個零點(diǎn)且此時/（0）=2＞0,

而7（x）=2,-a在上有一個零點(diǎn)，

如圖，

所以/'（折）=-2。6+2<0,解得”>1,K/（0）=2-a>0,所以aW2.

所以l<aW2.

當(dāng)a<0時，尤>0時，=-3ax+2,/,（x）=3x2-3a>0,

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故"X)在(o,+8)上單調(diào)遞增，且此時〃0)=2>0,

又=2用-。>0在,0]上恒成立，所以此時不合題意.

綜上，l<a<2,即ae(l,2].

故答案為:(1,2].

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍常用的方法：

(1)分離參數(shù)法：通常解法為從中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根

據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分類討論法：通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個數(shù)是否

符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.

8.(2024高三下?全國?專題練習(xí))已知a,6eR,函數(shù)〃力=/+涼+x+l(a<0)恰有兩個零點(diǎn)，貝!Ja+A

的取值范圍為.

【答案】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)和極值點(diǎn)求出。乃，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得的取值范圍.

【詳解】Sf(x)=ax>+bx1+X+1S.a<0,

團(tuán)f\x)=3冰之+2Zzx+l,A=4廿一12々>0.

則方程/'(尤)=0必有兩個不等的實(shí)根為,吃.

、2b1

設(shè)再<%,則+X=———,石馬=~~<。?

23。3a

貝！)必有玉<0<%2，且/'(石)=3渥+2ZzX]+l=0①.

當(dāng)不<玉或%時,/'(x)<°;當(dāng)西〈尤<x2時，/r(x)>0.

因此函數(shù)丁=/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(西,々)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-。，不)和(w，+”).

由于〃0)=1>0,若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，貝!!/(%)=渥+尻+%+1=。②.

12

3遍+2如+1=0"二+二22_2

玉玉7

聯(lián)立①②得竭+期2+占+1=0'解得3,團(tuán)。+匕=

1下玉

玉

令/二一＜0,令=2/一2/—2,，貝!]a+Z?=g（。.

x\

從而a=2/+/=/（2/+l）＜0,解得

因此g'⑺=6/_〃_2=2（3/_2/_1）=2（37+1）（"1）.

第10頁共40頁

故當(dāng)f<-g時，g'(t)>0,函數(shù)g⑺單調(diào)遞增.

因此a+6=g(f)<g

故答案為：1c°，：)

②三次函數(shù)的極值點(diǎn)

一、單選題

1.(2024?福建泉州?一模)已知占,三，是函數(shù)/(x)=(x-l)3-x兩個極值點(diǎn)，則()

A.Xj+x2=-2B.xt+x2=lC./(芯)+/(9)=-2D.f(jq)+f(x2)=2

【答案】C

【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，解方程得出極值點(diǎn)，計算可判斷選項(xiàng).

【詳解】f'(x)=3(x-l)2-l,令-。)=。，解得加=1±%

所以改+苫2=2,故AB不正確；

/(%)+/(%)=用一1一￥+［一￥T+與=-2,故C正確D錯誤.

故選：C

2.(2024高三下?全國?專題練習(xí))若函數(shù)〃x)=x(x+a)2在x=l處有極大值，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.1B.-1或-3

C.-1D.-3

【答案】D

【分析】借助極值點(diǎn)定義可得尸(1)=0,即可得。=-1或。=-3,再分類進(jìn)行討論排除極小值情況即可得.

【詳解】r(x)=(x+a)2+2x(x+a)=(x+a)(3x+a),

貝惰F(l)=(l+a)(3+a)=0,解得。=一1或。=—3,

當(dāng)a=-1時,「(x)=(x-1)(31),

則當(dāng)xw3,1］時，r(x)<0,當(dāng)xe(l,y)時，制x)>o,

所以在g,l］上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

/(x)在x=l處有極小值，不符合題意；

當(dāng)“=一3時，/(x)=(x-3)(3x-3)=3(x-l)(x-3),

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當(dāng)xe(e,l)時，/^x)>0,當(dāng)xe(l,3)時，((%)<0,

所以〃x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

“X)在x=l處有極大值，符合題意.

綜上可得，<2=—3.

故選：D.

3.(2024?新疆烏魯木齊?二模)設(shè)%,三是函數(shù)〃耳=尤3+加+尤+1的兩個極值點(diǎn)，若芯+3超=-2,則“=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】先求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件與韋達(dá)定理即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意得:(x)=3/+2"+1,又占,9是函數(shù)的兩個極值點(diǎn),

則占,三是方程3d+2ax+l=0的兩個根，

2a1

故不+々可，西元2=§'

又玉+3%=-2,貝[|再=_3工2_2,即尤]%2=(-3%2-2)九2=：，則％2=_；，

則再=-1,所以占+無2=-；-1=一彳，解得0=2,

此時A=42-4*3xl=4>0.

故選：C.

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)/(冷=(彳+2乂/+》+附，若函數(shù)有一極大值點(diǎn)

為-2,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(-2,+e)B.(T-2]

C.(-co,-2]D.(-8,-2)

【答案】D

【分析】令g(x)=x?+x+m且g(x”0恒成立，根據(jù)外”的極值點(diǎn)得到矛盾，g(x)有兩個不同的零點(diǎn),

利用三次函數(shù)性質(zhì)判斷了(元)單調(diào)性，進(jìn)而求參數(shù)范圍.

【詳解】由題意尸(x)=(x+2乂爐+彳+同,令g(x)=y+x+/n,

若g(x)N0恒成立,易知:當(dāng)嗎-2)時廣(x)40,當(dāng)2,4w)時心(x)",

所以-2是〃x)的極小值點(diǎn)，不合題意，故g(“有兩個不同零點(diǎn).

設(shè)g(x)的兩個零點(diǎn)分別為再,貝!l/'(x)=(x-玉)(x+2)(x-w),

結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：玉<-2<%,

在(f西)、(一2,々)上/'(%)<0,“X)單調(diào)遞減，在(網(wǎng),-2)、(々,+°0)上用勾>0,/(X)單調(diào)遞增,-2是

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“X)的極大值點(diǎn)，符合題意，

此時需g(-2)=2+機(jī)<0,得m<-2,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(f,-2).

故選：D.

5.(2024?河北秦皇島?三模)己知0是函數(shù)/(耳=/+Q2+1的極大值點(diǎn)，則.的取值范圍為()

A.(-<?,0)B.(0,+ao)C.D.1-|，+00］

【答案】A

【分析】分類討論“<0、a=0與a>0三種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)?(%)=尤3+ax2+1,所以/f(x)=3x2+2依=x(3x+2a),

令,(x)=0,可得》=0或戶―，

當(dāng)一言>0,即“<0時，

令制x)>0,得x<0或x>-,；令r(x)<0,得0<x<T；

所以在(-。,0),上單調(diào)遞增，在(。,-彳)上單調(diào)遞減，

所以x=0是函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，滿足題意；

當(dāng)一年=0,即a=0時，/(同=彳(3尤+0)20恒成立，

則/(x)在R上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)-,<0,即a>0時，

令如)>0,得一等或彳>0；令r(x)<0,得T<x<o；

所以〃x)在［-鞏-g］,(。,+e)上單調(diào)遞增，在［彳,。］上單調(diào)遞減，

所以x=0是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，不滿足題意；

綜上，a<0,即。的取值范圍為(-8,0).

故選：A.

6.(2024?云南大理?模擬預(yù)測)若優(yōu)為函數(shù)”X)=?7(X—?7)2(〃—X)(其中mNO)的極小值點(diǎn)，貝U()

A.m>n>0B.m<n<0

C.mn>m2D.mrKm2

【答案】C

【分析】m="時/(x)為單調(diào)函數(shù),無極值點(diǎn)不符合題意;令廣(X)=0有兩根為X="，或X=%等，分相>0、

第13頁共40頁

相<0討論，根據(jù)加為極小值點(diǎn)需滿足的條件，結(jié)合不等式性質(zhì)可得答案.

【詳解】若機(jī)=〃，則”X)=T7(X-m)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故加片”.

由于/'(x)=Mx-m)(-3x+〃2+2”)，且〃任"，故/''(%)=0有兩根為工=機(jī)或x=g也

①當(dāng)機(jī)>0時，若優(yōu)為極小值點(diǎn)，則需滿足：加故有?！礄C(jī)<”，

可得mn>m2;

②當(dāng)相<0時，若〃2為極小值點(diǎn)，則需滿足：機(jī)〉二鏟，故有：0>m>%

可得mn>m2■

故A,B選項(xiàng)錯誤，綜合①②有：mn>m1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)機(jī)為極小值點(diǎn)得到吸”的關(guān)系再結(jié)合不等式的性質(zhì)解題.

7.(23-24高三下?四川綿陽?開學(xué)考試)若函數(shù)〃耳=(苫3+與0苫2+(5-機(jī)卜-1的兩個極值點(diǎn)都大于2,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—5)U(—5,-4]B.(—co,—4]C.2]D.(-5,-4)

【答案】D

【分析】由題，r(x)=X2+(m-2)^+(5-m),則方程/(司=0的兩根都大于2,由根的分布知識可

得答案.

【詳解】/(X)=x2+(m-2)x+(5-m),對于方程f'(x)=0,

A=(m-2)~-4(5-〃z)>0n〃ze(-8,-4)U(4,+co)

設(shè)方程兩根為占，Z，由韋達(dá)定理，

&+4=2—機(jī)，xxx2=5-m.

因“X)的兩個極值點(diǎn)都大于2,則方程r(x)=0的兩根都大于2,

Ix,+x2>4

貝口j(國一2)(x2-2)=xxx2-l^xx+x2)+4>0

2—m>4

=></、=>—5<m<—2.

5-m-2(2-m)+4>0

結(jié)合me(ro,-4)U(4,+00),可得7〃e(-5T).

故選：D

8.(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)占,三為函數(shù)〃x)=x(x-2)(x-a)(其中°>0)的兩個不同的極值點(diǎn)，若不

等式，(王)+/伍)對成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

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A.[1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(4,+oo)

【答案】A

【分析】導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，占，三為對應(yīng)的一元二次方程的兩根，由/(占)+/(々)20,代入函數(shù)解析式,

結(jié)合韋達(dá)定理化簡，可解出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?(x)=x(x-2)(x-a),所以r(x)=3x2-2(2+a)x+2a.

A=4(〃2-2a+4)〉0,

2(2+4)

又函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)*,三，所以.玉+々=

3，

2a

X\X2=~^~-

解法一：由/(%)+/⑸NO,得法+/一(0+2)儲+*)+2々(不+/”0,

2

即(為+彳2)[(占+龍2)--3xIx2]-(a+2)|^(x1+x2)-2x1x2^+2a(xI+x2)>0(*).

將占+和占超的值代入(*)式，得〃-5。+4<0,解得

故選：A.

解法二：函數(shù)丫=依3+6(.中0)為奇函數(shù)，圖象的對稱中心為(0,0),

貝！I函數(shù)y=a(x-〃2丫+k(x-m)+n圖象的對稱中心為

設(shè)g(尤)=依3+灰2+cx+d=a^x—mf+k^x—m)+n,

a^x—m^3+k(^x—ni)+n=ax3—3anvc2+[3am2+k^x+(n—anii-km),

-3am=b

比較系數(shù)，有<3麗?+%=,,

n-am3-kni=d

b3

M坦,22bbe,(b'}

^^-k=c--,n=—^-—+d=g\

m=3a3a27a3a3a)

所以函數(shù)g(x)=/+bf+cx+d(axO)圖象的對稱中心為卜,

即若/(x)存在兩個相異的極值點(diǎn)不，尤2,則其對稱中心為點(diǎn)伍"(%))和點(diǎn)(如4%))的中點(diǎn)，即

=不…1

由題設(shè)得〃%)+〃工2”。，即[土產(chǎn)＞0,即等上0,

a＞0,

所以＜a+2(a+2+2解得14aW4.

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故選:A.

二、多選題

9.（23-24高三上?全國?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃町=；/+62+尤的兩個極值點(diǎn)分別為占,三,若過點(diǎn)

和川務(wù),〃N））的直線/與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為卷，則直線/方程為（）

16c16,

A.y=---x+2B.y=----x-1

33

C.y=-^-x+lD.y=-3x+l

【答案】BC

【分析】由題意，’⑴有兩個不同的零點(diǎn)，則A>0求參數(shù)a范圍，再根據(jù)卜丁二3一:代入“%）、/（%）

\x2=-2ax2-1

確定已知點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求截距并列方程求a值.

【詳解】由題意八%）=/+2奴+1有兩個不同零點(diǎn)，

貝！IA=4〃2—4>0,所以/>I,即或av—1,

x；+2ax、+1=0

由即

xl+2ax2+1=0

%+axf+石=^xi（-2axi-V）+axf+%]

a2a.,八22a

=~xi2+-%i=-（-2^-1）+-Xj=-（Z1l-a2x,

同理有"%）=g（l-/區(qū)

所以（為"（七））、（./⑷）均在尸|（1一/次4上，

令尸彳—>==0,則尤=出，

令x=0,

則直線,與坐標(biāo)軸圍成三角形面積sj/W即—=|

即9（1一〃2）=±8/，

33

綜上，％=3,a=—3%=

29而'

因?yàn)榧碼>l或。<一1,故/=3,2=一3,得>=一-—^±1,

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故選:BC

10.(23-24高二下?山西晉城?階段練習(xí))函數(shù)/(幻=工/_加+5有三個不同極值點(diǎn)4Mee[-1,0).

4

貝IJ()

A.b>^2B.%+只>3蚯

C.x：+E+x；的最大值為3D.占的最大值為1

【答案】BCD

【分析】選項(xiàng)A可根據(jù)求導(dǎo)后分析單調(diào)性，得到g(x)的最小值大于1恒成立可得；選項(xiàng)B可由

3+9+W)2=0分析求出；選項(xiàng)C可由％?+考+與=-2bXy-c-2bx2-c-2bx3-c=-3c及c￡[-1,0)求出；

選項(xiàng)D可由d-2fov+c=(x—%,)(%—%2)(九一X3)和再/工3=lC求出；

【詳解】對于A：/(幻=9/-岳：2+cx有三個不同極值點(diǎn)占,%,為3，

貝l)/tx)=d-2"+c=0有三個不等實(shí)根為王,無2，與，則d—26x=-c定有三個解.

設(shè)g(%)=x3-2bx=>g'(x)=3x2-2b,

當(dāng)bWO,g呢%)=3/-2力？0恒成立，

得g(x)單調(diào)遞增，d—2法=_°不會有三個解，

[2h

所以b>0,且'(1)=3/-2b=0nx=±J—，

因?yàn)?C￡(0,l],所以g〉1恒成立.

對于D：設(shè)元-2/ZX+C=(X-X,)(J;-X2)(J;—

3_(+x2+(％2

=無芭2+玉)%石+毛毛-^-X2X3^X-XlX2X3,

故王+入2+%3=°，%％+石％3+%2%3=-2匕，XjX2X3=~C,故玉馬七(°，U，故D正確;

對于B：又(％+入2+W)2=才+考+后+2芯%2+2菁%3+2%2%3=。

累+%；+%；=—(2%%2+2%工3+2%2%3)=46>3版，故B正確；

對于C：又入；+2/?玉+c=0,xf+2bx2+c=0,+2bx3+c=0,

第0頁共40頁

貝！]x：+x；+x；=—2bxi—c_2bX]—c—2b—c=—3c,

又cw[-1,0),放-3ce(0,3],

jtf+V+x；的最大值為3,故C正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題A選項(xiàng)關(guān)鍵在于由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，得到g(x)的最小值大于1恒成立從而得到

6的范圍；選項(xiàng)BCD根據(jù)方程根的特征求解.

11.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=2x3-3尤2-12X,e(〃—)且滿足/(占)=/⑺，

/(x2)=/(m)>對任意的司恒有且Z為y=/'(x)的極值點(diǎn),則下列等式成立

的是()

A.xx+x2=2x0B.2(A2-x1)=n-m

C.3X]=2X2+mD.3x2一再=2〃

【答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，可得冷三分別為函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，由此求出士,尤2，風(fēng)〃，再逐項(xiàng)

判斷即可得解..

【詳解】if{x)=2x3-3x2-12x,求導(dǎo)得:(x)=6f-6x-12=6(x+l)(尤-2),

當(dāng)x<-1或x>2時,/V)>0,當(dāng)-L<x<2時,f\x)<0,

函數(shù)AM在(-?,-1),(2,+?>)上單調(diào)遞增，在(-1,2)上單調(diào)遞減，

因此當(dāng)廣-1時，/(X)取得極大值/(-1)=7,在戶2時，Ax)取得極小值/(2)=-20,

對任意的恒有“7W)W/(x)W/(〃)，/(x)111ta=/(m)，/(x)max=/(")，

又當(dāng)下，蒼且滿足/(%)=/(〃),f(x2)=f(m),

則和三分別為函數(shù)/■")的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，

7

則再=—1，工2=2,由/(%)=/(〃)，得2/—3〃—12〃=7,即(“+1)2(2〃—7)=。，解得〃=萬，

x=m

由/(2)/(),得2/_3帆2_i2帆=一20,即(加一2)2(2機(jī)+5)=。'解得機(jī)=一"|,

第18頁共40頁

對于A,由丁=61一6%-12,求導(dǎo)得V=12x-6,顯然x是V=12x-6的變號零點(diǎn)，

即％o=；，xl+x2=l=2x09A正確；

75

對于B,2(X2—XJ)=6,n—m=——(——)=6fB正確；

53

對于C,=-3,2X2+m=4——=-9C錯誤；

對于D,3%2-玉=6-(-1)=7=2〃，D正確.

故選：ABD

12.(2024?山西太原?三模)已知為是函數(shù)/⑺二^+如+成根<o)的極值點(diǎn)，若/(9)=/(%)(玉工々)，

則下列結(jié)論正確的是()

A./(%)的對稱中心為(。,〃)B./(-%)>/(西)

C.2%+兀2=°D.工1+工2>°

【答案】AC

【分析】利用〃0+尤)+〃。-尤)=2〃，可判斷A；令分(x)=0,解得x,代入/(f)—/(%)可判斷B；利

用導(dǎo)數(shù)判斷出y=F(x)的單調(diào)性并求出極值點(diǎn)，結(jié)合圖像分情況由/?伍)=/&)(%/%)解出得，可得

2%+%=?？膳袛郈；利用C選項(xiàng)，若再=斤，尤2=苦利，得出玉+%<?？膳袛郉.

【詳解】對于A,因?yàn)?(。+%)+/(。一%)=尤3+如+〃一%3一5十幾=2〃,

所以外力的對稱中心為(。㈤，故A正確;

對于B,r(x)=3x2+m,令/'(力=0,解得x=±\匡，

/(一玉)一/(%)二一^-mcx+n-j^-mxl—n

=-mx{+n-j^-mxl-n

第19頁共40頁

因?yàn)閙＜0,所以三舊＜0,可得/（-%）＜/&），

故B錯誤；

對于C,令/''（"=0,解得x=±q,

當(dāng)尤＞療或X〈-療時，/（x）＞0,y=〃x）是單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)-后＜x＜才時，r（x）＜°'y='（x）是單調(diào)遞減函數(shù)’

所以y=〃x）在x=-1時有極大值，在x=[時有極小值，

如下圖，當(dāng)％=-后時，若/仁）=/（益）&工馬），則

XX=X

f（l）~f（2）l+叫+〃一宕-mx2_〃=（玉一%2乂片+西兀2+寫+根）=0,

可得%；+石々+%；+冽=。，即亨一^^/+考+m=0，解得/;,

所以2%]+%=。；

/（玉）一/（工2）二刀+rnxx+〃一只-mx2—〃=（藥一/乂4+西/+%；+機(jī)）=。，

可得工；+工品+考+”2=0,即寧尤2+考+%=0,解得々=一^11^,

所以2占+々=0；

第20頁共40頁

一2個—3m

對于D,由C選項(xiàng)可知,若％=XQ-

一3

2yJ-3m

所以石+%=-早<。,故D錯誤.

3

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn).

三、填空題

13.(23-24高三上?山西臨汾?階段練習(xí))已知曲線/(x)=x3+o?+樂+1在點(diǎn)處的切線斜率為3,

且是y=/(x)的極值點(diǎn)，則函數(shù)的另一個極值點(diǎn)為.

【答案】-2

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知有了'⑴=3+24+6=3,且d=?+b=O,求得。=2力=-4,再根

據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定另一個極值點(diǎn)即可.

【詳解】由題設(shè)1(力=3/+2必+6,則/⑴=3+勿+6=3,且Og+++6=0,

所以a=2,6=—4,gp(x)=3x2+4%-4=(3%-2)(%+2),

2?

當(dāng)xe(-8,-2)U[,+a>),f^x)>0,則(-<?,-2),(1,+<?)上y=/(x)遞增;

當(dāng)xe(-2,§),r(x)<0,則(-2,§)上y=〃x)遞減；

所以％=-2、x=(都是y=/(x)的極值點(diǎn)，故另一個極值點(diǎn)為x=-2.

故答案為：-2

14.(2024?云南?一模)已知〃%)=93_3加+8辦-100在(2,6)上只有一個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

8

為.

第21頁共40頁

327

【答案】

8?56

【分析】求導(dǎo)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)求解即可.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?：三-30r2+8"一100在（2,6）上只有一個極值點(diǎn),

8

3

貝!|尸（x）=?爐一6辦+8。=0在（2,6）上有唯一解,且左右函數(shù)值異號.

O

8x2

即nn一〃=-----,

36x—8

令6%-8=，￡（4,28）,

2

才+8

貝!|861，+空+16

—CL—

3~36

易知g⑺=t+?在（4,8）單調(diào)遞減，在（8,28）單調(diào)遞增,

n/八/64/cc\”64212

且g（4）=4+1=20,g（28）=28+—=—

1Q

1f212+16,解得黃

故互（2。+16）41CI<-----

303367）